选修4-2+矩阵与变换

/选修4－2矩阵与变换A[最新考纲]1．了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系．2．了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示．3．理解变换的复合与矩阵的乘法；理解二阶矩阵的乘法和简单性质．4．理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵．5．理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量.知识梳理1．矩阵的乘法规则(1)行矩阵[a11a12]与列矩阵b11b21的乘法规则：[a11a12]b11b21＝[a11×b11＋a12×b21]．(2)二阶矩阵a11a21a12a22与列向量x0y0的乘法规则：a11a21a12a22x0y0＝a11×x0＋a12×y0a21×x0＋a22×y0.设A是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则①A(λα)＝λAα；②A(α＋β)＝Aα＋Aβ；③A(λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：a11a21a12a22b11b21b12b22＝a11×b11＋a12×b21a21×b11＋a22×b21a11×b12＋a12×b22a21×b12＋a22×b22性质：①一般情况下，AB≠BA，即矩阵的乘法不满足交换律；②矩阵的乘法满足结合律，即(AB)C＝A(BC)；③矩阵的乘法不满足消去律．2．矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A，B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵．若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵是唯一的，通常记A的逆矩阵为A－1，A－1＝B.(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A＝abcd(detA＝ad－bc≠0)，它的逆矩阵为A－1＝dad－bc－bad－bc－cad－bcaad－bc.(3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x，y的二元一次方程组ax＋by＝m，cx＋dy＝n的系数矩阵A＝abcd可逆，那么该方程组有唯一解xy＝abcd－1mn，其中A－1＝dad－bc－bad－bc－cad－bcaad－bc.3．二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的一个属于特征值λ的一个特征向量．(2)特征多项式与特征方程设λ是二阶矩阵A＝abcd的一个特征值，它的一个特征向量为ξ＝xy，则Axy＝λxy，即xy满足二元一次方程组ax＋by＝λx，cx＋dy＝λy，故λ－ax－by＝0－cx＋λ－dy＝0⇔λ－a－b－cλ－dxy＝00(*)则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式λ－a－b－cλ－d＝0.记f(λ)＝λ－a－b－cλ－d为矩阵A＝abcd的特征多项式；方程λ－a－b－cλ－d＝0，即f(λ)＝0称为矩阵A＝abcd的特征方程．(3)特征值与特征向量的计算如果λ是二阶矩阵A的特征值，则λ是特征方程f(λ)＝λ－a－b－cλ－d＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc＝0的一个根．解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解x＝x1，y＝y1，x＝x2，y＝y2，记ξ1＝x1y1，ξ2＝x2y2.则Aξ1＝λ1ξ1、Aξ2＝λ2ξ2，因此λ1、λ2是矩阵A＝abcd的特征值，ξ1＝x1y1，ξ2＝x2y2为矩阵A的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量．诊断自测1.100－157＝________.解析100－157＝1×5＋0×70×5＋－1×7＝5－7.答案5－72．若A＝12121212，B＝12－12－1212，则AB＝________.解析AB＝1212121212－12－1212＝12×12＋12×－1212×－12＋12×1212×12＋12×－1212×－12＋12×12＝0000.答案00003．设A＝－1001，B＝0－110，则AB的逆矩阵为________．解析∵A－1＝－1001，B－1＝01－10∴(AB)－1＝B－1A－1＝01－10－1001＝0110.答案01104．函数y＝x2在矩阵M＝10014变换作用下的结果为________．解析10014xy＝x14y＝x′y′⇒x＝x′，y＝4y′，代入y＝x2，得y′＝14x′2，即y＝14x2.答案y＝14x25．若A＝1562，则A的特征值为________．解析A的特征多项式f(λ)＝λ－1－5－6λ－2＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)，∴A的特征值为λ1＝7，λ2＝－4.答案7和－4考点一矩阵与变换【例1】(2014·苏州市自主学习调查)已知a，b是实数，如果矩阵M＝2ab1所对应的变换将直线x－y＝1变换成x＋2y＝1，求a，b的值．解设点(x，y)是直线x－y＝1上任意一点，在矩阵M的作用下变成点(x′，y′)，则2ab1xy＝x′y′，所以x′＝2x＋ay，y′＝bx＋y.因为点(x′，y′)，在直线x＋2y＝1上，所以(2＋2b)x＋(a＋2)y＝1，即2＋2b＝1，a＋2＝－1，所以a＝－3，b＝－12.规律方法理解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键．【训练1】已知变换S把平面上的点A(3,0)，B(2,1)分别变换为点A′(0,3)，B′(1，－1)，试求变换S对应的矩阵T.解设T＝acbd，则T：30→x′y′＝acbd30＝3a3b＝03，解得a＝0，b＝1；T：21→x′y′＝acbd21＝2a＋c2b＋d＝1－1，解得c＝1，d＝－3，综上可知T＝011－3.考点二二阶逆矩阵与二元一次方程组【例2】已知矩阵M＝2－31－1所对应的线性变换把点A(x，y)变成点A′(13,5)，试求M的逆矩阵及点A的坐标．解依题意得由M＝2－31－1，得|M|＝1，故M－1＝－13－12.从而由2－31－1xy＝135得xy＝－1－132135＝－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝2－3，故x＝2，y＝－3，∴A(2，－3)为所求．规律方法求逆矩阵时，可用定义法解方程处理，也可以用公式法直接代入求解．在求逆矩阵时要重视(AB)－1＝B－1A－1性质的应用．【训练2】已知矩阵A＝2132，(1)求矩阵A的逆矩阵；(2)利用逆矩阵知识解方程组2x＋3y－1＝0，x＋2y－3＝0.解(1)法一设逆矩阵为A－1＝acbd，则由2132acbd＝1001，得2a＋3c＝1，2b＋3d＝0，a＋2c＝0，b＋2d＝1，解得a＝2，b＝－3，c＝－1，d＝2，A－1＝2－1－32.法二由公式知若A＝acbd＝2132，(2)已知方程组2x＋3y－1＝0，x＋2y－3＝0，可转化为2x＋3y＝1，x＋2y＝3，即AX＝B，其中A＝2132，X＝xy，B＝13，且由(1)，得A－1＝2－1－32.因此，由AX＝B，同时左乘A－1，有A－1AX＝A－1B＝2－1－3213＝－75.即原方程组的解为x＝－7，y＝5.考点三求矩阵的特征值与特征向量【例3】已知a∈R，矩阵A＝1a21对应的线性变换把点P(1,1)变成点P′(3,3)，求矩阵A的特征值以及每个特征值的一个特征向量．解由题意1a2111＝3a＋1＝33，得a＋1＝3，即a＝2，矩阵A的特征多项式为f(λ)＝λ－1－2－2λ－1＝(λ－1)2－4＝(λ＋1)(λ－3)，令f(λ)＝0，所以矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝3.①对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组x＋y＝0，2x＋2y＝0得一个非零解x＝1，y＝－1.因此，α＝1－1是矩阵A的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量；②对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组2x－2y＝0，－2x＋2y＝0得一个非零解x＝1，y＝1.因此，β＝11是矩阵A的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．规律方法已知A＝acbd，求特征值和特征向量，其步骤为：(1)令f(λ)＝λ－a－c－bλ－d＝(λ－a)(λ－d)－bc＝0，求出特征值λ；(2)列方程组λ－ax－by＝0，－cx＋λ－dy＝0；(3)赋值法求特征向量，一般取x＝1或者y＝1，写出相应的向量．【训练3】(2014·扬州质检)已知矩阵M＝3－1－13，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量．解由矩阵M的特征多项式f(λ)＝λ－311λ－3＝(λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M的特征值．设矩阵M的特征向量为xy，当λ1＝2时，由Mxy＝2xy，可得－x＋y＝0，x－y＝0.可令x＝1，得y＝1，∴α1＝11是M的属于λ1＝2的特征向量．当λ2＝4时，由Mxy＝4xy，可得x＋y＝0，x＋y＝0，取x＝1，得y＝－1，∴α2＝1－1是M的属于λ2＝4的特征向量．用坐标转移的思想求曲线在变换作用下的新方程【典例】二阶矩阵M对应的变换T将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵M；(2)设直线l在变换T作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程．[审题视点](1)变换前后的坐标均已知，因此可以设出矩阵，用待定系数法求解．(2)知道直线l在变换T作用下的直线m，求原直线，可用坐标转移法．解(1)设M＝abcd，则abcd1－1＝－1－1，abcd－21＝0－2，所以a－b＝－1，c－d＝－1，且－2a＋b＝0，－2c＋d＝－2，解得a＝1，b＝2，c＝3，d＝4，所以M＝1