集合与简易逻辑练习题与答案1

一、选择题(每小题5分，共15分)1．(2010·天津)设集合A＝{x||x－a|1，x∈R}，B＝{x||x－b|2，x∈R}．若A⊆B，则实数a，b必满足()．A．|a＋b|≤3B．|a＋b|≥3C．|a－b|≤3D．|a－b|≥3解析A＝{x||x－a|1，x∈R}＝{x|a－1x1＋a}，B＝{x||x－b|2，x∈R}＝{x|x2＋b或xb－2}．∵A⊆B，∴b＋2≤a－1⇒a－b≥3或b－2≥1＋a⇒a－b≤－3，∴|a－b|≥3.故选D2．(2011·湖北)若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补，记φ(a，b)＝a2＋b2－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的()．A．必要而不充分的条件B．充分而不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件解析若φ(a，b)＝0，则a2＋b2＝a＋b，两边平方整理，得ab＝0，且a≥0，b≥0，∴a，b互补．若a，b互补，则a≥0，b≥0，且ab＝0，即a＝0，b≥0或b＝0，a≥0，此时都有φ(a，b)＝0，∴φ(a，b)＝0是a与b互补的充要条件．故选C3．(2010·辽宁)已知a0，则x0满足关于x的方程ax＝b的充要条件是()．A．∃x∈R，12ax2－bx≥12ax20－bx0B．∃x∈R，12ax2－bx≤12ax20－bx0C．∀x∈R，12ax2－bx≥12ax20－bx0D．∀x∈R，12ax2－bx≤12ax20－bx0解析a0，x0满足关于x的方程ax＝b，则ax0－b＝0，设f(x)＝12ax2－bx，f′(x)＝ax－b，而f′(x0)＝0.当xx0时，f′(x)0；当xx0时，f′(x)0，∴f(x)在x0处取得极小值，又f(x)只有一个极值，故f(x)min＝f(x0)，即∀x∈R，有f(x)≥f(x0)；反之，∀x∈R，12ax2－bx≥12ax20－bx0，即f(x)min＝f(x0)，而f(x)＝12ax－ba2－b22a，当x＝ba时，f(x)取得最小值，即x0＝ba，x0满足方程ax＝b.故选C二、填空题(每小题5分，共10分)4．(2011·安徽)设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是________．解析由S⊆A且S∩B≠∅可知：元素4,5,6中至少有一个是S中的元素．S中的其余元素是从1,2,3中选1个，2个，3个或不选．故S的个数为(C13＋C23＋C33)×23＝56.故填565．设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．给出下列命题：①集合S＝{a＋bi|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．其中的真命题是________(写出所有真命题的序号)．解析设x＝a1＋b1i，y＝a2＋b2i，a1，b1，a2，b2为整数，则x＋y＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i，x－y＝(a1－a2)＋(b1＋b2)i，xy＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i，由于a1，b1，a2，b2为整数，故a1±a2，b1±b2，a1a2－b1b2，a1b2＋a2b1都是整数，所以x＋y，x－y，xy∈S，故集合S＝{a＋bi|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集，①是真命题；若S是封闭集，x＝y∈S，则根据封闭集的定义，x－y＝x－x＝0∈S，故命题②正确；集合S＝{0}，显然是封闭集，故封闭集不一定是无限集，命题③不正确；集合S＝{0}⊆{0,1}＝T⊆C，容易验证集合T不是封闭集，故命题④不是真命题．故填①②.故填①②三、解答题(本题10分)6．设p：实数x满足x2－4ax＋3a20，其中a0，q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－80，且綈p是綈q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．解由x2－4ax＋3a20及a0，得3axa，即p：3axa；又由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，由x2＋2x－80，得x－4或x2，那么q：x－4或x≥－2.由于綈p是綈q的必要不充分条件，即綈q⇒綈p，于是，得3a≥－2，a0或a≤－4，a0，得－23≤a0或a≤－4，故所求a的取值范围为a－23≤a0，或a≤－4.