赋值法在高中数学中的应用

赋值法在高中数学中的应用康乐一中倾转莉（一）判断函数的奇偶性例1已知函数y＝f（x）（x∈R，x≠0），对任意非零实数x1x2都有f（x1x2）＝f（x1）＋f（x2），试判断f（x）的奇偶性。(二)讨论函数的单调性例2．设f（x）定义于实数集R上，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，有f（x＋y）=f（x）f（y），求证f（x）在R上为增函数。(三)求函数的值域例3已知函数f（x）在定义域x∈R＋上是增函数，且满足f（xy）=f（x）＋f（y）（x、y∈R＋），求f（x）的值域。(四)判断函数的周期性例4函数f（x）定义域为R，对任意实数a、b∈R，有f（a＋b）=2f（a）f（b），且存在c0，使02cf，求证f（x）是周期函数。(五)求函数的解析式例5设对满足|x|≠1的所有实数x，函数f（x）满足xxxfxxf1313，求f（x）的解析式。有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。二．赋值法在二项式定理中的应用在二项式定理（a+b)n=0nCan+1nCan-1b+…1nnCabn-1+nnCbn(n∈N)中，给a,b赋予一些特殊值，或者在（1+x)n=1+1nCx+…1nnCxn-1+nnCxn中给x一些特殊值，可以得到相应的系数,所以“赋值法”在二项式定理求系数和中最常见。例题6：在10)32(yx的展开式中,求:①二项式系数的和;②各项系数的和;③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;④奇数项系数和与偶数项系数和;⑤x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.分析:因为二项式系数特指组合数rnC,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式yx32中的系数无关..点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,.定理：对于101()()()nnnfxaxaaxaa，令1,xa即1xa可得各项系数的和012naaaa的值；令1,xa即1xa，可得奇数项系数和与偶数项和的关系奎屯王新敞新疆三．赋值法在算法中的应用赋值是算法中的难点之一，理解赋值对于理解算法是非常重要的。例如，a=5,就表示变量a被赋予的值是5，这个被赋值的变量可以与其他的值进行运算。对于被赋值的变量a，还可以赋予其它的值取代原来的值。我们可以用磁带录音来比喻赋值，在我们录音时，是把磁带上旧的录音材料冲掉之后，才能把新的录音材料加载上去。同样的道理，我们这里的赋值也是先把原来的值清零之后，再把新的值赋上去。下面我们通过一个例子来说明如何设置变量和给变量赋值。例8：设计一个算法，从5个不同的数中找出最大数。解：记这5个不同的数分别为a1,a2,a3,a4,a5,算法步骤如下：1、比较a1与a2将较大的数记作b.（在这一步中，b表示的是前2个数中的最大数）2、再将b与a3进行比较，将较大的数记作b.（执行完这一步后，b的值就是前3个数中的最大数）3、再将b与a4进行比较，将较大的数记作b.（执行完这一步后，b的值就是前4个数中的最大数）4、再将b与a5进行比较，将较大的数记作b.（执行完这一步后，b的值就是前5个数中的最大数）5、输出b，b的值即为所求得最大数。分析：上述算法的4个步骤中，每步都要与上一步中得到的最大数b进行比较，得出新的最大数。b可以取不同的值，b就称之为变量。在第1步到第4步的算法过程中，我们都把比较后的较大数记作b，即把值赋予了b，这个过程就是赋值的过程，这个过程有两个功能，第一，我们可以不断地对b的值进行改变，即把数值放入b中；第二，b的值每变化一次都是为下一步的比较服务。四．在恒成立问题中的应用例9、是否存在实数a,bc,使得函数f(x)=ax2+bx+c对于任意实数a均满足下列条件：（1）f(sin)≥2;(2)f(2-cos)≤2;(3)f(4)≥c,若存在，找出一组数a,bc，并画出函数的图象，若不存在，说明理由。分析：若直接把sin、2-cos、4代入原函数化简，方程个数较多，自变量形式复杂，给解题带来一定难度，注意到题目中条件对一切实数均能使等式恒成立，故不妨令为特殊值为突破口。解：在（1）中令sin=1,则有f(1)≥2,在（2）中令cos=1,则有f(1)≤2，∴f(1)=2,即a+b+c=2；由f(4)≥c,得4a+b≥0,在（2）中令cos=-1,可得f(3)≤-2,化简即得4a+b≤0，可得4a=-b,则可求得c=3a+2;∴f(x)=ax2-4ax+3a+2=a(x-2)2+2-a----------------(1)在（2）中令cos=0,有f(2)=2-a≤2,∴a≥0,则（1）式表示开口向上，对称轴为x=2的抛物线，取a=1,此时b–4,c=5,所得抛物线符合题意。五．在解选择题及填空中的特殊应用选择题、填空题因其题目的特殊性，在有些问题中不要求有严密的推理证明，而只要能借助于一些特殊方法写出正确结果即可，故其应用相当普遍。例10、如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x=8对称，那么a=（）A、1B、-1C2D-2。略解：取x=0及x=4，则f(0)=f(4),即a=-1。例11、当a∈R时，关于x,y的方程(x2+y2+x+y)-a(x+2y+1)=0表示的曲线是轴对称图形，则它们的公共对称轴方程（）Ax+2y+1=0B4x+2y+1=0C4x-2y+1=0D2x-4y+1=0略解：既然上述对称轴对一切a∈R都成立，不妨令a=0，则方程变为：x2+y2+x+y=0，即（x+21)2+(y+21)2=41,此曲线为圆，圆心坐标为（21，21），只适合于C，故答案为C。例12、△ABC中，角A，B，C依次成等差数列，则a+c与2b的大小（）Aa+c2bBa+c2bCa+c≥2bDa+c≤2b略解：题中没有给定三角形的形状，不妨令A=B=C=600，则可排除A、B，再取角A，B，C分别为300，600，900，可排除C，故答案为D。例10、定义在实数集上的函数f(x)=(x+a)3,满足f(x+1)=-f(1-x),则f(2)+f(-3)=。1o2xy略解：∵f(x+1)=-f(1-x)对一切x∈R都成立，当然可以把x+1和1-x分别代入函数关系式得：(x+1+a)3=(1-x+a)3，化简后得到a的值。然而既然f(x+1)=-f(1-x)对一切x∈R都成立，不妨令x=0,可得f(1)=0,代入原函数关系可得a=-1,即f(x)=(x-1)3，故f(2)+f(-3)=-63。参考文献：例1.解：取x1＝－1，x2＝1得f（－1）=f（－1）＋（1），所以f（1）=0又取x1=x2=－1，得f（1）=f（－1）＋f（－1），所以f（－1）=0再取x1=x，x2=－1，则有f（－x）=f（x），即f（－x）=f（x）因为f（x）为非零函数，所以f（x）为偶函数。例2.证明：由f（x＋y）=f（x）f（y）中取x=y=0得f（0）=f2（0）。若f（0）=0，令x＞0，y=0，则f（x）=0，与f（x）＞1矛盾。所以f（0）≠0，即有f（0）=1。当x＞0时，f（x）＞1＞0，当x0时，f（－x）10，而0)(1)(xfxf，又x=0时，f（0）=0，所以f（x）∈R，f（x）0。设x1x2，则x1x20，f（x2－x1）1，所以f（x2）=f[x1＋（x2－x1）]=f（x1）·f（x2－x1）f（x1），所以y=（x）在R上为增函数。例3.解：因为x=y=1时，（1）=2f（1），所以f（1）=0又因为（x）在定义域R＋上是增函数，所以x1x20时，令x1=mx2（m1），则f（x1）－f（x2）=f（m·x2）－f（x2）=f（m）＋f（x2）－f（x2）=f（m）0。得以对于x1有f（x）0。又设x1=mx20（0m1），则0x1x2。所以由函数在R＋上递增可得f（x1）－f（x2）0,即f（mx2）－f（x2）=f（m）＋f（x2）－f（x2）=f（m）0。所以对于0x1有f（x）0。综上所述：当x∈R＋时，f（x）的值域为R。例4证明：令2cxa，2cb，代入f（a＋b）＋f（a－b）=2f（a）f（b）可得：f（x＋c）=－f（x）。所以f（x＋2c）=f[（x＋c）＋c]=－f（x＋c）=f（x），即f（x＋2c）=f（x）。则f（x）是以2c为周期的函数。.例5.解：将x取为13xx代入原等式，有13)(13xxxfxxf，（1）将x取为xx13代入原等式，有xxxxfxf1313)(。（2）（1）＋（2），且将原等式代入即得)1|(|227)(23xxxxxf例6.解：设10102829110010)32(yayxayxaxayx(*),各项系数和即为1010aaa,奇数项系数和为0210aaa,偶数项系数和为9531aaaa,x的奇次项系数和为9531aaaa,x的偶次项系数和10420aaaa.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.①二项式系数和为1010101100102CCC.②令1yx,各项系数和为1)1()32(1010.③奇数项的二项式系数和为910102100102CCC,偶数项的二项式系数和为99103101102CCC.④设10102829110010)32(yayxayxaxayx,令1yx,得到110210aaaa…(1),令1x,1y(或1x,1y)得101032105aaaaa…(2)(1)+(2)得10102051)(2aaa,∴奇数项的系数和为25110;(1)-(2)得1093151)(2aaa,∴偶数项的系数和为25110.⑤x的奇次项系数和为251109531aaaa;x的偶次项系数和为2511010420aaaa