走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学10-5

基础巩固强化一、选择题1．已知α、β、γ是不重合平面，a、b是不重合的直线，下列说法正确的是()A．“若a∥b，a⊥α，则b⊥α”是随机事件B．“若a∥b，a⊂α，则b∥α”是必然事件C．“若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β”是必然事件D．“若a⊥α，a∩b＝P，则b⊥α”是不可能事件[答案]D[解析]a∥ba⊥α⇒b⊥α，故A错；a∥ba⊂α⇒b∥α或b⊂α，故B错；当α⊥γ，β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交(包括垂直)，故C错；如果两条直线垂直于同一个平面，则此二直线必平行，故D为真命题．2．(文)4张卡片上分别写有数字1、2、3、4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为()A.13B.12C.23D.34[答案]C[解析]取出两张卡片的基本事件构成集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}共6个基本事件．其中数字之和为奇数包含(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)共4个基本事件，∴所求概率为P＝46＝23.(理)(2013·宿州质检)一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，将这颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为()A.112B.118C.136D.7108[答案]A[解析]连续抛掷三次共有63＝216(种)情况，记三次点数分别为a、b、c，则a＋c＝2b，所以a＋c为偶数，则a、c的奇偶性相同，且a、c允许重复，一旦a、c确定，b也唯一确定，故a，c共有2×32＝18(种)，所以所求概率为18216＝112，故选A.3．(文)(2013·惠州调研)一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为()A.12B.13C.14D.25[答案]A[解析]P＝2×2＋2×24×4＝12.(理)(2013·皖南八校联考)一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是()A.15B.310C.25D.12[答案]C[解析]P＝C23＋C22C25＝25.4．(文)(2013·郑州第一次质量预测)一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验计算圆周率，他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆，测得正方形区域有豆5120颗，正方形的内切圆区域有豆4009颗，则他们所测得的圆周率为(保留三位有效数字)()A．3.13B．3.14C．3.15D．3.16[答案]A[解析]根据几何概型的定义有π·1221＝40095120，得π≈3.13.(理)点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|1的概率为()A.14B.12C.π4D．π[答案]C[解析]由题意可知，当动点P位于扇形ABD内时，动点P到定点A的距离|PA|1，根据几何概型可知，动点P到定点A的距离|PA|1的概率为S扇形ABDS正方形ABCD＝π4，故选C.5．(文)(2013·石家庄质检)在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为()A.14B.13C.12D.32[答案]C[解析]如图，设圆的半径为r，圆心为O，AB为圆的一条直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为M，若CD为圆内接正三角形的一条边，则O到CD的距离为r2，设EF为与CD平行且到圆心O距离为r2的弦，交直径AB于点N，所以当过AB上的点且垂直于AB的弦的长度超过CD时，该点在线段MN上移动，所以所求概率P＝r2r＝12，选C.(理)(2013·湖南)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为12，则ADAB＝()A.12B.14C.32D.74[答案]D[解析]由题意知ABAD，如图，当点P与E(或F)重合时，△ABP中，AB＝BP(或AP)，当点P在EF上运动时，总有ABAP，ABBP，由题中事件发生的概率为12知，点P的分界点E、F恰好是边CD的四等分点，由勾股定理可得AB2＝AF2＝(34AB)2＋AD2，解得(ADAB)2＝716，即ADAB＝74，故选D.6．(2013·武昌区联考)若从区间(0,2)内随机取两个数，则这两个数的比不小于4的概率为()A.18B.78C.14D.34[答案]C[解析]设这两个数分别为x，y，则由条件知0x2,0y2，y≥4x或x≥4y，则所求概率P＝2×12×2×122×2＝14.二、填空题7．(2013·郑州二检)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，设向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈0，π2的概率是________．[答案]712[解析]∵cosθ＝m－n2·m2＋n2，θ∈0，π2，∴m≥n，满足条件m＝n的概率为636＝16，mn的概率与mn的概率相等，∴mn的概率为12×1－16＝512，∴满足m≥n的概率为P＝16＋512＝712.8．(文)(2012·浙江文，12)从边长为1的正方形的中心和顶点这五个点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为22的概率是________．[答案]25[解析]由五个点中随机取两点共有10种取法．由图可知两点间的距离为22的是中心和四个顶点组成的4条线段，故概率为P＝410＝25.(理)在区间[1,5]和[2,4]分别各取一个数，记为m和n，则方程x2m2＋y2n2＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________．[答案]12[解析]∵方程x2m2＋y2n2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴mn.由题意知，在矩形ABCD内任取一点P(m，n)，求P点落在阴影部分的概率，易知直线m＝n恰好将矩形平分，∴p＝12.9．(文)在区间[－1,1]上随机取一个数k，则直线y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1有公共点的概率为________．[答案]33[解析]∵直线与圆有公共点，∴|2k|k2＋1≤1，∴－33≤k≤33.故所求概率为P＝33－－331－－1＝33.(理)(2013·大连、沈阳联考)若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a和b，则方程x＝22a－2bx有不等实数根的概率为________．[答案]12[解析]方程x＝22a－2bx化为x2－22ax＋2b＝0，∵方程有两个不等实根，∴Δ＝8a－8b0，∴ab，如图可知，所求概率P＝12.三、解答题10．(文)设平面向量am＝(m,1)，bn＝(2，n)，其中m、n∈{1,2,3,4}．(1)请列出有序数组(m，n)的所有可能结果；(2)记“使得am⊥(am－bn)成立的(m，n)”为事件A，求事件A发生的概率．[解析](1)有序数组(m，n)的所有可能结果为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个．(2)由am⊥(am－bn)得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2由于m、n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件为(2,1)，(3,4)，共2个．又基本事件的总数为16，故所求的概率为P(A)＝216＝18.(理)(2013·北京东城区统一检测)袋内装有6个球，这些球依次被编号为1、2、3、…、6，设编号为n的球重n2－6n＋12(单位：g)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响)．(1)从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率；(2)如果不放回地任意取出2个球，求它们重量相等的概率．[解析](1)若编号为n的球的重量大于其编号，则n2－6n＋12n，即n2－7n＋120.解得n3，或n4.所以n＝1,2,5,6.所以从袋中任意取出一个球，其重量大于其编号的概率P＝46＝23.(2)不放回地任意取出2个球，这两个球编号的所有可能情形为(不分取出的先后次序)：1,2；1,3；1,4；1,5；1,6；2,3；2,4；2,5；2,6；3,4；3,5；3,6；4,5；4,6；5,6.共有15种．设编号分别为m与n(m，n∈{1,2,3,4,5,6}，且m≠n)的球的重量相等，则有m2－6m＋12＝n2－6n＋12，即有(m－n)(m＋n－6)＝0.所以m＝n(舍去)，或m＋n＝6.满足m＋n＝6的情形为：1,5；2,4，共2种．故所求事件的概率为215.能力拓展提升一、选择题11．(2013·北京海淀期末)一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为()A.112B.512C.712D.56[答案]A[解析]先从4个位置中选一个排4，再从剩下位置中选一个排3，所有可能的排法有4×3＝12种，满足要求的排法只有1种，∴所求概率为P＝112.12．(文)(2012·辽宁文，11)在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为()A.16B.13C.23D.45[答案]C[解析]在长为12cm的线段AB上任取一点C，设AC＝x，则BC＝12－x，∴x(12－x)20，∴2x10，因此总的几何度量为12，满足矩形面积大于20cm2的点在C1与C2之间的部分，如图∴P＝812＝23.关键在于找出总长度及事件“矩形的面积大于20cm2”所表示区域的长度．(理)(2012·湖北理，8)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A．1－2πB.12－1πC.2πD.1π[答案]A[分析]在扇形OAB内随机取一点，此点落在阴影部分的概率属于几何概型问题，关键是求阴影部分的面积，如图设阴影部分两块的面积分别为S1、S2，OA＝R，则S1＝2(S扇形DOC－S△DOC)，S2＝S扇形OAB－S⊙D＋S1.[解析]设图中阴影面积分别为S1，S2，令OA＝R，由图形知，S1＝2(S扇ODC－S△ODC)＝2[π·R224－12·(R2)2]＝πR2－2R28，S2＝S扇形OAB－S⊙D＋S1＝14πR2－π·(R2)2＋πR2－2R28＝πR2－2R28，∴所求概率P＝S1＋S2S扇形OAB＝πR2－2R2414πR2＝1－2π.[点评]1.当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；2．利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的计算，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．13．在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于65的概率是()A.1225B.1625C.1725D.1825[答案]C[解析]设两数为x、y，则0x1,0y1，满足x＋y65的点在图中阴影部分，∴所求概率为P＝1－12×1－1521＝1725，故选C.二、填空题14．(文)(2013·大连模拟)在长为16cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，则此正方形的面积介于25cm2与81cm2之间的概率为________．[答案]14[解析]正方形的面积介于25cm2与81cm2之间，即线段AM长介于5cm与9cm之间，即点M可以在5～9cm之间取，长度为4cm，总长为16cm，所以，所求概率为416＝14.(理)(2013·南昌一模)张先生订了一份《南昌晚报》，送报人在早上6:30—7:30之间把报纸送到他家，张先生离开家去上班的时间在早上7:00—8:00之间，则张先生在离开家之前能拿到报纸的概率是________．[答案]78[解析]以横坐标x表示报纸送到时间，以纵坐标y表示张先生离家时间，建立平面直角坐标系，如图．