走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学11-3

基础巩固强化一、选择题1．(文)观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72011的末两位数字为()A．01B．43C．07D．49[答案]B[解析]75＝16807,76＝117649，又71＝07，观察可见7n(n∈N*)的末二位数字呈周期出现，且周期为4，∵2011＝502×4＋3，∴72011与73末两位数字相同，故选B.(理)(2012·江西理，6)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．199[答案]C[解析]本题考查了归纳推理能力，∵1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，…，47＋76＝123，故选C.[点评]解答本题时，可能因为分析不出右边数字与前两式的数字关系，从而无从下手，导致无法解题或错选，要注意训练观察分析、归纳概括能力．2．(2013·烟台质检)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但大前提错误D．使用了“三段论”，但小前提错误[答案]C[解析]三段论的大前提必须是全称命题，此推理过程是三段论，但大前提是特称命题．3．(文)将正整数排成下表：则在表中数字2014出现在()A．第44行第78列B．第45行第78列C．第44行第77列D．第45行第77列[答案]B[解析]第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且19362014,20252014，∴2014在第45行．2014－1936＝78，∴2014在第78列，选B.(理)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是()A．(7,5)B．(5,7)C．(2,10)D．(10,1)[答案]B[解析]依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知每组中每个“整数对”的和为n＋1，且每组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有nn＋12个“整数对”，注意到1010＋12601111＋12，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)，选B.4．(2012·长春调研)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)＝ax－a－x，C(x)＝ax＋a－x，其中a0，且a≠1，下面正确的运算公式是()①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；③2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；④2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．A．①②B．③④C．①④D．②③[答案]B[解析]经验证易知①②错误．依题意，注意到2S(x＋y)＝2(ax＋y－a－x－y)，S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(ax＋y－a－x－y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；同理有2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．综上所述，选B.5．(文)n个连续自然数按规律排成下表：根据规律，从2012到2014的箭头方向依次为()A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓[答案]A[解析]观察图例可见，位序相同的数字都是以4为公差的等差数列，故从2012至2014，其位序应与012相同，故选A.(理)已知函数f(x)＝sinx＋ex＋x2010，令f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，则f2014(x)＝()A．sinx＋exB．cosx＋exC．－sinx＋exD．－cosx＋ex[答案]C[解析]f1(x)＝f′(x)＝cosx＋ex＋2010x2009，f2(x)＝f1′(x)＝－sinx＋ex＋2010×2009x2008，f3(x)＝f2′(x)＝－cosx＋ex＋2010×2009×2008x2007，f4(x)＝f3′(x)＝sinx＋ex＋2010×2009×2008×2007x2006，由此可以看出，该函数前2项的和成周期性变化，周期T＝4；而f2014(x)＝f′2013(x)，此时其最后一项的导数已变为0.故求f2014(x)的值，只需研究该函数前2项和的变化规律即可，于是，f2014(x)＝f(2＋4×503)(x)＝－sinx＋ex.6．(文)定义某种新运算“⊗”：S＝a⊗b的运算原理为如图的程序框图所示，则式子5⊗4－3⊗6＝()A．2B．1C．3D．4[答案]B[解析]由题意知5⊗4＝5×(4＋1)＝25,3⊗6＝6×(3＋1)＝24，所以5⊗4－3⊗6＝1.(理)若定义在区间D上的函数f(x)，对于D上的任意n个值x1、x2、…、xn，总满足f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)≥nfx1＋x2＋…＋xnn，则称f(x)为D上的凹函数，现已知f(x)＝tanx在0，π2上是凹函数，则在锐角三角形ABC中，tanA＋tanB＋tanC的最小值是()A．3B.23C．33D.3[答案]C[解析]根据f(x)＝tanx在0，π2上是凹函数，再结合凹函数定义得，tanA＋tanB＋tanC≥3tanA＋B＋C3＝3tanπ3＝33.故所求的最小值为33.二、填空题7．(文)(2013·青岛模拟)如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有fx1＋fx2＋…＋fxnn≤f(x1＋x2＋…＋xnn)．若y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．[答案]332[解析]由题意知，凸函数满足fx1＋fx2＋…＋fxnn≤f(x1＋x2＋…＋xnn)，∴sinA＋sinB＋sinC≤3sinA＋B＋C3＝3sinπ3＝332.(理)设f(x)定义如表，数列{xn}满足x1＝5，xn＋1＝f(xn)，则x2014的值为________.x123456f(x)451263[答案]1[解析]由条件知x1＝5，x2＝f(x1)＝f(5)＝6，x3＝f(x2)＝f(6)＝3，x4＝f(x3)＝f(3)＝1，x5＝f(x4)＝f(1)＝4，x6＝f(x5)＝f(4)＝2，x7＝f(x6)＝f(2)＝5＝x1，可知{xn}是周期为6的周期数列，∴x2014＝x4＝1.8．(文)(2012·陕西文，12)观察下列不等式1＋12232，1＋122＋13253，1＋122＋132＋14274，……照此规律，第五个．．．不等式为__________________．[答案]1＋122＋132＋142＋152＋162116[解析]本题考查了归纳的思想方法．观察可以发现，第n(n≥2)个不等式左端有n＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n＋1)2；右端分母为n＋1，分子成等差数列，因此第n个不等式为1＋122＋132＋…＋1n＋122n＋1n＋1，所以第五个不等式为：1＋122＋132＋142＋152＋162116.(理)(2013·龙江模拟)已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，经计算得f(2)＝32，f(4)2，f(8)52，f(16)3，f(32)72.则有________________．[答案]f(2n)≥n＋22(n≥2，n∈N*)[解析]因为f(22)42，f(23)52，f(24)62，f(25)72，所以当n≥2时，有f(2n)n＋22.故填f(2n)n＋22(n≥2，n∈N*)．9．(文)(2013·山西四校联考)已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋1x≥2，x＋4x2＝x2＋x2＋4x2≥3，x＋27x3＝x3＋x3＋x3＋27x3≥4，…，类比得x＋axn≥n＋1(n∈N*)，则a＝________.[答案]nn[解析]第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1，第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4，第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.(理)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－b2a2.那么对于双曲线则有如下命题：AB是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝________.[答案]b2a2[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则有x0＝x1＋x22，y0＝y1＋y22.将A，B代入双曲线x2a2－y2b2＝1中得，x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1，两式相减得x21－x22a2＝y21－y22b2，即x1－x2x1＋x2a2＝y1－y2y1＋y2b2，即y1－y2y1＋y2x1－x2x1＋x2＝b2a2，即kOM·kAB＝b2a2.三、解答题10．(文)已知：a0，b0，a＋b＝1.求证：a＋12＋b＋12≤2.[证明]要证a＋12＋b＋12≤2，只需证a＋12＋b＋12＋2a＋12b＋12≤4，又a＋b＝1，故只需证a＋12b＋12≤1，只需证(a＋12)(b＋12)≤1，只需证ab≤14.∵a0，b0,1＝a＋b≥2ab，∴ab≤14，故原不等式成立．(理)(2013·鹤岗模拟)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？[解析](1)证明：假设数列{Sn}是等比数列，则S22＝S1S3，即a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾，所以数列{Sn}不是等比数列．(2)当q＝1时，{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，得q＝0，这与公比q≠0矛盾．能力拓展提升一、选择题11．(文)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)[答案]D[解析]观察所给例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∵g(x)＝f′(x)，∴g(－x)＝－g(x)，选D.(理)甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再加上12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2.对实数a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3.当a3a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为34，则a1的取值范围是()A．[－12,24]B．(－12,24)C．(－∞，－12)∪(24，＋∞)D．(－∞，－12]∪[24，＋∞)[答案]D[解析]因为甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，出现的可能情形有4种：(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)，所以每次操作