走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学12-3

基础巩固强化一、选择题1．(2012·安徽“江南十校”联考)已知集合M＝{x||2x－1|2}，N＝{x|x－2x－11}，则M∩N等于()A．{x|1x32}B．{x|12x1}C．{x|－12x32}D．{x|－12x32，且x≠1}[答案]A[解析]由|2x－1|2得－22x－12，则－12x32；由x－2x－11得x－2－x－1x－10，即－1x－10，则x1.因此M∩N＝{x|1x32}，选A.2．不等式|x－2|－|x－1|0的解集为()A．(－∞，32)B．(－∞，－32)C．(32，＋∞)D．(－32，＋∞)[答案]A[解析]原不等式等价于|x－2||x－1|，则(x－2)2(x－1)2，解得x32.3．设集合A＝{x||x－a|1，x∈R}，B＝{x||x－b|2，x∈R}．若A⊆B，则实数a、b必满足()A．|a＋b|≤3B．|a＋b|≥3C．|a－b|≤3D．|a－b|≥3[答案]D[解析]由题意可得集合A＝{x|a－1xa＋1}，集合B＝{x|xb－2或xb＋2}，又因为A⊆B，所以有a＋1≤b－2或b＋2≤a－1，即a－b≤－3或a－b≥3.因此选D.4．(文)若不等式|ax＋2|4的解集为(－1,3)，则实数a等于()A．8B．2C．－4D．－2[答案]D[解析]由－4ax＋24，得－6ax2.∴(ax－2)(ax＋6)0，其解集为(－1,3)，∴a＝－2.[点评]可用方程的根与不等式解集的关系求解．(理)对于实数x、y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为()A．5B．4C．8D．7[答案]A[解析]由题易得，|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤|x－1|＋|2(y－2)|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.二、填空题5．(2013·天津)设a＋b＝2，b0，则12|a|＋|a|b的最小值为________．[答案]34[解析]因为12|a|＋|a|b＝a＋b4|a|＋|a|b≥a4|a|＋2b4|a|·|a|b＝a4|a|＋1≥－14＋1＝34，当且仅当b4|a|＝|a|b，a0，即a＝－2，b＝4时取等号，故12|a|＋|a|b的最小值是34.6．(文)不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．[答案](－∞，2)[解析]由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9，则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2，所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)a对于一切x∈R恒成立，则需a2.(理)(2013·昆明重点中学检测)已知不等式2x－1≥15|a2－a|对于x∈[2,6]恒成立，则实数a的取值范围是________．[答案][－1,2][解析]设y＝2x－1，x∈[2,6]，则y′＝－2x－120，则y＝2x－1在区间[2,6]上单调递减，则ymin＝26－1＝25，故不等式2x－1≥15|a2－a|对于x∈[2,6]恒成立等价于15|a2－a|≤25成立，等价于a2－a－2≤0，a2－a＋2≥0.解得－1≤a≤2，故a的取值范围是[－1,2]．7．(2013·陕西)设a，b∈R，|a－b|2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|2的解集是________．[答案](－∞，＋∞)[解析]∵|x－a|＋|x－b|≥|a－b|2，∴|x－a|＋|x－b|2恒成立，则解集为R.8．(2012·陕西)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．[答案]－2≤a≤4[解析]|x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.9．若a0，b0，则p＝(ab)a＋b2，q＝ab·ba的大小关系是________．[答案]p≥q[解析]∵a0，b0，∴p＝(ab)a＋b20，q＝ab·ba0，pq＝aba＋b2abba＝aa－b2·bb－a2＝aba－b2.若ab，则ab1，a－b20，∴aba－b21；若ab，则0ab1，a－b20，∴aba－b21；若a＝b，则ab＝1，a－b2＝0，∴aba－b2＝1.∴aba－b2≥1，即pq≥1.∵q0，∴p≥q.[点评]可运用特值法，令a＝1，b＝1，则p＝1，q＝1，有p＝q；令a＝2，b＝4，有p＝83＝512，q＝24×42＝256，∴pq，故填p≥q.三、解答题10．(文)已知函数f(x)＝|x－7|－|x－3|.(1)作出函数f(x)的图象；(2)当x5时，不等式|x－8|－|x－a|2恒成立，求a的取值范围．[解析](1)∵f(x)＝4，x≤3，10－2x，3x7，－4x≥7，图象如图所示：(2)∵x5，∴|x－8|－|x－a|2，即8－x－|x－a|2，即|x－a|6－x，对x5恒成立．即x－6x－a6－x对x5恒成立，∴a6，a2x－6.对x5恒成立．又∵x5时，2x－64，∴4≤a6.∴a的取值范围为[4,6)．(理)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－3|.(1)作出函数y＝f(x)的图象；(2)若对任意x∈R，f(x)≥a2－3a恒成立，求实数a的取值范围．[解析](1)①当x≤－1时，f(x)＝－x－1－x＋3＝－2x＋2；②当－1x3时，f(x)＝x＋1＋3－x＝4；③当x≥3时，f(x)＝x＋1＋x－3＝2x－2.∴f(x)＝－2x＋2，x≤－1，4，－1x3，2x－2，x≥3.∴y＝f(x)的图象如图所示．(2)由(1)知f(x)的最小值为4，由题意可知a2－3a≤4，即a2－3a－4≤0，解得－1≤a≤4.故实数a的取值范围为[－1,4].能力拓展提升一、填空题11．(文)(2013·石家庄模拟)若不等式|3x－b|4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________．[答案](5,7)[解析]∵|3x－b|4，∴b－43xb＋43.由题意得0≤b－431，3b＋43≤4，解得5b7，∴b的取值范围是(5,7)．(理)若a、b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则a2x＋b2y≥a＋b2x＋y，当且仅当ax＝by时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f(x)＝2x＋91－2x(x∈(0，12))的最小值为________．[答案]25[解析]依据给出的结论可知f(x)＝42x＋91－2x≥2＋322x＋1－2x＝25等号在22x＝31－2x，即x＝15时成立．12．(文)(2013·山东师大附中三模)不等式|2x＋1|＋|x－1|2的解集为________．[答案](－23，0)[解析]当x≤－12时，原不等式等价为－(2x＋1)－(x－1)2，即－3x2，x－23，此时－23x≤－12.当－12x1时，原不等式等价为(2x＋1)－(x－1)2，即x0，此时－12x0.当x≥1时，原不等式等价为(2x＋1)＋(x－1)2，即3x2，x23，此时不等式无解．综上，不等式的解集为－23x0.(理)不等式|x＋log3x||x|＋|log3x|的解集为________．[答案]{x|0x1}[解析]由对数函数定义得x0，又由绝对值不等式的性质知，|x＋log3x|≤|x|＋|log3x|，当且仅当x与log3x同号时等号成立，∵x0，∴log3x0，∴x1，故原不等式的解集为{x|0x1}．二、解答题13．(文)(2013·福建理，21)设不等式|x－2|a(a∈N*)的解集为A，且32∈A，12∉A.(1)求a的值；(2)求函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的最小值．[解析](1)因为32∈A，且12∉A，所以|32－2|a，且|12－2|≥a，解得12a≤32.又因为a∈N*，所以a＝1.(2)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当(x＋1)(x－2)≤0，即－1≤x≤2时取到等号．所以f(x)的最小值为3.(理)(2013·福建龙岩模拟)已知函数f(x)＝|x－3|，g(x)＝－|x＋4|＋m.(1)已知常数a2，解关于x的不等式f(x)＋a－20；(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求实数m的取值范围．[解析](1)由f(x)＋a－20得|x－3|2－a，∴x－32－a或x－3a－2，∴x5－a或xa＋1.故不等式的解集为(－∞，a＋1)∪(5－a，＋∞)(2)∵函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，∴f(x)g(x)恒成立，即m|x－3|＋|x＋4|恒成立．∵|x－3|＋|x＋4|≥|(x－3)－(x－4)|＝7，∴m的取值范围为m7.14．(2013·新课标Ⅱ理，24)设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ac≤13；(2)a2b＋b2c＋c2a≥1.[解析](1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得，a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13.(2)因为a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c，故a2b＋b2c＋c2a＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.所以a2b＋b2c＋c2a≥1.15．(文)设不等式|2x－1|1的解集是M，a、b∈M.(1)试比较ab＋1与a＋b的大小；(2)设max表示数集A中的最大数．h＝max{2a，a2＋b2ab，2b}，求证：h≥2.[解析]由|2x－1|1得－12x－11，解得0x1.所以M＝{x|0x1}．(1)由a、b∈M，得0a1,0b1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)0.故ab＋1a＋b.(2)由h＝max{2a，a2＋b2ab，2b}，得h≥2a，h≥a2＋b2ab，h≥2b，所以h3≥2a·a2＋b2ab·2b＝4a2＋b2ab≥8，故h≥2.(理)已知a、b为正实数．(1)求证：a2b＋b2a≥a＋b；(2)利用(1)的结论求函数y＝1－x2x＋x21－x(0x1)的最小值．[解析](1)证法一：∵a0，b0，∴(a＋b)(a2b＋b2a)＝a2＋b2＋a3b＋b3a≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.∴a2b＋b2a≥a＋b，当且仅当a＝b时等号成立．证法二：∵a2b＋b2a－(a＋b)＝a3＋b3－a2b－ab2ab＝a3－a2b－ab2－b3ab＝a2a－b－b2a－bab＝a－b2a＋bab.又∵a0，b0，∴a－b2a＋bab≥0，当且仅当a＝b时等号成立．∴a2b＋b2a≥a＋b.(2)解：∵0x1，∴1－x0，由(1)的结论，函数y＝1－x2x＋x21－x≥(1－x)＋x＝1.当且仅当1－x＝x即x＝12时等号成立．∴函数y＝1－x2x＋x21－x(0x1)的最小值为1.考纲要求1．理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)．2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3．了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明．4．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法．补充说明1．证明不等式常用的方法(1)