走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学2-3

基础巩固强化一、选择题1．(文)下列各函数中，()是R上的偶函数()A．y＝x2－2xB．y＝2xC．y＝cos2xD．y＝1|x|－1[答案]C[解析]A、B不是偶函数，D的定义域{x∈R|x≠±1}不是R，故选C.(理)(2012·洛阳示范高中联考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是()A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1D．y＝2－|x|[答案]B[解析]y＝x3是奇函数，y＝－x2＋1与y＝2－|x|在(0，＋∞)上为减函数，故选B.2．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)0的x的取值范围是()A．(－∞，2)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(2，＋∞)[答案]B[解析]∵f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，由f(x)f(2)得f(|x|)f(2)，∴|x|2，∴－2x2.3．(文)若奇函数f(x)(x∈R)满足f(3)＝1，f(x＋3)＝f(x)＋f(3)，则f32等于()A．0B．1C.12D．－12[答案]C[解析]在f(x＋3)＝f(x)＋f(3)中取x＝－32得，f32＝f－32＋f(3)，∵f(x)是奇函数，且f(3)＝1，∴f32＝12.[点评]解答此类题目，一般先看给出的值和待求值之间可以通过条件式怎样赋值才能产生联系，赋值时同时兼顾奇偶性或周期性的运用．(理)(2013·湖南)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于()A．4B．3C．2D．1[答案]B[解析]本题考查的是函数的奇偶性及方程组的解法．∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)由f－1＋g1＝2，f1＋g－1＝4，得－f1＋g1＝2，f1＋g1＝4，所以g(1)＝3.故选B.4．(文)(2013·宁夏育才中学模拟)已知函数f(x)＝sin(2x－π4)，若存在α∈(0，π)使得f(x＋α)＝f(x＋3α)恒成立，则α等于()A.π6B.π3C.π4D.π2[答案]D[解析]由f(x＋α)＝f(x＋3α)得f(x)＝f(x＋2α)，∴f(x)周期为2α，又α∈(0，π)，所以α＝π2.(理)(2014·华师附中检测)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上是减函数，那么f(x)在[1,3]上是()A．增函数B．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数[答案]D[解析]由f(x＋1)＝－f(x)得，f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为2.∵f(x)在[－1,0]上为减函数，f(x)为偶函数，∴f(x)在[0,1]上为增函数，∴f(x)在[1,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增，故选D.5．(2013·宁夏育才中学模拟)若奇函数f(x)在R上是增函数，且a＋b0，则有()A．f(a)－f(b)0B．f(a)＋f(b)0C．f(a)＋f(b)0D．f(a)－f(b)0[答案]C[解析]由a＋b0得a－b，因为f(x)在R上是奇函数且为增函数，所以f(a)f(－b)，即f(a)－f(b)，故选C.6．(2013·琼海市嘉积中学质检)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)在区间[0,6]上零点的个数有()A．6个B．7个C．8个D．9个[答案]B[解析]当0≤x2时，f(x)＝x3－x，则有f(0)＝f(1)＝0，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，所以函数y＝f(x)在区间[0,6]上有f(0)＝f(2)＝f(4)＝f(6)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝0，所以有7个．二、填空题7．已知函数y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式fxgx0的解集是________．[答案]－π3，0∪π3，π[解析]依据偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f(x)、g(x)的图象，∵fxgx0，∴fx0，gx0.或fx0，gx0.观察两函数的图象，其中一个在x轴上方，一个在x轴下方的，即满足要求，∴－π3x0或π3xπ.8．若函数f(x)＝a－ex1＋aex(a为常数)在定义域上为奇函数，则实数a的值为________．[答案]1或－1[解析]f(－x)＝a－e－x1＋ae－x＝aex－1ex＋af(x)＋f(－x)＝a－exa＋ex＋1＋aexaex－11＋aexex＋a＝a2－e2x＋a2e2x－11＋aexex＋a＝0恒成立，所以a＝1或－1.9．(2013·银川质检)已知定义在R上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题：①f(2)＝0；②x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[8,10]上单调递增；④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8.以上命题中所有正确命题的序号为________．[答案]①②④[解析]令x＝－2，得f(2)＝f(－2)＋f(2)，即f(－2)＝0.又函数f(x)是偶函数，故f(2)＝0，①正确；根据f(2)＝0可得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期是4，由于偶函数的图象关于y轴对称，故x＝－4也是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴，②正确；根据函数的周期性可知，函数f(x)在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f(x)的图象关于直线x＝－4对称，故如果方程f(x)＝m在区间[－6，－2]上的两极为x1，x2，则x1＋x22＝－4，即x1＋x2＝－8，④正确．故正确命题的序号为①②④.三、解答题10．(2012·扬州模拟)已知函数f(x)对任意x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x0时，f(x)0，f(1)＝－2.(1)求证：f(x)是奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．[解析](1)证明：令x＝y＝0，知f(0)＝0；再令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)解：对任意x1、x2∈[－3,3]，设x1x2，则x2－x10，∴f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)0，∴f(x)为减函数．而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.∴f(x)max＝f(－3)＝6，f(x)min＝f(3)＝－6.能力拓展提升一、选择题11．(2012·山西四校联考)已知函数f(x)＝a－2x，x≥2，12x－1，x2，满足对任意的实数x1≠x2都有fx1－fx2x1－x20成立，则实数a的取值范围为()A．(－∞，2)B．(－∞，138]C．(－∞，2]D．[138，2)[答案]B[解析]函数f(x)是R上的减函数，于是有a－20，a－2×2≤122－1，由此解得a≤138，即实数a的取值范围是(－∞，138]，选B.12．(文)已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若g(1)＝2，则f(2014)的值为()A．2B．0C．－2D．±2[答案]C[解析]由已知：g(－x)＝f(－x－1)，又g(x)、f(x)分别为R上的奇、偶函数，∴－g(x)＝f(x＋1)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的周期T＝4，∴f(2014)＝f(2)＝g(－1)＝－g(1)＝－2，故选C.(理)已知函数f(x)满足：f(1)＝2，f(x＋1)＝1＋fx1－fx，则f(2015)等于()A．2B．－3C．－12D.13[答案]C[解析]由条件知，f(2)＝－3，f(3)＝－12，f(4)＝13，f(5)＝f(1)＝2，故f(x＋4)＝f(x)(x∈N*)．∴f(x)的周期为4，故f(2015)＝f(3)＝－12.[点评]严格推证如下：f(x＋2)＝1＋fx＋11－fx＋1＝－1fx，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝1－fx＋2＝f(x)．即f(x)周期为4.故f(4k＋x)＝f(x)，(x∈N*，k∈N*)，13．(文)(2012·江西盟校二联)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)0在[－1,3]上的解集为()A．(1,3)B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3)D．(－1,0)∪(0,1)[答案]C[解析]f(x)的图象如图所示．当x∈(－1,0)时，由xf(x)0，得，x∈(－1,0)；当x∈(0,1)时，由xf(x)0得，x无解；当x∈(1,3)时，由xf(x)0得，x∈(1,3)．∴x∈(－1,0)∪(1,3)，故选C.(理)(2013·芜湖一模)函数y＝f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，其图象上任一点P(x，y)满足x24＋y2＝1，若函数y＝f(x)的值域是(－1,1)，则f(x)一定是()A．奇函数B．偶函数C．单调函数D．幂函数[答案]A[解析]设P(x，y)在函数图象上，则由条件知P′(－x，－y)也在函数图象上，所以f(－x)＝－f(x)，函数一定是奇函数，但不能确定函数是不是单调函数，是不是幂函数，故选A.二、填空题14．(2012·福州质检)已知集合M是满足下列条件的函数f(x)的全体：(1)f(x)既不是奇函数也不是偶函数；(2)函数f(x)有零点．那么在函数①f(x)＝|x|－1，②f(x)＝2x－1，③f(x)＝x－2，x0，0，x＝0，x＋2，x0，④f(x)＝x2－x－1＋lnx中，属于M的有________．(写出所有符合条件的函数序号)[答案]②④[解析]对于①，∵f(－x)＝|－x|－1＝|x|－1，∴f(x)＝|x|－1是偶函数，∴①不符合条件；易知f(x)＝2x－1既不是奇函数也不是偶函数，且有一个零点x＝0，∴②符合条件；对于③，令x0，则－x0，∴f(x)＝x－2，f(－x)＝－x＋2＝－(x－2)，即f(x)＝－f(－x)，又f(0)＝0，∴f(x)＝x－2，x0，0，x＝0，x＋2，x0，是奇函数，∴③不符合条件；对于④，函数f(x)＝x2－x－1＋lnx的定义域为(0，＋∞)，故它既不是奇函数也不是偶函数，∵f′(x)＝2x－1＋1x＝2x2－x＋1x＝2x－142＋78x0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝1－1－1＋0＝－10，f(e)＝e2－e－1＋1＝e(e－1)0，∴函数f(x)在(1，e)上存在零点，∴④符合条件．故应填②④.15．(2013·吉林质检)已知函数f(x)满足下面关系：(1)f(x＋π2)＝f(x－π2)；(2)当x∈(0，π]时，f(x)＝－cosx.给出下列命题：①函数f(x)是周期函数；②函数f(x)是奇函数；③函数f(x)的图象关于y轴对称；④方程f(x)＝lg|x|解的个数是8.其中正确命题的序号是________(把正确命题的序号都填上)．[答案]①④[解析]由f(x＋π2)＝f(x－π2)，可得f(x＋π)＝f(x)，即可得函数f(x)是以π为周期的周期函数，即命题①正确；又由f(0)＝f(π)＝－cosπ＝1≠0可知，函数f(x)不是奇