走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学2-5

基础巩固强化一、选择题1．(2013·湖南省五市十校联考)已知函数f(x)＝log2x＋1，x32x－3＋1，x≤3满足f(a)＝3，则f(a－5)的值为()A．log23B.1716C.32D．1[答案]C[解析]∵f(a)＝3，∴a≤3，2a－3＋1＝3，①或a3，log2a＋1＝3.②①无解，由②得，a＝7，所以f(a－5)＝22－3＋1＝32，选C.2．(文)已知0a1，logamlogan0，则()A．1nmB．1mnC．mn1D．nm1[答案]A[解析]由0a1得函数y＝logax为减函数．又由logamlogan0＝loga1，得mn1，故应选A.(理)(2013·山东威海期末)下列四个数中最大的是()A．(ln2)2B．ln(ln2)C．ln2D．ln2[答案]D[解析]由0ln21，得ln(ln2)0，因此ln(ln2)是最小的一个；由于y＝lnx为增函数，因此ln2ln2；那么最大的只能是A或D；因为0ln21，故(ln2)2ln2.3．(文)(2013·宣城二模)若a＝ln264，b＝ln2·ln3，c＝ln2π4，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．cabC．cbaD．bac[答案]A[解析]∵ln6lnπ1，∴ac，排除B，C；b＝ln2·ln3(ln2＋ln32)2＝ln264＝a，排除D，故选A.(理)若x∈(110，1)，a＝lgx，b＝lg2x，c＝12lgx，则a、b、c的大小关系是()A．abcB．acbC．cabD．bca[答案]B[解析]∵110x1，∴－1lgx0，∴0lg2x1，∵a－c＝lgx－12lgx＝12lgx0，∴ac，故acb，故选B.4．(文)(2013·开封一模)已知f(x)是奇函数，且f(2－x)＝f(x)，当x∈(2,3)时，f(x)＝log2(x－1)，则当x∈(1,2)时，f(x)＝()A．－log2(4－x)B．log2(4－x)C．－log2(3－x)D．log2(3－x)[答案]C[解析]依题意得f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．当x∈(1,2)时，x－4∈(－3，－2)，4－x∈(2,3)，故f(x)＝f(x－4)＝－f(4－x)＝－log2(4－x－1)＝－log2(3－x)，选C.(理)(2013·乌鲁木齐第一次诊断)函数f(x)＝log2(1＋x)，g(x)＝log2(1－x)，则f(x)－g(x)()A．是奇函数B．是偶函数C．既不是奇函数又不是偶函数D．既是奇函数又是偶函数[答案]A[解析]f(x)－g(x)的定义域为(－1,1)，记F(x)＝f(x)－g(x)＝log21＋x1－x，则F(－x)＝log21－x1＋x＝log2(1＋x1－x)－1＝－log21＋x1－x＝－F(x)，故f(x)－g(x)是奇函数．5．(文)函数f(x)＝|log12x|的图象是()[答案]A[解析]f(x)＝|log12x|＝|log2x|＝log2xx≥1，－log2x0x1.故选A.[点评]可用筛选取求解，f(x)的定义域为{x|x0}，排除B、D，f(x)≥0，排除C，故选A.(理)(2012·河南豫东、豫北十所名校段测)函数y＝ln|1x|与y＝－x2＋1在同一平面直角坐标系内的大致图象为()[答案]C[解析]y＝ln|1x|为偶函数，当x0时，y＝ln1x＝－lnx为减函数，故排除A、B；y＝－x2＋1≤0，其图象在x轴下方，排除D，故选C.6．(文)(2012·湖南文，7)设ab1，c0，给出下列三个结论：①cacb；②acbc；③logb(a－c)loga(b－c)．其中所有的正确结论的序号是()A．①B．①②C．②③D．①②③[答案]D[解析]本题考查不等式性质，比较大小．ca－cb＝cb－aab，∵ab1，c0，∴cb－aab0，cacb，①正确；ab1，acbc，②正确；∵a－cb－c1，∴logb(a－c)logb(b－c)loga(b－c)，③正确．[点评]比较大小的方法有作差法、单调性法等．(理)(2013·北京东城区检测)给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y＝x－1，y＝x12，y＝(x－1)2，y＝x3中有3个是增函数；②若logm3logn30，则0nm1；③若函数f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称；④已知函数f(x)＝3x－2，x≤2log3x－1，x2，则方程f(x)＝12有2个实数根，其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4[答案]C[解析]命题①中，在(0，＋∞)上只有y＝x12，y＝x3为增函数，故①不正确；②中第1个不等式等价于log31log3mlog3n，故0nm1，②正确；③中函数y＝f(x－1)的图象是把y＝f(x)的图象向右平移1个单位得到的，由于函数y＝f(x)的图象关于坐标原点对称，故函数y＝f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称，③正确；④中当3x－2＝12时，x＝2＋log3122，当log3(x－1)＝12时，x＝1＋32，故方程f(x)＝12有2个实数根，④正确．故选C.二、填空题7．(文)函数y＝log23－x2的定义域为________．[答案]{x|1≤x2或－2x≤－1}[解析]要使函数有意义，应满足log23(2－x2)≥0，∵y＝log23x为减函数，∴02－x2≤1，∴1≤x22，∴1≤x2或－2x≤－1.(理)函数f(x)＝ln1＋1x－1的定义域是________．[答案](－∞，0)∪(1，＋∞)[解析]要使f(x)有意义，应有1＋1x－10，∴xx－10，∴x0或x1.8．(文)(2013·河南鹤壁一模)若正整数m满足10m－1251210m，则m＝________.(lg2≈0.3010)[答案]155[解析]不等式10m－1251210m两边同时取以10为底的对数，则m－1512lg2，m512lg2，∴154.112m155.112，∴m＝155.(理)(2013·天津塘沽一模)若f(x)＝ax－12，且f(lga)＝10，则a＝________.[答案]10或1010[解析]9．方程log3(x2－10)＝1＋log3x的解是________．[答案]x＝5[解析]原方程化为log3(x2－10)＝log3(3x)，由于log3x在(0，＋∞)上严格单增，则x2－10＝3x，解之得x1＝5，x2＝－2.∵要使log3x有意义，应有x0，∴x＝5.三、解答题10．(文)(2013·广西桂林一模)已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a0且a≠1)．(1)证明函数f(x)的图象在y轴的一侧；(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)(x1x2)是f(x)图象上两点，证明直线AB的斜率大于0.[证明](1)由ax－10，得ax1.当a1时，解得x0，此时f(x)的图象在y轴右侧；当0a1时，解得x0，此时f(x)的图象在y轴左侧．∴对a0且a≠1的任意实数a，f(x)的图象总在y轴一侧．(理)(2013·北京朝阳期末)已知f(x)＝log3x2＋ax＋bx，x∈(0，＋∞)，是否存在实数a，b，使f(x)同时满足下列条件：①在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；②f(x)的最小值是1.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．[解析]假设存在实数a，b使命题成立，∵f(x)在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，∴x＝1时，f(x)取得最小值1，∴log31＋a＋b1＝1，∴a＋b＝2.∵f(x)在(0,1)上是减函数，设0x1x21，∴f(x1)f(x2)恒成立，即x21＋ax1＋bx1x22＋ax2＋bx2恒成立，整理得x1－x2x1x2－bx1x20恒成立．∵0x1x21，∴x1－x20，x1x20，∴x1x2－b0恒成立，即x1x2b恒成立，而x1x21，∴b≥1.同理，f(x)在[1，＋∞)上是增函数，可得b≤1，∴b＝1.又∵a＋b＝2，∴a＝1.故存在a＝1，b＝1同时满足题中条件.能力拓展提升一、选择题11．(文)(2012·广东深圳市一调)已知符号函数sgn(x)＝1，x0，0，x＝0，－1，x0，则函数f(x)＝sgn(lnx)－ln2x的零点个数为()A．4B．3C．2D．1[答案]C[解析]由题意得f(x)＝sgn(lnx)－ln2x＝1－ln2x，x1，－ln2x，x＝1，－1－ln2x，0x1，则令1－ln2x＝0⇒x＝e或x＝1e(舍去)；令－ln2x＝0⇒x＝1；当－1－ln2x＝0时，方程无解，所以f(x)＝sgn(lnx)－ln2x有两个零点，故选C.(理)已知函数f(x)＝(15)x－log3x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0x1x0，则f(x1)的值()A．不小于0B．恒为正数C．恒为负数D．不大于0[答案]B[解析]若实数x0是方程f(x)＝0的解，即x0是函数y＝(15)x和y＝log3x的图象的交点的横坐标，因为0x1x0，画图易知(15)x1log3x1，所以f(x1)恒为正数．12．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x0时，f(x)＝2014x＋log2014x，则方程f(x)＝0的实根的个数为()A．1B．2C．3D．5[答案]C[解析]当x0时，f(x)＝0即2014x＝－log2014x，在同一坐标系下分别画出函数f1(x)＝2014x，f2(x)＝－log2014x的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f(x)＝0只有一个实根，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x0时，方程f(x)＝0也有一个实根，又因为f(0)＝0，所以方程f(x)＝0的实根的个数为3.13．(2013·湖南张家界一模)若logmn＝－1，则m＋3n的最小值是()A．22B．23C．2D.52[答案]B[解析]由logmn＝－1，得m－1＝n，则mn＝1.由于m0，n0，∴m＋3n≥23mn＝23.故选B.二、填空题14．(文)(2013·安徽师大附中、安庆一中联考)已知函数f(x)的定义域为A，若其值域也为A，则称区间A为f(x)的保值区间．若g(x)＝x＋m＋lnx的保值区间是[e，＋∞)，则m的值为________．[答案]－1[解析]由题意得，g(x)的值域为[e，＋∞)，由x≥e时，g′(x)＝1＋1x0，所以当x≥e时，g(x)为增函数，由题意可得g(e)＝e＋m＋1＝e，解得m＝－1.(理)对任意实数a、b，定义运算“*”如下：a*b＝a，a≤b，b，ab.则函数f(x)＝log12(3x－2)*log2x的值域为________．[答案](－∞，0][解析]易知函数f(x)的定义域为(23，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y＝log12(3x－2)和y＝log2x的图象，由a*b的定义可知，f(x)的图象为图中实线部分，∴由图象可得f(x)＝log2x，23x≤1，log123x－2，x1.的值域为(－∞，0]．15．(文)(2013·四川)lg5＋lg20的值是________．[答案]1[解析]lg5＋lg20＝lg100＝lg10＝1.(理)(2013·北京)函数f(x)＝log12x，x≥12x，x1的值域为________．[答案](－∞，2)[解析]当x≥1时，log12x≤log121，即log12x≤0；当x1时，02x21，即02x2.故f(x)的值域为(－∞