走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学2-6

基础巩固强化一、选择题1．(文)已知函数①y＝3x；②y＝lnx；③y＝x－1；④y＝x12.则下列函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序一致的是()A．②①③④B．②③①④C．④①③②D．④③①②[答案]D[解析]①y＝3x为单调增的指数函数，其图象为第三个图，排除A、C；②y＝lnx为单调增的对数函数，其图象为第四个图，排除B，故选D.(理)幂函数y＝x－1及直线y＝x、y＝1、x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“区域”：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧(如图所示)，那么幂函数y＝x32的图象经过的“区域”是()A．⑧，③B．⑦，③C．⑥，②D．⑤，①[答案]C[解析]y＝x32是增函数，∵321，∴其图象向下凸，过点(0,0)，(1,1)，故经过区域②，⑥.2．(文)已知点(33，3)在幂函数f(x)的图象上，则f(x)()A．是奇函数B．是偶函数C．是非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数[答案]A[解析]设f(x)＝xα，则(33)α＝3，即3－12α＝312，故α＝－1，因此f(x)＝x－1，所以f(x)是奇函数．故选A.(理)设a∈{－1,1，12，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且该函数为奇函数的所有α值为()A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3[答案]A[解析]在函数y＝x－1，y＝x，y＝x12，y＝x3中，只有函数y＝x和y＝x3的定义域是R，且是奇函数，故α＝1或3.3．(2013·唐山月考)为了得到函数y＝log2x－1的图象，可将函数y＝log2x的图象上所有的点()A．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位B．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向左平移1个单位C．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位[答案]A[解析]y＝log2x－1＝log2(x－1)12＝12log2(x－1)，由y＝log2x的图象纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，可得y＝12log2x的图象，再向右平移1个单位，可得y＝12log2(x－1)的图象，也即y＝log2x－1的图象，故选A.4．(文)函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数，且在(0，＋∞)上是减函数，则实数m的值为()A．2B．3C．4D．5[答案]A[解析]由题意知m2－m－1＝1，得m＝－1或m＝2，又由题意知m2－2m－30，得m＝2.故选A.(理)(2013·哈尔滨模拟)幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于()A．0B．1C．2D．3[答案]B[解析]∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数，∴3m－50，∴m53，∵m∈N，∴m＝0或1.又f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∴m＝1，故选B.5．给出以下几个幂函数fi(x)(i＝1,2,3,4)，其中f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x12，f4(x)＝1x.若gi(x)＝fi(x)＋3x(i＝1,2,3,4)．则能使函数gi(x)有两个零点的幂函数有()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案]B[解析]函数gi(x)的零点就是方程gi(x)＝0的根，亦即方程fi(x)＋3x＝0的根，也就是函数fi(x)与y＝－3x的图象的交点，作出函数fi(x)(i＝1,2,3,4)的图象，可知只有f2(x)的图象与y＝－3x的图象有两个不同的交点，故能使gi(x)有两个零点的幂函数只有f2(x)，选B.6．(2013·阜阳二模)若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a0且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是()[答案]A[解析]由函数f(x)在R上是奇函数，可得f(－x)＝－f(x)，即(k－1)a－x－ax＝(1－k)ax＋a－x，∴k＝2.∴f(x)＝ax－a－x.又f(x)在R上是减函数，∴0a1.∴g(x)＝loga(x＋2)的图象应是A.二、填空题7．(文)幂函数y＝f(x)的图象过点4，12，那么f′(8)的值为________．[答案]－264[解析]设f(x)＝xα，由条件知12＝4α，∴α＝－12，(理)若幂函数f(x)的图象经过点A14，12，设它在A点处的切线为l，则过点A与l垂直的直线方程为________．[答案]4x＋4y－3＝0[解析]设f(x)＝xα，∵f(x)图象过点A，∴14α＝12，∴α＝12.∴f(x)＝x12，∴f′(x)＝12x，∴f′14＝1，故切线的斜率为1，从而与l垂直的直线斜率为－1，故过A与l垂直的直线方程为y－12＝－1×x－14，即4x＋4y－3＝0.8．已知函数f(x)＝x1－a3的定义域是非零实数，且在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，则最小的自然数a＝________.[答案]3[解析]∵f(x)的定义域是{x|x∈R且x≠0}，∴1－a30，∴a1.又∵f(x)在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x)为偶函数，∵a∈N，∴a的最小值为3.9．已知函数f(x)＝2－x－1x≤0，fx－1x0.若方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．[答案](－∞，1)[解析]在同一直角坐标系内画出函数y＝f(x)和y＝x＋a的图象如图可知a1.三、解答题10．(文)(2012·银川质检)点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，14)在幂函数g(x)的图象上，当x分别为何值时，有f(x)g(x)，f(x)＝g(x)，f(x)g(x)成立？[解析]设f(x)＝xα，则由题意得2＝(2)α，∴α＝2，即f(x)＝x2.再设g(x)＝xβ，则由题意得14＝(－2)β，∴β＝－2，即g(x)＝x－2.在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如图所示．由图象可知：①当x1或x－1时，f(x)g(x)；②当x＝±1时，f(x)＝g(x)；③当－1x1且x≠0时，f(x)g(x)．(理)已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)且幂函数g(x)＝xm2－2m－2(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称．(1)求f(x)、g(x)的解析式；(2)当x为何值时①f(x)g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)g(x)．[解析](1)设f(x)＝xα，∵f(x)的图象过点(2，2)，∴2＝(2)α，∴α＝2，∴f(x)＝x2；又g(x)＝xm2－2m－2的图象与x轴、y轴都无公共点，∴m2－m－2≤0，∴－1≤m≤2.∵m∈Z，∴m＝0或±1或2，当m＝0或1时，g(x)＝x－2是偶函数，图象关于y轴对称，当m＝－1或2时，y＝x0也满足，故g(x)＝x－2或g(x)＝x0.(2)若g(x)＝x0＝1，则由f(x)g(x)得，x21，∴x1或x－1.故x1或x－1时，f(x)g(x)，x＝±1时，f(x)＝g(x)，－1x0或0x1时，f(x)g(x)．若g(x)＝x－2，则由f(x)g(x)得，x21x2，∴x41，∴x1或x－1，故当x1或x－1时，有f(x)g(x)；当x＝±1时，f(x)＝g(x)；当－1x0或0x1时，f(x)g(x)．综上知，x1或x－1时，f(x)g(x)；x＝±1时，f(x)＝g(x)；－1x0或0x1时，f(x)g(x).能力拓展提升一、选择题11．(2013·石家庄名校联考)设函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是()[答案]A[解析]由y＝g(x)的图象知，y＝f(x)·g(x)在x＝0处无意义，排除C、D，∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴y＝f(x)·g(x)为奇函数，排除B，选A.12．(2013·黄冈模拟)已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m，n满足mn，且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则m，n的值分别为()A.12，2B.12，4C.22，2D.14，4[答案]A[解析]观察f(x)的图象结合条件0mn，f(m)＝f(n)可知0m2m1n，∵f(x)在[m2，n]上的最大值为2，∴|log2m2|＝2，∴m＝12，又∵f(m)＝f(n)，∴－log2m＝log2n，∴mn＝1，∴n＝2，故选A.13．用min{a，b}表示a、b两数中的最小值，若函数f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x＝－12对称，则t的值为()A．－2B．2C．－1D．1[答案]D[解析]如图，要使f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x＝－12对称，则t＝1.二、填空题14．幂函数y＝x－12p2＋p＋32(p∈Z)为偶函数，且f(1)f(4)，则实数p＝________.[答案]1[解析]∵f(1)f(4)，∴－12p2＋p＋320，∴－1p3，∵p∈Z，∴p＝0,1或2，又此幂函数为偶函数，∴p＝1.15．(文)函数y＝x3与y＝12x－2的图象交点为(x0，y0)，x0所在区间是(a，b)，a、b为相邻的整数，则a＋b＝______.[答案]3[解析]∵y1＝x3单调增，y2＝12x－2单调减，当x＝1时，y1＝1，y2＝2，y1y2；当x＝2时，y1＝8，y2＝1，y1y2，∴两函数图象交点坐标x0∈(1,2)，故a＝1，b＝2，a＋b＝3.(理)(2013·衡阳联考)设f(x)＝|2－x2|，若0ab，满足f(a)＝f(b)，则ab的取值范围是________．[答案](0,2)[解析]∵0ab，f(a)＝f(b)，∴2－a2＝b2－2，即a2＋b2＝4，又a2＋b22ab，∴0ab2.三、解答题16．(1)证明f(x)是奇函数，并求其单调区间；(2)分别计算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，并由此概括一个涉及函数f(x)、g(x)的对所有非零实数x都成立的等式，并证明．[解析](1)证明：因为f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．又因为f(x)是奇函数，所以f(x)在(－∞，0)上也是单调递增函数，即f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．(2)经过计算可得f(4)－5f(2)g(2)＝0，f(9)－5f(3)g(3)＝0，由此可得对所有非零实数x都成立的一个等式是f(x2)－5f(x)g(x)＝0.证明如下：(理)(2013·临沂月考)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．[分析]对于(1)，由f(0)＝1可得c，利用f(x＋1)－f(x)＝2x恒成立，可求出a，b，进而确定f(x)的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得．[解析](1)由f(0)＝1得，c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，∴2a＝2，a＋b＝0，∴a＝1，b＝－1.因此，f(x)＝x2－x＋1.(2)f(x)2x＋m等价于x2－x＋12x＋m，即x2－3x＋1－m0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－10得，m－1.因此满足条件的实