走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学3-1

基础巩固强化一、选择题1．(文)(2012·烟台调研)设曲线y＝x＋1x－1在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于()A．2B．－2C．－12D.12[答案]B[解析]∵f′(x)＝x－1－x＋1x－12＝－2x－12，∴f′(3)＝－12，由条件知，－12×(－a)＝－1，∴a＝－2.(理)(2012·山西省联合模拟)曲线y＝xlnx在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实数a的值为()A．2B．－2C.12D．－12[答案]A[解析]∵y′＝1＋lnx，∴y′|x＝e＝1＋lne＝2，∴－1a×2＝－1，∴a＝2，选A.2．(2013·河北教学质量监测)若函数f(x)＝2x＋lnx，且f′(a)＝0，则2aln2a＝()A．1B．－1C．－ln2D．ln2[答案]B[解析]f′(x)＝2xln2＋1x，由f′(a)＝2aln2＋1a＝0，得2aln2＝－1a，则a·2a·ln2＝－1，即2aln2a＝－1.3．(2013·乌鲁木齐一中月考)已知点P在曲线y＝4ex＋1上，α为曲线在P处的切线的倾斜角，则α的取值范围为()A．[0，π4)B．[π4，π2)C．(π2，3π4]D．[3π4，π)[答案]D[解析]y′＝－4exex＋12＝－4exe2x＋2ex＋1＝－4ex＋1ex＋2≥－1，故－1≤tanα0，又α∈[0，π)，所以3π4≤απ.4．(文)直线y＝12x＋b与曲线y＝－12x＋lnx相切，则b的值为()A．－2B．－1C．－12D．1[答案]B[解析]设切点(a，－12a＋lna)，y′＝－12＋1x，∴－12＋1a＝12，a＝1，故切点(1，－12)在直线y＝12x＋b上，有－12＝12＋b，∴b＝－1.(理)已知f(x)＝logax(a1)的导函数是f′(x)，记A＝f′(a)，B＝f(a＋1)－f(a)，C＝f′(a＋1)，则()A．ABCB．ACBC．BACD．CBA[答案]A[解析]记M(a，f(a))，N(a＋1，f(a＋1))，则由于B＝f(a＋1)－f(a)＝fa＋1－faa＋1－a，表示直线MN的斜率，A＝f′(a)表示函数f(x)＝logax在点M处的切线斜率；C＝f′(a＋1)表示函数f(x)＝logax在点N处的切线斜率．所以，ABC.5．(文)若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第二象限，则函数f′(x)的图象是()[答案]C[解析]由题意可知－b2，4c－b24在第二象限，∴－b20，4c－b240.∴b0，又f′(x)＝2x＋b，故选C.(理)(2013·山东东营一模)设曲线y＝sinx上任一点(x，y)处切线的斜率为g(x)，则函数y＝x2g(x)的部分图象可以为()[答案]C[解析]根据题意得g(x)＝cosx，∴y＝x2g(x)＝x2cosx为偶函数．又x＝0时，y＝0，故选C.6．(2013·杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋154x－9都相切，则a等于()A．－1或－2564B．－1或－38C．－74或－2564D．－74或7[答案]A[解析]设过(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x30)，所以切线方程为y－x30＝3x20(x－x0)，即y＝3x20x－2x30，又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝32，当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋154x－9相切可得a＝－2564；当x0＝32时，由y＝274x－274与y＝ax2＋154x－9相切可得a＝－1，所以选A.本题常犯的错误是，不对点(1,0)的位置作出判断，直接由y＝x3，得出y′|x＝1＝3，再由y＝ax2＋154x－9，得y′|x＝1＝2a＋154＝3求出a＝－38，错选B.二、填空题7．(文)(2013·广东理，10)若曲线y＝kx＋lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.[答案]－1[解析]y′＝k＋1x，y′|x＝1＝k＋1＝0，∴k＝－1.(理)(2013·湖北黄冈一模)已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f′(0)＝________.[答案]－120[解析]f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1)(x－2)(x－3)(x－4x)(x－5)]′，∴f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.8．(文)(2013·广州一模)已知函数f(x)＝f′(π2)sinx＋cosx，则f(π4)＝________.[答案]0[解析]由条件知，f′(x)＝f′(π2)cosx－sinx.∴f′(π2)＝－1，∴f(x)＝－sinx＋cosx，∴f(π4)＝0.(理)(2013·江西理，13)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.[答案]2[解析]∵f(ex)＝x＋ex，∴f(x)＝x＋lnx，f′(x)＝1＋1x，∴f′(1)＝1＋1＝2.9．(2013·贵阳一模)曲线y＝lnx在与x轴交点处的切线方程为________．[答案]x－y－1＝0[解析]由y＝lnx得，y′＝1x，∴y′|x＝1＝1，∴曲线y＝lnx在与x轴交点(1,0)处的切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.三、解答题10．(文)已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．[解析]y＝13x3＋43，则y′＝x2.(1)由题意可知点P(2,4)为切点，y′|x＝2＝22＝4，所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)由题意可知点P(2,4)不一定为切点，故设切点为(x0，13x30＋43)，y′|x＝x0＝x20，曲线过点P(2,4)的切线方程为y－(13x30＋43)＝x20(x－x0)，所以4－(13x30＋43)＝x20(2－x0)，x30－3x20＋4＝0⇔(x30＋1)－3(x20－1)＝0⇔(x0＋1)(x20－4x0＋4)＝0.解得x0＝－1或x0＝2，即切点为(－1,1)或(2,4)．所以曲线过点P(2,4)的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.(理)(2014·高州月考)设函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象与y轴交点为P，且曲线在P点处的切线方程为12x－y－4＝0.若函数在x＝2处取得极值0，试确定函数的解析式.[解析]∵y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象与y轴的交点为P(0，d)，又曲线在点P处的切线方程为y＝12x－4，P点坐标适合方程，从而d＝－4；又切线斜率k＝12，故在x＝0处的导数y′|x＝0＝12而y′|x＝0＝c，从而c＝12；又函数在x＝2处取得极值0，所以y′|x＝2＝0，f2＝0.即12a＋4b＋12＝0，8a＋4b＋20＝0.解得a＝2，b＝－9，所以所求函数解析式为y＝2x3－9x2＋12x－4.能力拓展提升一、选择题11．(文)(2013·宁波期末)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，f′(x)为函数f(x)的导函数，则f′(0)＝()A．0B．26C．29D．212[答案]D[解析]∵f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，∴f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′，∴f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.(理)(2013·武汉中学月考)已知曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2013x1＋log2013x2＋…＋log2013x2012的值为()A．1B．－1C．2013D．－2013[答案]B[解析]f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，点P(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝1－1n＋1＝nn＋1，即xn＝nn＋1，∴x1·x2·…·x2012＝12×23×34×…×20112012×20122013＝12013，则log2013x1＋log2013x2＋…＋log2013x2012＝log2013(x1·x2·…·x2012)＝log201312013＝－1.12．(2013·山东理，11)抛物线C1：y＝12px2(p0)的焦点与双曲线C2：x23－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()A.316B.38C.233D.433[答案]D[解析]由已知抛物线x2＝2py(p0)的焦点为A(0，p2)，双曲线x23－y2＝1的右焦点为B(2,0)，渐近线方程为y＝±33x.设M(x0，y0)，则y0＝x202p，由kMA＝kAB得x202p－p2x0＝p2－2，(1)由y＝x22p知，y′＝xp，则y′|x＝x0＝x0p＝33，代入(1)式中消去x0并解之得p＝433.13．(2013·潍南二模)若曲线f(x)＝13ax3＋12bx2＋cx＋d(a，b，c0)上存在斜率为0的切线，则f′1b－1的取值范围是()A．(1，＋∞)B．[1，＋∞)C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)[答案]A[解析]因为函数f′(x)＝ax2＋bx＋c，函数f(x)图象上不存在斜率为0的切线，也就是f′(x)＝0无解，故Δ＝b2－4ac0，即acb24，所以a＋cb≥2acb2b24b＝1，即f′1b－1＝a＋cb的取值范围是(1，＋∞)．14．(文)已知函数f(x)＝xp＋qx＋r，f(1)＝6，f′(1)＝5，f′(0)＝3，an＝1fn，n∈N＋，则数列{an}的前n项和是()A.nn＋1B.nn＋2C.n＋12n＋4D.n2n＋4[答案]D[解析]∵f′(x)＝pxp－1＋q，由条件知1＋q＋r＝6，p＋q＝5，q＝3.∴p＝2，q＝3，r＝2.∴f(x)＝x2＋3x＋2.∴an＝1fn＝1n2＋3n＋2＝1n＋1n＋2＝1n＋1－1n＋2∴{an}的前n项和为Sn＝a1＋a2＋…＋an＝12－13＋13－14＋…＋1n＋1－1n＋2＝12－1n＋2＝n2n＋4.(理)定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)＝x，h(x)＝ln(x＋1)，φ(x)＝x3－1的“新驻点”分别为α、β、γ，则α、β、γ的大小关系为()A．αβγB．βαγC．γαβD．βγα[答案]C[解析]由g(x)＝g′(x)得，x＝1，∴α＝1，由h(x)＝h′(x)得，ln(x＋1)＝1x＋1，故知1x＋12，∴0x1，即0β1，由φ(x)＝φ′(x)得，x3－1＝3x2，∴x2(x－3)＝1，∴x3，故γ3，∴γαβ.[点评]对于ln(x＋1)＝1x＋1，假如0x＋11，则ln(x＋1)0，1x＋11矛盾；假如x＋1≥2，则1x＋1≤12，即ln(x＋1)≤12，∴x＋1≤e，∴x≤e－1与x≥－1矛盾．二、填空题15．(文)若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．[答案](－∞，0)[解析]由题意，可知f′(x)＝3ax2＋1x，又因为存在垂直于y轴的切线，所以3ax2＋1x＝0⇒a＝－13x3(x0)⇒a∈(－∞，0)．(理)设函数f(x)＝cos(3x＋φ)(0φπ)，若f(x)＋f′(x)为奇函数，则φ＝________.[答案]π6[解析]f′(x)＝－3sin(3x＋φ)，由条件知cos(3x＋φ)－3sin(3x＋φ)＝2sinπ6－3x－φ