走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学3-3

基础巩固强化一、选择题1．(文)正三棱柱体积为V，则其表面积最小时，底面边长为()A.3VB.32VC.34VD．23V[答案]C[解析]设正三棱柱底面边长为a，高为h，则体积V＝34a2h，∴h＝4V3a2，表面积S＝32a2＋3ah＝32a2＋43Va，由S′＝3a－43Va2＝0，得a＝34V，故选C.(理)在内接于半径为R的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为()A.R2和32RB.55R和455RC.45R和75RD．以上都不对[答案]B[解析]设矩形垂直于半圆直径的边长为x，则另一边长为2R2－x2，则l＝2x＋4R2－x2(0＜x＜R)，l′＝2－4xR2－x2，令l′＝0，解得x＝55R.当0＜x＜55R时，l′＞0；当55R＜x＜R时，l′＜0.所以当x＝55R时，l取最大值，即周长最大的矩形的边长为55R，455R.2．(文)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件[答案]C[解析]∵y＝－13x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81(x0)．令y′＝0得x＝9，令y′0得x9，令y′0得0x9，∴函数在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，∴当x＝9时，函数取得最大值．故选C.[点评]利用导数求函数最值时，令y′＝0得到x的值，此x的值不一定是极大(小)值时，还要判定x值左、右两边的导数的符号才能确定．(理)某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与产量x的关系是R＝400x－12x2，0≤x≤400，80000，x＞400.则总利润最大时，每年生产的产品产量是()A．100B．150C．200D．300[答案]D[解析]由题意，总成本为C＝20000＋100x.所以总利润为P＝R－C＝300x－x22－20000，0≤x≤400，60000－100x，x＞400，P′＝300－x，0≤x≤400，－100，x＞400.令P′＝0，得x＝300，易知当x＝300时，总利润最大．3．(文)做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为()A.abB.a2bC.baD.b2a[答案]C[解析]如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，则V＝πR2h.设造价为y，则y＝2πR2a＋2πRhb＝2πaR2＋2πRb·VπR2＝2πaR2＋2bVR，∴y′＝4πaR－2bVR2.令y′＝0并将V＝πR2h代入解得，2Rh＝ba.(理)圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的底面半径为()A.S3πB.3πSC.6πS6πD．3π·6πS[答案]C[解析]设圆柱底面半径为r，高为h，∴S＝2πr2＋2πrh，∴h＝S－2πr22πr，又V＝πr2h＝rS－2πr32，则V′＝S－6πr22，令V′＝0，得S＝6πr2，∴h＝2r，r＝6πS6π.4．(文)内接于半径为R的球并且体积最大的圆锥的高为()A．RB．2RC.43RD.34R[答案]C[解析]设圆锥的高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，∴V＝13πr2h＝π3h(2Rh－h2)＝23πRh2－π3h3，V′＝43πRh－πh2，令V′＝0得h＝43R.(理)要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为()A.33cmB.1033cmC.1633cmD.2033cm[答案]D[解析]设圆锥的高为x，则底面半径为202－x2，其体积为V＝13πx(400－x2)(0＜x＜20)，V′＝13π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝2033.当0＜x＜2033时，V′＞0；当2033＜x＜20时，V′＜0，所以当x＝2033时，V取最大值．5．(2013·荆州市质检)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()[答案]C[解析]由f(x)在x＝－2处取极小值知f′(－2)＝0且在x＝－2的左侧f′(x)0，在x＝－2的右侧f′(x)0，因此，x－2时，y＝xf′(x)0，x＝－2时，y＝xf′(x)＝0，－2x0时，y＝xf′(x)0，x＝0时，y＝xf′(x)＝0，x0时，y＝xf′(x)0，故选C.6．(2013·沈阳二中月考)已知函数f(x)的定义域为[－3，＋∞)，且f(6)＝2.f′(x)为f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示．若正数a，b满足f(2a＋b)2，则b＋3a－2的取值范围是()A．(－∞，－32)∪(3，＋∞)B．(－92，3)C．(－∞，－92)∪(3，＋∞)D．(－32，3)[答案]A[解析]由导函数的图象可以看出f(x)在(－3,0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，由f(2a＋b)2可得f(2a＋b)f(6)，又a，b为正数，故a0，b0，2a＋3b6，将此不等式组看作关于a，b的约束条件，画出可行域如图所示，结合图形，b＋3a－2表示连接点(2，－3)和可行域内一点(a，b)的直线的斜率，结合图形可得其取值范围是(－∞，－32)∪(3，＋∞)．二、填空题7．(2013·开封第一次模拟)已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋3(a，b∈R)，若函数f(x)在[0,1]上单调递减，则a2＋b2的最小值为________．[答案]95[解析]依题意，当x∈[0,1]时，f′(x)＝3x2－2ax＋b≤0，即f′0＝b≤0f′1＝3－2a＋b≤0，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域，如图所示，结合图形不难得知，该平面区域内的点(a，b)与原点的距离的平方即为a2＋b2，其最小值等于原点到直线3－2a＋b＝0的距离的平方，即等于95.8．(文)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，该长方体的最大体积是________．[答案]3m3[解析]设长方体的宽为x，则长为2x，高为92－3x(0x32)，故体积为V＝2x292－3x＝－6x3＋9x2，V′＝－18x2＋18x，令V′＝0得，x＝0或1，∵0x32，∴x＝1.∴该长方体的长、宽、高各为2m、1m、1.5m时，体积最大，最大体积Vmax＝3m3.(理)用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么容器的容积最大时，容器的高为________．[答案]1.2m[解析]设容器的短边长为xm，则另一边长为(x＋0.5)m，高为14.8－4x－4x＋0.54＝3.2－2x.由3.2－2x0和x0，得0x1.6，设容器的容积为ym3，则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)(0x1.6)，整理得y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，∴y′＝－6x2＋4.4x＋1.6，令y′＝0，有－6x2＋4.4x＋1.6＝0，即15x2－11x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－415(不合题意，舍去)，∴高为3.2－2＝1.2，容积V＝1×1.5×1.2＝1.8，∴高为1.2m时容积最大．9．(文)若函数f(x)＝lnx－12ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________．[答案](－1，＋∞)[分析]函数f(x)存在单调减区间，就是不等式f′(x)0有实数解，考虑到函数的定义域为(0，＋∞)，所以本题就是求f′(x)0在(0，＋∞)上有实数解时a的取值范围．[解析]解法1：f′(x)＝1x－ax－2＝1－ax2－2xx，由题意知f′(x)0有实数解，∵x0，∴ax2＋2x－10有实数解．当a≥0时，显然满足；当a0时，只要Δ＝4＋4a0，∴－1a0，综上知a－1.解法2：f′(x)＝1x－ax－2＝1－ax2－2xx，由题意可知f′(x)0在(0，＋∞)内有实数解．即1－ax2－2x0在(0，＋∞)内有实数解．即a1x2－2x在(0，＋∞)内有实数解．∵x∈(0，＋∞)时，1x2－2x＝(1x－1)2－1≥－1，∴a－1.(理)(2012·黄冈市期末)对于三次函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)＝13x3－12x2＋3x－512，根据这一发现可得：(1)函数f(x)＝13x3－12x2＋3x－512的对称中心为________；(2)计算f(12014)＋f(22014)＋f(32014)＋f(42014)＋…＋f(20132014)＝________.[答案](1)(12，1)(2)2013[解析](1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，由2x－1＝0得x＝12，f(12)＝13×(12)3－12×(12)2＋3×12－512＝1，由拐点的定义知f(x)的拐点即对称中心为(12，1)．(2)f(k2014)＋f(1－k2014)＝f(k2014)＋f(2014－k2014)＝2(k＝1，2，…，1007)，∴f(12014)＋f(22014)＋…＋f(20132014)＝[f(12014)＋f(20132014)]＋[f(22014)＋f(20122014)]＋…＋[f(10062014)＋f(10082014)]＋f(10072014)＝2×1006＋1＝2013.三、解答题10．(2013·湖南雅礼中学一模)某工厂生产某种儿童玩具，每件玩具的成本价为30元，并且每件玩具的加工费为t元(其中t为常数，且2≤t≤5)，设该工厂每件玩具的出厂价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例，当每件玩具的出厂价为40元时，日销售量为10件．(1)求该工厂的日利润y(元)与每件玩具的出厂价x元的函数关系式；(2)当每件玩具的日售价为多少元时，该工厂的利润y最大，并求y的最大值．[解析](1)设日销售量为kex，则ke40＝10，∴k＝10e40，则日销售量为10e40ex件，∴日利润y＝(x－30－t)·10e40ex.∴y＝10e40x－30－tex(35≤x≤41)．(2)y′＝10e4031＋t－xex，令y′＝0得x＝31＋t.①当2≤t≤4时，33≤31＋t≤35，∴当35≤x≤41时，y′≤0.∴当x＝35时，y取最大值，最大值为10(5－t)e5.②当4t≤5时，35t＋31≤36，函数y在[35，t＋31]上单调递增，在[t＋31,41]上单调递减．∴当x＝t＋31时，y取最大值10e9－t.∴当2≤t≤4，x＝35时，日利润最大值为10(5－t)e5元；当4t≤5，x＝31＋t时，日利润最大值为10e9－t元.能力拓展提升一、解答题11．(2012·山东苍山县模拟)某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元(t为常数，且2≤t≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40)，根据市场调查，日销售量q与ex成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，销售量为100kg.(每日利润＝日销售量×(每公斤出厂价－成本价－加工费))．(1)求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式；(2)若t＝5，当每公斤蘑菇的出厂价x为多少元时，该工厂的利润y最大，并求最大值．[解析](1)设日销售量q＝kex，则ke30＝100，∴k＝100e30，∴日销售量q＝100e30ex