走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学4-2

基础巩固强化一、选择题1．(文)设cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A.1－k2kB．－1－k2kC.k1－k2D．－k1－k2[答案]B[解析]∵sin80°＝1－cos280°＝1－cos2－80°＝1－k2，∴tan100°＝－tan80°＝－sin80°cos80°＝－1－k2k.(理)(2012·辽宁理，7)已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则tanα＝()A．－1B．－22C.22D．1[答案]A[解析]解法1：由题意知，sinα－cosα＝2，sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝2，sin2α＝－1，∵α∈(0，π)．∴2α∈(0,2π)，∴2α＝3π2，α＝3π4，∴tanα＝tan3π4＝－1.解法2：设tanα＝k，则sinα＝kcosα，代入sinα－cosα＝2中得，cosα＝2k－1，∴sinα＝2kk－1，∵sin2α＋cos2α＝1，∴2k2k－12＋2k－12＝1，∴k＝－1.2．已知△ABC中，tanA＝－512，则cosA＝()A.1213B.513C．－513D．－1213[答案]D[解析]在△ABC中，由tanA＝－5120知，∠A为钝角，所以cosA0,1＋tan2A＝sin2A＋cos2Acos2A＝1cos2A＝169144，所以cosA＝－1213，故选D.[点评]学习数学要加强多思少算的训练，以提高思维能力，尤其是选择题，要注意结合其特点选取．本题中，tanA＝－512，A为三角形内角，即知A为钝角，∴cosA0，排除A、B；又由勾股数组5、12、13及tanA＝sinAcosA知，|cosA|＝1213，故选D.3．已知cosα－π4＝14，则sin2α＝()A．－78B.78C．－3132D.3132[答案]A[解析]sin2α＝cosπ2－2α＝cos2α－π4＝2cos2α－π4－1＝2×142－1＝－78.4．(2013·山东青岛高三教学评估)若△ABC的内角A满足sin2A＝23，则sinA＋cosA＝()A.153B．－153C.53D．－53[答案]A[解析]∵0Aπ，∴02A2π.又∵sin2A＝23，即2sinAcosA＝23，∴0Aπ2.∵(sinA＋cosA)2＝sin2A＋cos2A＋2sinAcosA＝53，∴sinA＋cosA＝153.5．(2012·广东六校联考)sin－250°cos70°cos2155°－sin225°的值为()A．－32B．－12C.12D.32[答案]C[解析]原式＝－sin270°－20°cos90°－20°cos225°－sin225°＝cos20°sin20°cos50°＝sin40°2cos50°＝cos50°2cos50°＝12，故选C.6．已知tan140°＝k，则sin140°＝()A.k1＋k2B.11＋k2C．－k1＋k2D．－11＋k2[答案]C[解析]k＝tan140°＝tan(180°－40°)＝－tan40°，∴tan40°＝－k，∴k0，sin40°＝－kcos40°，sin140°＝sin(180°－40°)＝sin40°，∵sin240°＋cos240°＝1，∴k2cos240°＋cos240°＝1，∴cos40°＝1k2＋1，∴sin40°＝－kk2＋1.二、填空题7．(2013·江西临川期末)已知α是第二象限角，其终边上一点P(x，5)，且cosα＝24x，则sin(α＋π2)＝________[答案]－64[解析]由题意得cosα＝x5＋x2＝24x，解得x＝0或x＝3或x＝－3.又α是第二象限角，∴x＝－3.即cosα＝－64，sin(α＋π2)＝cosα＝－64.8．化简sinkπ－α·cos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]·coskπ＋α＝______(k∈Z)．[答案]－1[解析]对参数k分奇数、偶数讨论．当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝sin2nπ＋π－α·cos2nπ－αsin2nπ＋2π＋α·cos2nπ＋π＋α＝sinπ－α·cosαsinα·cosπ＋α＝sinα·cosαsinα·－cosα＝－1.当k＝2n(n∈Z)时，原式＝sin2nπ－α·cos2nπ－π－αsin2nπ＋π＋α·cos2nπ＋α＝－sinα·－cosα－sinα·cosα＝－1.所以sinkπ－α·cos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]·coskπ＋α＝－1.9．函数y＝tanx＋lgcosx的定义域是________________．[答案]{x|2kπ≤x2kπ＋π2，k∈Z}[解析]由题意知tanx≥0，cosx0，如图，由tanx≥0得，mπ≤xmπ＋π2，m∈Z，由cosx0得，2nπ－π2x2nπ＋π2，n∈Z.∴2kπ≤x2kπ＋π2，k∈Z.三、解答题10．(2013·长沙一中月考)已知6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0，α∈(3π2，2π)．(1)求tanα的值；(2)求cos(α＋π3)的值．[解析](1)∵α∈(3π2，2π)，∴cosα≠0，∵6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0，解得tanα＝－43或tanα＝12.∵α∈(3π2，2π)，∴tanα0.故tanα＝12(舍去)，∴tanα＝－43.(2)∵α∈(3π2，2π)，∴由tanα＝－43，求得sinα＝－45，cosα＝35.∴cos(α＋π3)＝cosαcosπ3－sinαsinπ3＝35×12－(－45)×32＝3＋4310.能力拓展提升一、选择题11．(文)(2013·天津耀华中学模拟)若sinα＋cosα＝2，则tanα＋cosαsinα的值为()A．－1B．－2C．－12D．2[答案]D[解析]tanα＋cosαsinα＝sinαcosα＋cosαsinα＝1sinαcosα＝2sinα＋cosα2－1＝2，故应选D.(理)(2014·龙岩月考)已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝33，则cos2α＝()A．－53B．－59C.59D.53[答案]A[解析]由sinα＋cosα＝33平方得：1＋sin2α＝13，即sin2α＝－23.又α为第二象限角，∴sinα0，cosα0，∴cosα－sinα＝－cosα－sinα2＝－153.∴cos2α＝cos2α－sin2α＝33×(－153)＝－53.故选A.解答本题要注意到sinα±cosα与sinαcosα之间的关系．12．已知tanθ1，且sinθ＋cosθ0，则cosθ的取值范围是()A．(－22，0)B．(－1，－22)C．(0，22)D．(22，1)[答案]A[解析]如图，依题意结合三角函数线进行分析可知，2kπ＋5π4θ2kπ＋3π2，k∈Z，因此－22cosθ0.选A.13．(文)已知tanx＝sin(x＋π2)，则sinx＝()A.－1±52B.3＋12C.5－12D.3－12[答案]C[解析]∵tanx＝sin(x＋π2)，∴tanx＝cosx，∴sinx＝cos2x，∴sin2x＋sinx－1＝0，解得sinx＝－1±52，∵－1≤sinx≤1，∴sinx＝5－12.故选C.(理)(2013·北京海淀期中)已知关于x的方程x2－xcosA·cosB＋2sin2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC一定是()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．钝角三角形[答案]C[解析]由题意得，cosAcosB＝12·2sin2C2⇒cosA·cosB＝1－cosC2⇒2cosA·cosB＝1＋cos(A＋B)⇒2cosA·cosB＝1＋cosA·cosB－sinA·sinB⇒cosA·cosB＋sinA·sinB＝1⇒cos(A－B)＝1⇒A－B＝0⇒A＝B，所以△ABC一定是等腰三角形，故选C.二、填空题14．设a＝2tan70°1＋tan270°，b＝1＋cos109°2，c＝32cos81°＋12sin99°，将a、b、c用“”号连接起来________．[答案]bca[解析]a＝2tan70°1＋tan270°＝2sin70°cos70°cos270°＋sin270°＝sin140°，b＝1＋cos109°2＝1－cos71°2＝sin35.5°＝sin144.5°，c＝sin60°cos81°＋cos60°sin81°＝sin141°，∵y＝sinx在(90°，180°)内单调递减，∴acb.15．(2012·唐山二模)若3cos(π2－θ)＋cos(π＋θ)＝0，则cos2θ＋12sin2θ的值是________．[答案]65[分析]利用诱导公式可将条件式化简得到sinθ＝kcosθ(或tanθ＝k)结合sin2θ＋cos2θ＝1可求得sinθ与cosθ代入待求值式可获解(或将待求式除以1＝sin2θ＋cos2θ，分子分母都化为tanθ的表示式获解)．[解析]∵3cos(π2－θ)＋cos(π＋θ)＝0，即3sinθ－cosθ＝0，即tanθ＝13.∴cos2θ＋12sin2θ＝cos2θ＋sinθcosθ1＝cos2θ＋sinθcosθsin2θ＋cos2θ＝1＋tanθ1＋tan2θ＝1＋131＋132＝43109＝65.[点评]形如asinα＋bcosα和asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子分别称为关于sinα、cosα的一次齐次式和二次齐次式．若已知tanα＝m，求涉及它们的三角式的值时，常作①1的代换，②sinα＝mcosα代入，③选择题常用直角三角形法求解，④所给式是分式时，常用分子、分母同除以coskα(k＝1,2，…)变形．三、解答题16．(文)(2014·龙湾中学月考)已知向量a＝(cosα，1)，b＝(－2，sinα)，α∈π，3π2，且a⊥b.(1)求sinα的值；(2)求tanα＋π4的值．[解析](1)∵a＝(cosα，1)，b＝(－2，sinα)，且a⊥b.∴a·b＝(cosα，1)·(－2，sinα)＝－2cosα＋sinα＝0.∴cosα＝12sinα.∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝45.∵α∈π，3π2，∴sinα＝－255.(2)由(1)可得cosα＝－55，则tanα＝2.tanα＋π4＝tanα＋11－tanα＝－3.(理)已知向量m＝(－1，cosωx＋3sinωx)，n＝(f(x)，cosωx)，其中ω0，且m⊥n，又函数f(x)的图象任意两相邻对称轴间距为32π.(1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f32α＋π2＝2326，求sinα＋π4cos4π＋2α的值．[解析](1)由题意得m·n＝0，所以，f(x)＝cosωx·(cosωx＋3sinωx)＝1＋cos2ωx2＋3sin2ωx2＝sin2ωx＋π6＋12，根据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π.又ω0，所以ω＝13.(2)由(1)知f(x)＝sin23x＋π6＋12.所以f32α＋π2＝sinα＋π2＋12＝cosα＋12＝2326，解得cosα＝513，因为α是第一象限角，故sinα＝1213，所以，sinα＋π4cos4π＋2α＝sinα＋π4cos2α＝22sinα＋cosαcos2α－sin2α＝22·1cosα－sinα＝－13214.考纲要求理解同角三角函数的基本关系式，能利用平方关系和商数关系进行化简、求值和证明有关问题．能利用单位圆中的三角函数线推导出有关的诱导公式，能利用诱导公式化简任意角的三角函数值．补充说明1．怎样