走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学4-4

基础巩固强化一、选择题1．sin75°cos30°－sin15°sin150°的值为()A．1B.12C.22D.32[答案]C[解析]sin75°cos30°－sin15°sin150°＝sin75°cos30°－cos75°sin30°＝sin(75°－30°)＝sin45°＝22.2．(2012·豫南九校联考)函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π，则a的值是()A．－1B．1C．2D．±1[答案]D[解析]y＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，T＝2π2|a|＝π|a|＝π，∴a＝±1.3．(文)计算tan75°－tan15°－3tan15°·tan75°的结果等于()A.3B．－3C.33D．－33[答案]A[解析]∵tan60°＝tan(75°－15°)＝tan75°－tan15°1＋tan15°·tan75°＝3，∴tan75°－tan15°＝3(1＋tan15°·tan75°)，∴tan75°－tan15°－3tan15°·tan75°＝3，故选A.(理)(2013·榆林模拟)若tanα＝lg(10a)，tanβ＝lg(1a)，且α＋β＝π4，则实数a的值为()A．1B.110C．1或110D．1或10[答案]C[解析]∵tanα＝lg(10a)＝1＋lga，tanβ＝lg(1a)＝－lga，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝1＋lga＋－lga1－－lga·1＋lga＝11＋lga＋lg2a＝1，∴lg2a＋lga＝0，∴lga＝0或－1.∴a＝1或110.4．(2013·池州期末)已知θ是△ABC中的最小角，则sin(θ＋π3)的取值范围是()A．(32，1]B．[32，1]C．(12，1]D．[12，1][答案]B[解析]∵θ是△ABC中的最小角，不妨设B＝θ，则0θ≤A,0θ≤C，∴03θ≤A＋B＋C＝π，即0θ≤π3.∴π3θ＋π3≤2π3，∴sin(θ＋π3)的取值范围是[32，1]，故选B.5．(文)在△ABC中，如果sinA＝3sinC，B＝30°，那么角A等于()A．30°B．45°C．60°D．120°[答案]D[解析]∵△ABC中，B＝30°，∴C＝150°－A，∴sinA＝3sin(150°－A)＝32cosA＋32sinA，∴tanA＝－3，∴A＝120°.(理)已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于()A.5π12B.π3C.π4D.π6[答案]C[解析]∵α、β均为锐角，∴－π2α－βπ2，∴cos(α－β)＝1－sin2α－β＝31010，∵sinα＝55，∴cosα＝1－552＝255.∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝22.∵0βπ2，∴β＝π4，故选C.6．(2013·云南师大附中月考)已知x＝π4是函数f(x)＝asinx＋bcosx的一条对称轴，且f(x)的最大值为22，则函数g(x)＝asinx＋b()A．最大值是2，最小值是－2B．最大值可能是0C．最大值是4，最小值是0D．最小值不可能是－4[答案]B[解析]由f(x)＝asinx＋bcosx的一条对称轴是π4，得f(0)＝f(π2)，即a＝b，a2＋b2＝8，解得a＝b＝2或a＝b＝－2，所以g(x)＝2sinx＋2或g(x)＝－2sinx－2，故选B.二、填空题7．(文)要使sinα－3cosα＝4m－64－m有意义，则m的取值范围是________．[答案][－1，73][解析]∵sinα－3cosα＝2(sinαcosπ3－sinπ3cosα)＝2sin(α－π3)∈[－2,2]，∴－2≤4m－64－m≤2.由4m－64－m≥－2得，－1≤m4；由4m－64－m≤2得，m≤73或m4，∴－1≤m≤73.(理)函数f(x)＝asinx－bcosx的图象的一条对称轴是直线x＝π4，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角的大小为________．[答案]3π4(或135°)[解析]f(x)的图象的对称轴过其最高点或最低点，∴f(π4)＝±a2＋b2，∴a－b2＝±a2＋b2，解得a＋b＝0.∴直线ax－by＋c＝0的斜率k＝ab＝－1，∴直线ax－by＋c＝0的倾斜角为135°(或3π4)．8．已知α、β∈(0，π2)，且tanα·tanβ1，比较α＋β与π2的大小，用“”连接起来为________．[答案]α＋βπ2[解析]∵tanα·tanβ1，α、β∈0，π2，∴sinα·sinβcosα·cosβ1，∴sinα·sinβcosα·cosβ，∴cos(α＋β)0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋βπ2.9．已知tanα、tanβ是关于x的一元二次方程x2＋4x－5＝0的两实根，则sinα＋βcosα－β＝________.[答案]1[解析]∵tanα、tanβ为方程x2＋4x－5＝0的两根，∴tanα＋tanβ＝－4，tanα·tanβ＝－5，∴sinα＋βcosα－β＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ＝tanα＋tanβ1＋tanαtanβ＝－41＋－5＝1.三、解答题10．(文)已知函数f(x)＝－23sin2x＋sin2x＋3.(1)求函数f(x)的最小正周期和最小值；(2)在给出的直角坐标系中，画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．[解析](1)f(x)＝3(1－2sin2x)＋sin2x＝sin2x＋3cos2x＝2sin(2x＋π3)，所以，f(x)的最小正周期T＝2π2＝π，最小值为－2.(2)列表：x0π12π37π125π6πf(x)320－203故画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象如图．(理)已知函数f(x)＝3sinxcosx－cos2x－12，x∈R.(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；(2)已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c＝3，f(C)＝0，若向量m＝(1，sinA)与n＝(2，sinB)共线，求a、b的值．[解析](1)f(x)＝3sinxcosx－cos2x－12＝32sin2x－12cos2x－1＝sin(2x－π6)－1，∴f(x)的最小值是－2，最小正周期为π.(2)∵f(C)＝sin(2C－π6)－1＝0，即sin(2C－π6)＝1，∵0Cπ，－π62C－π611π6，∴2C－π6＝π2，∴C＝π3.∵m与n共线，∴sinB－2sinA＝0.由正弦定理asinA＝bsinB，得b＝2a，①∵c＝3，由余弦定理得，9＝a2＋b2－2abcosπ3，②解方程组①②得，a＝3，b＝23.能力拓展提升一、选择题11．设△ABC的三个内角A、B、C，向量m＝(3sinA，sinB)，n＝(cosB，3cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝()A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案]C[解析]m·n＝3sinAcosB＋3sinBcosA＝3sin(A＋B)＝3sinC，cos(A＋B)＝－cosC，∵m·n＝1＋cos(A＋B)，∴3sinC＝1－cosC，∴sin(C＋π6)＝12，∵0Cπ，∴C＝2π3.12．(文)已知sinβ＝35(π2βπ)，且sin(α＋β)＝cosα，则tan(α＋β)＝()A．1B．2C．－2D.825[答案]C[解析]∵sinβ＝35，π2βπ，∴cosβ＝－45，∴sin(α＋β)＝cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，∴25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2.(理)已知sinx－siny＝－23，cosx－cosy＝23，且x、y为锐角，则tan(x－y)＝()A.2145B．－2145C．±2145D．±51428[答案]B[解析]两式平方相加得：cos(x－y)＝59，∵x、y为锐角，sinx－siny0，∴xy，∴－π2x－y0，∴sin(x－y)＝－1－cos2x－y＝－2149，∴tan(x－y)＝sinx－ycosx－y＝－2145.13．(2013·忻州一中期中)命题：∀x∈[0，π3]，使3cos2x2＋3sinx2cosx2a＋32成立，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(32，＋∞)C．(32，＋∞)D．(3，＋∞)[答案]D[解析]3cos2x2＋3sinx2cosx2＝31＋cosx2＋32sinx＝32＋3(32cosx＋12sinx)＝32＋3sin(x＋π3)a＋32，故a3sin(x＋π3)，因为x∈[0，π3]，故x＋π3∈[π3，2π3]，故3sin(x＋π3)的最大值为3，要使不等式恒成立，则a3，选D.二、填空题14．(2012·山西高考联合模拟)设f(x)＝asin(π－2x)＋bsin(π2＋2x)，其中a，b∈R，ab≠0，若f(x)≤|f(π6)|对一切x∈R恒成立，则①f(11π12)＝0②f(x)的周期为2π③f(x)既不是奇函数也不是偶函数④存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)[答案]①③[解析]f(x)＝asin(π－2x)＋bsin(π2＋2x)＝asin2x＋bcos2x＝a2＋b2sin(2x＋φ)，其中，tanφ＝ba，∵f(x)≤|f(π6)|对一切x∈R恒成立，∴|f(π6)|＝a2＋b2，∴2×π6＋φ＝kπ＋π2，∴φ＝kπ＋π6，又f(x)的周期T＝π，故①③正确，②④错误．15．(文)(2013·安徽安庆一模)已知cos(π4－α)＝1213，α∈(0，π4)，则cos2αsinπ4＋α＝________.[答案]1013[解析]由已知得sinα＋cosα＝12213，两边平方得1＋2sinαcosα＝288169，∴2sinαcosα＝119169，∴1－2sinαcosα＝50169，即cosα－sinα＝5213.∴cos2αsinπ4＋α＝cos2α－sin2α22sinα＋cosα＝2(cosα－sinα)＝1013.(理)(2013·湖南师大附中月考)计算：tan12°－34cos212°－2sin12°＝________.[答案]－4[解析]原式＝sin12°cos12°－322cos212°－1sin12°＝sin12°－3cos12°2sin12°cos12°cos24°＝212sin12°－32cos12°sin24°cos24°＝2sin12°－60°12sin48°＝－4.三、解答题16．(文)已知函数f(x)＝sin2x＋π6＋sin2x－π6－2cos2x.(1)求函数f(x)的值域及最小正周期；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．[解析](1)f(x)＝32sin2x＋12cos2x＋32sin2x－12cos2x－(cos2x＋1)＝232sin2x－12cos2x－1＝2sin2x－π6－1.由－1≤sin2x－π6≤1得，－3≤2sin2x－π6－1≤1.可知函数f(x)的值域为[－3,1]．且函数f(x)的最小正周期为π.(2)由2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)解得，kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)．所以y＝f(x)的单调增区间为[kπ－π6，kπ＋π3](k∈Z)．(理)已知函数f(x)＝2sinxcos(x＋π6)－cos2x＋m.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈[－π4，π4]时，函数f(x)的最小值为－3，求实数m的值．[解析](1)∵f(x)＝2sinxcos(x＋