走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学5-3

基础巩固强化一、选择题1．(2013·湖北理，6)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量AB→在CD→方向上的投影为()A.322B.3152C．－322D．－3152[答案]A[解析]∵AB→＝(2,1)，CD→＝(5,5)，∴AB→·CD→＝2×5＋1×5＝15，|CD→|＝52，所求投影为|AB→|cosAB→，CD→＝AB→·CD→|CD→|＝1552＝322，故选A.2．(文)若向量a与b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，则有()A．c⊥aB．c⊥bC．c∥bD．c∥a[答案]A[解析]c·a＝|a|2＋a·b＝1＋1×2×cos120°＝0.故c⊥a.(理)(2013·山东师大附中模拟)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋b|＝()A．9B.7C．3D．7[答案]B[解析]|a|＝2，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×1×12＝1，所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝4＋1＋2＝7，所以|a＋b|＝7，选B.3．(文)(2013·辽宁理，9)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有()A．b＝a3B．b＝a3＋1aC．(b－a3)(b－a3－1a)＝0D．|b－a3|＋|b－a3－1a|＝0[答案]C[解析]依题意，a≠0.因为△ABC是直角三角形，则O不可能为直角顶点，若∠A为直角，则有b＝a3；若∠B为直角，则有OB→⊥AB→，OB→·AB→＝(a，a3)·(a，a3－b)＝a2＋a3(a3－b)＝0，所以b＝a3＋1a，选C.(理)(2013·北京四中期中)若O是△ABC所在平面内的一点，且满足(BO→＋OC→)·(OC→－OA→)＝0，则△ABC一定是()A．等边三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．斜三角形[答案]C[解析]由(BO→＋OC→)·(OC→－OA→)＝0得BC→·AC→＝0，即BC⊥AC，所以∠C＝90°，所以△ABC为直角三角形，选C.4．(2012·新疆维吾尔自治区检测)已知A、B、C是圆O：x2＋y2＝r2上三点，且OA→＋OB→＝OC→，则AB→·OC→等于()A．0B.12C.32D．－32[答案]A[解析]∵A、B、C是⊙O上三点，∴|OA→|＝|OB→|＝|OC→|＝r(r0)，∵OA→＋OB→＝OC→，∴AB→·OC→＝(OB→－OA→)·(OB→＋OA→)＝|OB→|2－|OA→|2＝0，故选A.5．已知△ABC中，AB→＝a，AC→＝b，a·b0，S△ABC＝154，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC等于()A．30°B．120°C．150°D．30°或150°[答案]C[解析]S△ABC＝12|a||b|sin∠BAC＝154，∴sin∠BAC＝12.又a·b0，∴∠BAC为钝角，∴∠BAC＝150°，选C.6．(文)(2013·上海徐汇一模)设a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为()A．－2B.2－2C．－1D．1－2[答案]D[解析](a－c)·(b－c)＝c2－c·(a＋b)≥1－|c||a＋b|＝1－a＋b2＝1－2.(理)已知|a|＝2，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则|a－λb|的最小值为()A．4B．23C．2D.3[答案]D[解析]∵a·(b－a)＝a·b－|a|2＝a·b－4＝2，∴a·b＝6，|a－λb|2＝|a|2＋λ2|b|2－2λa·b＝36λ2－12λ＋4＝36(λ－16)2＋3≥3，∴|a－λb|≥3，故选D.二、填空题7．(文)(2013·山东潍坊联考)向量a，b满足(a－b)·(2a＋b)＝－4，且|a|＝2，|b|＝4，则a，b的夹角等于________．[答案]120°[解析]由(a－b)·(2a＋b)＝－4得，2|a|2－a·b－|b|2＝－4，即a·b＝－4，所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－42×4＝－12，所以〈a，b〉＝120°.(理)已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．[答案]π3[解析](a＋2b)·(a－b)＝－2，即|a|2＋a·b－2|b|2＝－2，∴22＋a·b－2×22＝－2，a·b＝2，又cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝22×2＝12，〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为π3.8．(2013·巢湖质检)已知点G是△ABC的重心，若∠A＝120°，AB→·AC→＝－2，则|AG→|的最小值是________．[答案]23[解析]－2＝AB→·AC→＝|AB→||AC→|cosA＝|AB→|·|AC→|×(－12)，得|AB→|·|AC→|＝4，由三角形重心性质可得AB→＋AC→＝3AG→.9|AG→|2＝|AB→|2＋|AC→|2＋2AB→·AC→≥2|AB→|·|AC→|＋2AB→·AC→＝2×4＋2×(－2)＝4，所以|AG→|min＝23.9．已知OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(5－m，－3－m)．(1)若点A、B、C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．(2)若△ABC为Rt△，且∠A为直角，则m＝______.[答案]m∈R且m≠1274[解析](1)若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线．∵AB→＝(3,1)，AC→＝(2－m,1－m)，∴3(1－m)≠2－m，∴m≠12.即实数m≠12，满足条件．(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则AB→⊥AC→，∴3(2－m)＋(1－m)＝0，解得m＝74.三、解答题10．(文)三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量m＝(c－a，b－a)，n＝(a＋b，c)，若m∥n.(1)求角B的大小；(2)若sinA＋sinC的取值范围．[解析](1)由m∥n知c－aa＋b＝b－ac，即得b2＝a2＋c2－ac，据余弦定理知，cosB＝12，得B＝π3.(2)sinA＋sinC＝sinA＋sin(A＋B)＝sinA＋sin(A＋π3)＝sinA＋12sinA＋32cosA＝32sinA＋32cosA＝3sin(A＋π6)，∵B＝π3，∴A＋C＝2π3，∴A∈(0，2π3)，∴A＋π6∈(π6，5π6)，∴sin(A＋π6)∈(12，1]，∴sinA＋sinC的取值范围为(32，3]．(理)(2013·浙江重点中学联谊学校期中)已知a＝(cos3θ2，sin3θ2)，b＝(cosθ2，－sinθ2)，且θ∈[0，π3]．(1)求a·b|a＋b|的最值；(2)是否存在k的值使|ka＋b|＝3|a－kb|?[解析](1)由已知得a·b＝cos3θ2cosθ2－sin3θ2sinθ2＝cos2θ，∵θ∈[0，π3]，∴|a＋b|＝a2＋2a·b＋b2＝2＋2cos2θ＝2cosθ，∴a·b|a＋b|＝cos2θ2cosθ＝cosθ－12cosθ，令cosθ＝t，t∈[12，1]，∴cosθ－12cosθ＝t－12t，(t－12t)′＝1＋12t20，∴y＝t－12t为增函数，其最大值为12，最小值为－12，∴a·b|a＋b|的最大值为12，最小值为－12.(2)假设存在k的值满足题设条件，则|ka＋b|2＝3|a－kb|2.∵|a|＝|b|＝1，a·b＝cos2θ，∴cos2θ＝1＋k24k，∵θ∈[0，π3]，∴－12≤cos2θ≤1，∴－12≤1＋k24k≤1，∴2－3≤k≤2＋3或k＝－1.能力拓展提升一、选择题11．(文)如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC→＝3BD→，|AD→|＝1，则AC→·AD→＝()A．23B.32C.33D.3[答案]D[解析]∵AC→＝AB→＋BC→＝AB→＋3BD→，∴AC→·AD→＝(AB→＋3BD→)·AD→＝AB→·AD→＋3BD→·AD→，又∵AB⊥AD，∴AB→·AD→＝0，∴AC→·AD→＝3BD→·AD→＝3|BD→|·|AD→|·cos∠ADB＝3|BD→|·cos∠ADB＝3·|AD→|＝3.(理)(2012·大纲全国理，6)△ABC中，AB边的高为CD.若CB→＝a，CA→＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则AD→＝()A.13a－13bB.23a－23bC.35a－35bD.45a－45b[答案]D[解析]∵a·b＝0，∴∠ACB＝90°，又|a|＝1，|b|＝2，∴AB＝5，∴CD＝255，∴BD＝55，AD＝455.即ADBD＝∴AD→＝45AB→＝45(CB→－CA→)＝45(a－b)．故选D.本题的关键点是利用直角三角形的性质确定点D的位置．12．(文)已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则AP→·(AB→＋AC→)()A．最大值为8B．最小值为2C．是定值6D．与P的位置有关[答案]C[解析]以BC的中点O为原点，直线BC为x轴建立如图坐标系，则B(－1,0)，C(1,0)，A(0，3)，AB→＋AC→＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，设P(x,0)，－1≤x≤1，则AP→＝(x，－3)，∴AP→·(AB→＋AC→)＝(x，－3)·(0，－23)＝6，故选C.(理)已知a、b为非零向量，m＝a＋tb(t∈R)，若|a|＝1，|b|＝2，当且仅当t＝14时，|m|取得最小值，则向量a、b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案]C[解析]∵m＝a＋tb，|a|＝1，|b|＝2，令向量a、b的夹角为θ，∴|m|＝|a＋tb|＝|a|2＋t2|b|2＋2t|a||b|cosθ＝4t2＋4tcosθ＋1＝4t＋cosθ22＋1－cos2θ.又∵当且仅当t＝14时，|m|最小，即14＋cosθ2＝0，∴cosθ＝－12，∴θ＝2π3.故选C.13．(2013·天津月考)若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－(a·aa·b)b，则向量a与c的夹角为()A．0B.π6C.π3D.π2[答案]D[解析]因为c＝a－(a·aa·b)b，所以a·c＝a·[a－(a2a·b)b]＝a2－a2＝0，所以a⊥c，即向量a与c的夹角为π2，选D.二、填空题14．(2012·湖南文，15)如下图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则AP→·AC→＝________.[答案]18[解析]过C作BD的平行线，与AP的延长线交于Q点，则AQ＝2AP＝6，则AP→·AC→＝|AP→|·|AC→|cos〈AP→，AC→〉＝|AP→||AQ→|＝3×6＝18.15．(文)(2013·长春三校调研)△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，且AB→·AC→＝AC→2，则BC＝________.[答案]5[解析]∵AB＝3，AC＝2，AB→·AC→＝AC→2，∴cosA＝23，∴利用余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝32＋22－2×3×2×23＝5，∴BC＝5.(理)(2013·天津新华中学月考)平面上的向量MA→与MB→满足|MA→|2＋|MB→|＝4，且MA→·MB→＝0，若点C满足MC→＝13MA→＋23MB→，则|MC→|的最小值为________．[答案]74[解析]由MC→＝13MA→＋23MB→得|MC→|2＝(13MA→＋23MB→)2＝19|MA→|2＋49MA→·MB→＋49|MB→|2＝19|MA→|2＋49|MB→|2＝19(4－|MB→|)＋49|MB→|2＝49|MB→|2－19|MB→|＋49＝49(|MB→|2－14|MB→|)＋49＝49(|MB→|－18)2＋716≥716，所以|MC→|≥716＝74，即|MC→|的最小值为74.三、解答题16．(文)(2012·东北三校联考)已知向量m＝(2，－1)，n＝(sinA2，cos(B＋C))，A、B、C为△ABC的内角，其所对的边分别为a、b、c.(1)当m·n取得最大值时，求角A的大小；(2)在(1)的条件下