走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学6-2

基础巩固强化一、选择题1．(文)(2013·北京东城区统一检测)已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝6，S3＝12，则公差d等于()A．1B.53C．2D．3[答案]C[解析]根据已知，a1＋2d＝6,3a1＋3d＝12，解得d＝2.(理)已知{an}是等差数列，a1＋a2＝4，a7＋a8＝28，则该数列前10项和S10等于()A．64B．100C．110D．120[答案]B[解析]设数列{an}的公差为d，由题意得，2a1＋d＝4,2a1＋13d＝28，所以a1＝1，d＝2.于是S10＝10×1＋10×92×2＝100.[点评]可设bn＝a2n－1＋a2n，则{bn}为等差数列，其公差D＝b4－b13＝8，∴S10＝b1＋b2＋…＋b5＝5b1＋5×42D＝100.2．(文)(2012·辽宁文，4)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝()A．12B．16C．20D．24[答案]B[解析]由等差数列的性质得，a2＋a10＝a4＋a8＝16，B正确．[点评]解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的性质．(理)(2013·昆明重点高中检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a4＋a5＝12，则S7的值为()A．28B．42C．56D．14[答案]A[解析]∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，∴S7＝7a4＝28，故选A.3．(2013·玉溪模拟)数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，则a8＝()A．0B．3C．8D．11[答案]B[解析]因为{bn}是等差数列，且b3＝－2，b10＝12，故公差d＝12－－210－3＝2.于是b1＝－6，且bn＝2n－8(n∈N*)，即an＋1－an＝2n－8.所以a8＝a7＋6＝a6＋4＋6＝a5＋2＋4＋6＝…＝a1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.[解法探究]求得bn＝2n－8后可用逐差相加法求a8.4．(文)在等差数列{an}中，a9＋a11＝10，则数列{an}的前19项之和为()A．98B．95C．93D．90[分析]由求和公式Sn＝na1＋an2，及等差数列的性质a1＋a19＝a9＋a11可求解结果．[答案]B[解析]S19＝19×a1＋a192＝19×a9＋a112＝19×102＝95，故选B.(理)(2013·天津新华中学月考)公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于()A．18B．24C．60D．90[答案]C[解析]因为a4是a3与a7的等比中项，所以a3a7＝a24，又S8＝8a1＋a82＝32，所以a1＋a8＝8，解得a1＝－3，d＝2，所以S10＝10a1＋10×92d＝－3×10＋90＝60，选C.5．(文)已知数列{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的斜率是()A．4B.14C．－4D．－143[答案]A[解析]∵{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，∴a1＋a5＝22，∴2a3＝22，∴a3＝11.∴kPQ＝a4－a34－3＝4，故选A.(理)(2012·衡阳六校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若M、N、P三点共线，O为坐标原点，且ON→＝a15OM→＋a6OP→(直线MP不过点O)，则S20等于()A．10B．15C．20D．40[答案]A[解析]依题意，得a15＋a6＝1.由等差数列性质知a15＋a6＝a1＋a20，所以S20＝20a1＋a202＝10(a15＋a6)＝10，选A.6．(文)设Sn表示等差数列{an}的前n项和，已知S5S10＝13，那么S10S20等于()A.19B.310C.18D.13[答案]B[解析]设其公差为d，∵S5S10＝5a1＋12×5×4d10a1＋12×10×9d＝a1＋2d2a1＋9d＝13，∴a1＝3d.∴S10S20＝10a1＋12×10×9d20a1＋12×20×19d＝310.(理)设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若对任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立，则k的值为()A．22B．21C．20D．19[答案]C[解析]设等差数列{an}的公差为d，则有3d＝93－99＝－6，∴d＝－2；∴a1＋(a1＋3d)＋(a1＋6d)＝3a1＋9d＝3a1－18＝99，∴a1＝39，∴an＝a1＋(n－1)d＝39－2(n－1)＝41－2n.令an＝41－2n0得n20.5，即在数列{an}中，前20项均为正，自第21项起以后各项均为负，因此在其前n项和中，S20最大．依题意得知，满足题意的k值是20，选C.二、填空题7．(文)(2013·陕西检测)在等差数列{an}中，若a13＝20，a20＝13，则a2013＝________.[答案]－1980[解析]由题意知，等差数列{an}的公差d＝13－2020－13＝－1，∴a2013＝a20＋(2013－20)d＝13－1993＝－1980.(理)两个等差数列的前n项和之比为5n＋102n－1，则它们的第7项之比为________．[答案][解析]设两个数列{an}、{bn}的前n项和为Sn、Tn，则SnTn＝5n＋102n－1，而a7b7＝a1＋a13b1＋b13＝S13T13＝5×13＋102×13－1＝3.8．已知函数f(x)＝sinx＋tanx.项数为27的等差数列{an}满足an∈－π2，π2，且公差d≠0.若f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a27)＝0，则当k＝________时，f(ak)＝0.[答案]14[解析]∵f(x)＝sinx＋tanx为奇函数，且在x＝0处有定义，∴f(0)＝0.∵{an}为等差数列且d≠0，∴an(1≤n≤27，n∈N*)对称分布在原点及原点两侧，∵f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a27)＝0，∴f(a14)＝0.∴k＝14.9．(文)将正偶数按下表排成5列：第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行18202224…………2826那么2014应该在第________行第________列．[答案]2522[解析]通项an＝2n，故2014为第1007项，∵1007＝4×251＋3，又251为奇数，因此2014应排在第252行，且第252行从右向左排第3个数，即252行第2列．(理)已知an＝n的各项排列成如图的三角形状：a1a2a3a4a5a6a7a8a9…………………………记A(m，n)表示第m行的第n个数，则A(31,12)＝________.[答案]912[解析]由题意知第1行有1个数，第2行有3个数，……第n行有2n－1个数，故前n行有Sn＝n[1＋2n－1]2＝n2个数，因此前30行共有S30＝900个数，故第31行的第一个数为901，第12个数为912，即A(31,12)＝912.三、解答题10．(2013·福建)已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn.(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；(2)若S5a1a9，求a1的取值范围．[解析](1)因为数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列．所以a21＝1×(a1＋2)，即a21－a1－2＝0，解得a1＝－1，或a1＝2.(2)因为数列{an}的公差d＝1，且S5a1a9，所以5a1＋10a21＋8a1，即a21＋3a1－100，解得－5a12.能力拓展提升一、选择题11．(文)设{an}是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n项和最大时，n等于()A．4B．5C．6D．7[答案]A[解析]∵{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝15，∴a2＝5，又∵a1·a2·a3＝105，∴a1a3＝21，由a1a3＝21，a1＋a3＝10.及{an}递减可求得a1＝7，d＝－2，∴an＝9－2n，由an≥0得n≤4，∴选A.(理)(2012·大纲全国理，5)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列{1anan＋1}的前100项和为()A.100101B.99101C.99100D.101100[答案]A[解析]本小题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式的运用，以及裂项求和的综合应用．∵a5＝5，S5＝15，∴5a1＋a52＝15，即a1＝1.∴d＝a5－a15－1＝1，∴an＝n.∴1anan＋1＝1nn＋1＝1n－1n＋1.则数列{1anan＋1}的前100项的和为：T100＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1100－1101)＝1－1101＝100101.故选A.[点评]本题亦可利用等差数列的性质，由S5＝15得5a3＝15，即a3＝3，再进一步求解．12．(2012·河南安阳三模)已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，若S21＝S4000，O为坐标原点，点P(1，an)，Q(2011，a2011)，则OP→·OQ→等于()A．2011B．－2011C．0D．1[答案]A[解析]解法一：由已知S21＝S4000，则a22＋a23＋…＋a4000＝0，设{an}的公差为d，则3979a22＋a40002＝0，又a22＋a4000＝2a2011，所以a2011＝0，所以OP→·OQ→＝2011＋an·a2011＝2011.解法二：设等差数列{an}的公差为d，因为S21＝S4000，且等差数列前n项和公式可看成二次函数，所以由对称性可得S1＝S4020，则有a1＝4020a1＋4020×40192d，整理得a2011＝0，所以OP→·OQ→＝2011＋an·a2011＝2011.13．(2013·浙江省名校联考)已知每项均大于零的数列{an}中，首项a1＝1且前n项和Sn满足SnSn－1－Sn－1Sn＝2SnSn－1(n∈N*且n≥2)，则a81＝()A．641B．640C．639D．638[答案]B[解析]由已知SnSn－1－Sn－1Sn＝2SnSn－1可得，Sn－Sn－1＝2，所以{Sn}是以1为首项，2为公差的等差数列，故Sn＝2n－1，Sn＝(2n－1)2，所以a81＝S81－S80＝1612－1592＝640，故选B.二、填空题14．(2013·南京模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若(a2－1)3＋2012(a2－1)＝1，(a2011－1)3＋2012·(a2011－1)＝－1，则下列四个命题中真命题的序号为________．①S2011＝2011；②S2012＝2012；③a2011a2；④S2011S2.[答案]②③[解析]设f(x)＝x3＋2012x，则f(x)为奇函数，f′(x)＝3x2＋20120，∴f(x)单调递增．由f(1)＝20131知f(1)f(a2－1)，∴1a2－1，∴a22.又f(a2－1)＝－f(a2011－1)＝f(1－a2011)，∴a2－1＝1－a2011，∴a2＋a2011＝2，∴S2012＝a1＋a20122×2012＝2012，故②正确；又f(a2－1)f(a2011－1)，∴a2－1a2011－1，∴a2011a2，∴③正确；S2011＝S2012－a2012＝2012－(a2011＋d)＝2012－(2－a2＋d)＝2010＋a1a1＋a2＝S2，∴④错误；假设S2011＝2011，则2010＋a1＝2011，∴a1＝1，∵S2011＝2011×a1＋a20112＝2011×1＋a20112＝2011，∴a2011＝1，这与{an}是等差数列矛盾，∴①错．综上，正确的为②③.15．(2013·黄山期末)对于正项数列{an}，定义Hn＝na1＋2a2＋3a3＋…＋nan为{an}的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为Hn＝2n＋2，则数列{an