走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学8-6

基础巩固强化一、选择题1．(文)(2013·江西吉安模拟)若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则点P的轨迹方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．x2＝8yD．x2＝－8y[答案]C[解析]由题意知点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，因此点P到点F(0,2)的距离与到直线y＋2＝0的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，y＝－2为准线的抛物线，∴P的轨迹方程为x2＝8y.选C.(理)(2013·东北三校模拟)已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有()A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|[答案]C[解析]抛物线的准线方程为x＝－p2，由定义得|FP1|＝x1＋p2，|FP2|＝x2＋p2，|FP3|＝x3＋p2，则|FP1|＋|FP3|＝x1＋p2＋x3＋p2＝x1＋x3＋p,2|FP2|＝2x2＋p，由2x2＝x1＋x3，得2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|，故选C.2．(文)抛物线y2＝8x的焦点到双曲线x212－y24＝1的渐近线的距离为()A．1B.3C.33D.36[答案]A[解析]抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)到双曲线x212－y24＝1的渐近线y＝±33x的距离d＝1.(理)设椭圆x2m2＋y2n2＝1(m0，n0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为()A.x212＋y216＝1B.x216＋y212＝1C.x248＋y264＝1D.x264＋y248＝1[答案]B[解析]抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，由条件得m2－n2＝4，2m＝12.∴m2＝16，n2＝12.故选B.3．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)[答案]C[解析]设圆的半径为r，因为F(0,2)是圆心，抛物线C的准线方程y＝－2.圆与准线相切时半径为4.若圆与准线相交则r4.又因为点M(x0，y0)为抛物线x2＝8y上一点，所以有x20＝8y0.又点M(x0，y0)在圆x2＋(y－2)2＝r2上．所以x20＋(y0－2)2＝r216，所以8y0＋(y0－2)216，即有y20＋4y0－120，解得y02或y0－6(舍)，∴y02.故选C.4．(2013·安徽省级示范高中联考)设O是坐标原点，F是抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上的一点，FA→与x轴正方向的夹角为60°，则△OAF的面积为()A.32B．2C.3D．1[答案]C[解析]由题意知，F(1,0)，过A作AD⊥x轴于D.令|FD|＝m，则|FA|＝2m，由抛物线的定义知|AF|＝p＋|FD|＝2＋m＝2m，即m＝2，所以|AD|＝23，S△OAF＝12|OF|·|AD|＝12×1×23＝3.5．(文)已知抛物线y2＝2px(p0)的准线与曲线x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为()A．2B．1C.12D.14[答案]A[解析]抛物线y2＝2px的准线方程是x＝－p2，曲线x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16是圆心为(3,0)，半径为4的圆，依题意有|p2＋3|＝4.因为p0，所以有p2＋3＝4，解得p＝2，故选A.(理)设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若OA→·AF→＝－4，则点A的坐标为()A．(2，±22)B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,22)[答案]B[解析]设点A的坐标为(x0，y0)，∴y20＝4x0①又F(1,0)，∴OA→＝(x0，y0)，AF→＝(1－x0，－y0)，∵OA→·AF→＝－4，∴x0－x20－y20＝－4，②解①②组成的方程组得x0＝1，y0＝2，或x0＝1，y0＝－2.[点评]向量与解析几何相结合，向量往往要化为坐标的形式．6．(文)(2013·武汉市部分学校联考)过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们到直线x＝－2的距离之和等于7，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在[答案]B[解析]抛物线y2＝4x的通径(过焦点垂直于对称轴的线段)长为4，由抛物线的定义及题设条件知，|AB|＝7－2＝54，故这样的直线有且仅有两条．(理)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A．2B．3C.115D.3716[答案]A[解析]直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝|4－0＋6|5＝2，故选A.二、填空题7．(2013·辽宁大连一模)已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是________．[答案]254[解析]由y2＝8x知2p＝8，∴p＝4，则点F的坐标为(2,0)．由题设可知，直线l的斜率存在，设l的方程为y＝k(x－2)，点A，B的坐标分别为(8,8)，(xB，yB)．又点A(8,8)在直线l上，∴8＝k(8－2)，解得k＝43.∴直线l的方程为y＝43(x－2)．①将①代入y2＝8x，整理得2x2－17x＋8＝0，则8＋xB＝172，∴xB＝12.∴线段AB的中点到准线的距离是xA＋xB2＋p2＝174＋2＝254.[解法探究]求得xB＝12后，进一步可得yB＝－2，∴|AB|＝252.∴AB的中点到准线距离d＝12(|AF|＋|BF|)＝12|AB|＝254.8．(2013·甘肃天水调研)已知P为抛物线y＝14x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是(2,0)，则|PA|＋|PM|的最小值是________．[答案]5－1[解析]如图，抛物线y＝14x2，即x2＝4y的焦点F(0,1)，记点P在抛物线的准线l：y＝－1上的射影为P′，根据抛物线的定义知，|PP′|＝|PF|，则|PP′|＋|PA|＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝22＋12＝5.所以(|PA|＋|PM|)min＝(|PA|＋|PP′|－1)min＝5－1.9．(文)已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2m时，测量水面宽为8m，当水面上升12m后，水面的宽度是________m.[答案]43[解析]建立平面直角坐标系如图，设开始时水面与抛物线的一个交点为A，由题意可知A(4，－2)，故可求得抛物线的方程为y＝－18x2，设水面上升后交点为B，则点B的纵坐标为－32，代入抛物线方程y＝－18x2可求出B点的横坐标为23，所以水面宽为43m.(理)(2012·陕西理，13)下图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水位下降1m后，水面宽________m.[答案]26[解析]本题考查了抛物线方程在实际问题中的应用．如图建立坐标系设方程x2＝－2py(p0)，由题意知点(2，－2)在抛物线上，可得p＝1，则方程为x2＝－2y，当y＝－3时，x＝±6，所以水面宽26m.[点评]抛物线方程在实际问题中的应用，关键是合理建立平面直角坐标系，还要注意数据的实际意义．三、解答题10．(2013·长春三校调研)在直角坐标系xOy中，点M(2，－12)，点F在抛物线C：y＝mx2(m0)的焦点，线段MF恰被抛物线C平分．(1)求m的值；(2)过点M作直线l交抛物线C于A、B两点，设直线FA、FM、FB的斜率分别为k1、k2、k3，问k1、k2、k3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l的方程；若不能，请说明理由．[解析](1)由题得抛物线C的焦点F的坐标为(0，14m)，线段MF的中点N(1，18m－14)在抛物线C上，∴18m－14＝m,8m2＋2m－1＝0，∴m＝14(m＝－12舍去)．(2)由(1)知抛物线C：x2＝4y，F(0,1)．设直线l的方程为y＋12＝k(x－2)，A(x1，y1)、B(x2，y2)，由y＋12＝kx－2，x2＝4y，得x2－4kx＋8k＋2＝0，Δ＝16k2－4(8k＋2)0，∴k2－62或k2＋62.x1＋x2＝4k，x1x2＝8k＋2.假设k1、k2、k3能成公差不为零的等差数列，则k1＋k3＝2k2.而k1＋k3＝y1－1x1＋y2－1x2＝x2y1＋x1y2－x2－x1x1x2＝x2x214＋x1x224－x2－x1x1x2＝x1x24－1x1＋x2x1x2＝8k＋24－1·4k8k＋2＝4k2－k4k＋1，k2＝－34，∴4k2－k4k＋1＝－32，8k2＋10k＋3＝0，解得k＝－12(符合题意)或k＝－34(不合题意，舍去)．∴直线l的方程为y＋12＝－12(x－2)，即x＋2y－1＝0.∴k1、k2、k3能成公差不为零的等差数列，此时直线l的方程为x＋2y－1＝0.能力拓展提升一、选择题11．(文)若抛物线y2＝4x的焦点是F，准线是l，则经过点F、M(4,4)且与l相切的圆共有()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案]C[解析]经过F、M的圆的圆心在线段FM的垂直平分线上，设圆心为C，则|CF|＝|CM|，又圆C与l相切，所以C到l距离等于|CF|，从而C在抛物线y2＝4x上．故圆心为FM的垂直平分线与抛物线的交点，显然有两个交点，所以共有两个圆．(理)将两个顶点在抛物线y2＝2px(p0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则()A．n＝0B．n＝1C．n＝2D．n≥3[答案]C[解析]设抛物线上点A(y212p，y1)，B(y222p，y2)，且y1≠y2，焦点F(p2，0)，由|AF|＝|BF|得，(y21－y22)(y21＋y22＋2p24p2)＝0，∵y1≠y2，∴y1＝－y2.∴A、B关于x轴对称．过点F作直线y＝33(x－p2)，y＝－33(x－p2)分别与抛物线有2个交点．∴等边三角形有△AFB和△A′FB′，2个，故选C.12．(2013·郑州第一次质量预测)过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的长为()A．4B．8C．12D．16[答案]D[解析]抛物线y2＝8x的焦点F的坐标为(2,0)，直线AB的倾斜角为135°，故直线AB的方程为y＝－x＋2，代入抛物线方程y2＝8x，得x2－12x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB的长|AB|＝x1＋x2＋4＝12＋4＝16.13．(2013·乌鲁木齐第一次诊断)设平面区域D是由双曲线y2－x24＝1的两条渐近线和抛物线y2＝－8x的准线所围成的三角形(含边界与内部)．若点(x，y)∈D，则x＋y的最小值为()A．－1B．0C．1D．3[答案]B[解析]由题意知，双曲线的渐近线方程为y＝±12x，抛物线的准线方程为x＝2，设z＝x＋y，得y＝－x＋z，平移直线y＝－x过点O(0,0)时，直线y＝－x＋z的纵截距最小，故zmin＝0.二、填空题14．(文)已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则AP→·BP→取得最小值时的点P的坐标是______．[答案](0,0)[解析]设P－y24，y，则AP→＝－y24－2，y，BP→＝－y24－4，y，AP→·BP→＝－y24－2－y24－4＋