走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学8-8

基础巩固强化一、选择题1．若点P到直线y＝－2的距离比它到点A(0,1)的距离大1，则点P的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线[答案]D[解析]由条件知，点P到直线y＝－1的距离与它到点A(0,1)的距离相等，∴P点轨迹是以A为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线．2．方程(2x＋3y－1)(x－3－1)＝0表示的曲线是()A．两条直线B．两条射线C．两条线段D．一条直线和一条射线[答案]D[解析]原方程化为2x＋3y－1＝0，x－3≥0，或x－3－1＝0，∴2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故选D.3．若中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的顶点是椭圆x22＋y2＝1短轴端点，且该双曲线的离心率与此椭圆的离心率之积为1，则该双曲线的方程为()A．x2－y2＝1B．y2－x2＝1C.x24－y2＝1D.y24－x2＝1[答案]B[解析]∵椭圆x22＋y2＝1的短轴端点为(0，±1)，离心率e1＝ca＝22.∴双曲线的顶点(0，±1)，即焦点在y轴上，且a＝1，离心率e2＝c′a＝2，∴c′＝2，b＝1，所求双曲线方程为y2－x2＝1.故选B.4．长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，AC→＝2CB→，则点C的轨迹是()A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线[答案]C[解析]设C(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则a2＋b2＝9，①又AC→＝2CB→，所以(x－a，y)＝2(－x，b－y)，则a＝3x，b＝32y，②把②代入①式整理可得：x2＋14y2＝1.故选C.5．(2012·天津模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A.4x221－4y225＝1B.4x221＋4y225＝1C.4x225－4y221＝1D.4x225＋4y221＝1[答案]D[解析]M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|.∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，(5|AC|)∴a＝52，c＝1，则b2＝a2－c2＝214，∴椭圆的标准方程为4x225＋4y221＝1.故选D.6．已知log2x、log2y、2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为()[答案]A[解析]由log2x，log2y,2成等差数列得2log2y＝log2x＋2∴y2＝4x(x0，y0)，故选A.二、填空题7．设P为双曲线x24－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是________．[答案]x2－4y2＝1[解析]设M(x，y)，则P(2x,2y)，代入双曲线方程得x2－4y2＝1，即为所求．8．P是椭圆x2a2＋y2b2＝1上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，OQ→＝PF1→＋PF2→，则动点Q的轨迹方程是________．[答案]x24a2＋y24b2＝1[解析]设F1(－c,0)，F2(c,0)，Q(x，y)，P(x1，y1)，∴PF1→＝(－c－x1，－y1)，PF2→＝(c－x1，－y1)，OQ→＝(x，y)，由OQ→＝PF1→＋PF2→得，x＝－2x1，y＝－2y1，∴x1＝－x2，y1＝－y2.代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1中得，x24a2＋y24b2＝1.9．已知A、B分别是直线y＝33x和y＝－33x上的两个动点，线段AB的长为23，P是AB的中点，则动点P的轨迹C的方程为________．[答案]x29＋y2＝1[解析]设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵P是线段AB的中点，∴x＝x1＋x22，y＝y1＋y22.①∵A、B分别是直线y＝33x和y＝－33x上的点，∴y1＝33x1和y2＝－33x2.代入①中得，x1－x2＝23y，y1－y2＝233x.②又|AB→|＝23，∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝12.∴12y2＋43x2＝12，∴动点P的轨迹C的方程为x29＋y2＝1.三、解答题10.如图所示，在平面直角坐标系中，N为圆A：(x＋1)2＋y2＝16上的一动点，点B(1,0)，点M是BN的中点，点P在线段AN上，且MP→·BN→＝0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)试判断以PB为直径的圆与圆x2＋y2＝4的位置关系，并说明理由．[解析](1)∵点M是BN中点，又MP→·BN→＝0，∴PM垂直平分BN，∴|PN|＝|PB|，又|PA|＋|PN|＝|AN|，∴|PA|＋|PB|＝4，由椭圆定义知，点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，由2a＝4,2c＝2可得，a2＝4，b2＝3.可得动点P的轨迹方程为x24＋y23＝1.(2)设PB中点为C，则|OC|＝12|AP|＝12(|AN|－|PN|)＝12(4－|PB|)＝2－12|PB|.∴两圆内切.能力拓展提升11.(2013·宁夏育才中学模拟)已知平面上一定点C(－1,0)和一定直线l：x＝－4，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，(PQ→＋2PC→)·(PQ→－2PC→)＝0.(1)问点P在什么曲线上？并求出该曲线方程；(2)点O是坐标原点，A、B两点在点P的轨迹上，若OA→＋λOB→＝(1＋λ)OC→，求λ的取值范围．[解析](1)由(PQ→＋2PC→)·(PQ→－2PC→)＝0，得PQ→2－4PC→2＝0.设P(x，y)，则(x＋4)2－4[(x＋1)2＋y2]＝0，化简得x24＋y23＝1，即点P在椭圆上，其方程为x24＋y23＝1.(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，∵OA→＋λOB→＝(1＋λ)OC→，∴CA→＋λCB→＝0，∴(x1＋1，y1)＋λ(x2＋1，y2)＝0，∴x1＝－1－λ－λx2，y1＝－λy2.因为x214＋y213＝1，所以－1－λ－λx224＋－λy223＝1，①又因为x224＋y223＝1，所以λx224＋λy223＝λ2，②由①－②得2λλ＋1x2＋λ＋124＝1－λ2，化简得x2＝3－5λ2λ.因为－2≤x2≤2，所以－2≤3－5λ2λ≤2，解得13≤λ≤3，所以λ的取值范围为[13，3]．12．(2013·乌鲁木齐诊断)已知点F(1,0)，⊙F与直线4x＋3y＋1＝0相切，动圆M与⊙F及y轴都相切．(1)求点M的轨迹C的方程；(2)过点F任作直线l，交曲线C于A，B两点，由点A，B分别向⊙F各引一条切线，切点分别为P，Q，记α＝∠PAF，β＝∠QBF，求证sinα＋sinβ是定值．[解析](1)⊙F的半径为|4＋1|42＋32＝1，⊙F的方程为(x－1)2＋y2＝1.由题意动圆M与⊙F及y轴都相切，分以下情况：①动圆M与⊙F及y轴都相切，但切点不是原点的情况．作MH⊥y轴于H，则|MF|－1＝|MH|，即|MF|＝|MH|＋1，则|MF|＝|MN|(N是过M作直线x＝－1的垂线的垂足)，则点M的轨迹是以F为焦点，x＝－1为准线的抛物线．∴点M的轨迹C的方程为y2＝4x(x≠0)．②动圆M与⊙F及y轴都相切且切于原点的情况．此时点M的轨迹C的方程为y＝0(x≠0,1)．(2)由于直线l过点F与C交于A、B两点，且F不尽在C上，∴l只能与y2＝4x(x≠0)交于两点．当l不与x轴垂直时，直线l的方程为y＝k(x－1)，由y＝kx－1，y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2k2＋4k2，x1x2＝1.∴sinα＋sinβ＝1|AF|＋1|BF|＝1x1＋1＋1x2＋1＝x1＋x2＋2x1x2＋x1＋x2＋1＝x1＋x2＋21＋x2＋x1＋1＝1.当l与x轴垂直时，也可得sinα＋sinβ＝1.综上，有sinα＋sinβ＝1.13．(2013·株洲模拟)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，△ABC的三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线l的方程为4x＋y－20＝0.(1)求抛物线C的方程；(2)若O是坐标原点，P，Q是抛物线C上的两动点，且满足PO⊥OQ，证明：直线PQ过定点．[解析](1)设抛物线C的方程为y2＝2mx，由4x＋y－20＝0，y2＝2mx，消去x得2y2＋my－20m＝0.∵Δ0，∴m0或m－160.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则y1＋y2＝－m2，∴x1＋x2＝(5－y14)＋(5－y24)＝10＋m8.再设A(x3，y3)，由于△ABC的重心为F(m2，0)，则x1＋x2＋x33＝m2，y1＋y2＋y33＝0，解得x3＝11m8－10，y3＝m2.∵点A在抛物线上，∴(m2)2＝2m(11m8－10)．∴m＝8，抛物线C的方程为y2＝16x.(2)证明：当PQ的斜率存在时，设PQ的方程为y＝kx＋b，显然k≠0，b≠0，∵PO⊥OQ，∴kPOkOQ＝－1，设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，∴xPxQ＋yPyQ＝0.将直线y＝kx＋b代入抛物线方程，得ky2－16y＋16b＝0，∴yPyQ＝16bk.从而xPxQ＝y2Py2Q162＝b2k2，∴b2k2＋16bk＝0.∵k≠0，b≠0，整理得b＝－16k.∴直线PQ的方程为y＝kx－16k，PQ过点(16,0)；当PQ的斜率不存在时，显然PQ⊥x轴，又PO⊥OQ，∴△POQ为等腰三角形．由y＝|x|，y2＝16x，得P(16,16)，Q(16，－16)，此时直线PQ过点(16,0)，∴直线PQ恒过定点(16,0)．14.(2014·鹤壁淇县检测)如图所示，已知C为圆(x＋2)2＋y2＝4的圆心，点A(2，0)，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP所在直线上，且MQ→·AP→＝0，AP→＝2AM→.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程．[解析]圆(x＋2)2＋y2＝4的圆心为C(－2，0)，半径r＝2，∵MQ→·AP→＝0，AP→＝2AM→，∴MQ⊥AP，点M是AP的中点，即QM是AP的中垂线，连接AQ，则|AQ|＝|QP|，∴||QC|－|QA||＝||QC|－|QP||＝|CP|＝2，又|AC|＝222，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(－2，0)，A(2，0)为焦点，实轴长为2的双曲线，由c＝2，a＝1，得b2＝1，因此点Q的轨迹方程为x2－y2＝1.考纲要求了解曲线与方程的关系，能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．补充说明1．常见的轨迹(1)在平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是连结两定点的线段的垂直平分线．(2)平面内到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线．(3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，以定长为半径的圆．(4)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线．(5)平面内到两定点F1，F2距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹是以两定点为焦点，2a为长轴长的椭圆．(6)平面内到两定点F1，F2距离差的绝对值为定值2a(02a|F1F2|)的点的轨迹是以两定点为焦点，实轴长为2a的双曲线．(7)平面内到定点和定直线距离相等(定点不在定直线上)的点的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线．2．求轨迹方程的其他方法(1)待定系数法：已知所求曲线的类型，可直接设出曲线的方程，再根据已知条件确定其系数．(2)参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程．(3)交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程．2．加强知识交汇的训练向量、三角函数、不等式与解析几何交汇，特别是向量进入解析几何已成为新的命题热点，应加强这种融合多处知