走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学阶段性测试题三

阶段性测试题三(导数及其应用)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2014·北京东城区联考)曲线y＝13x3在x＝1处切线的倾斜角为()A．1B．－π4C.π4D.5π4[答案]C[解析]∵y＝13x3，∴y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tanα＝1，∵0≤απ，∴α＝π4.2．(2014·三亚市一中月考)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)[答案]D[解析]∵f(x)＝(x－3)ex，∴f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f′(x)0得x2，∴选D.3．(2014·甘肃省金昌市二中、临夏中学期中)已知函数f(x)＝lnx，则函数g(x)＝f(x)－f′(x)的零点所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)[答案]B[解析]由题可知g(x)＝lnx－1x，∵g(1)＝－10，g(2)＝ln2－12＝ln2－lne0，∴选B.4．(文)(2014·浙江杜桥中学期中)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝()A．2B．3C．4D．5[答案]D[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由条件知，x＝－3是方程f′(x)＝0的实数根，∴a＝5.(理)(2014·营口三中期中)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx在x＝1处有极值，则a＋b等于()A．2B．3C．6D．9[答案]C[解析]f′(x)＝12x2－2ax－2b，由条件知x＝1是方程f′(x)＝0的实数根，∴a＋b＝6.5．(2014·北京东城区联考)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是()A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在(1,3)上f(x)是减函数C．在(4,5)上f(x)是增函数D．当x＝4时，f(x)取极大值[答案]C[解析]由导函数y＝f′(x)的图象知，f(x)在(－2,1)上先减后增，在(1,3)上先增后减，在(4,5)上单调递增，x＝4是f(x)的极小值点，故A、B、D错误，选C.6．(2014·河北冀州中学期中)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A．(－1,2)B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C．(－3,6)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)[答案]B[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，由条件知，方程f′(x)＝0有两不等实根，∴Δ＝4a2－12(a＋6)0，∴a－3或a6，故选B.7．(文)(2014·泸州市一诊)若曲线f(x)＝x－12在点(a，f(a))处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝()A．64B．32C．16D．8[答案]A[解析](理)(2014·北京朝阳区期中)由直线x＝0，x＝2π3，y＝0与曲线y＝2sinx所围成的图形的面积等于()A．3B.32C．1D.12[答案]A[解析]＝－2(－12－1)＝3.8．(文)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设函数F(x)＝fxex是定义在R上的函数，其中f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)f(x)对于x∈R恒成立，则()A．f(2)e2f(0)，f(2012)e2012f(0)B．f(2)e2f(0)，f(2012)e2012f(0)C．f(2)e2f(0)，f(2012)e2012f(0)D．f(2)e2f(0)，f(2012)e2012f(0)[答案]C[解析]∵函数F(x)＝fxex的导数F′(x)＝f′xex－fxexex2＝f′x－fxex0，∴函数F(x)＝fxex是定义在R上的减函数，∴F(2)F(0)，即f2e2f0e0，故有f(2)e2f(0)．同理可得f(2012)e2012f(0)．故选C.(理)(2014·安徽程集中学期中)已知函数f(x)(x∈R)满足f′(x)＞f(x)，则()A．f(2)e2f(0)B．f(2)≤e2f(0)C．f(2)＝e2f(0)D．f(2)e2f(0)[答案]D[分析]所给四个选项实质是比较f(2)与e2f(0)的大小，即比较f2e2与f0e0的大小，故构造函数F(x)＝fxex解决．[解析]设F(x)＝fxex，则F′(x)＝f′x－fxex0，∴F(x)在R上为增函数，故F(2)F(0)，∴f2e2f0e0，即f(2)e2f(0)．9．(2014·开滦二中期中)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是()A．(0,1)B．(－∞，1)C．(0，＋∞)D．(0，12)[答案]D[解析]f′(x)＝3x2－6b，∵f(x)在(0,1)内有极小值，∴在(0,1)内存在点x0，使得在(0，x0)内f′(x)0，在(x0,1)内f′(x)0，由f′(x)＝0得，x2＝2b0，∴b02b1，∴0b12.10．(文)(2014·抚顺市六校联合体期中)已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f′(x)0的解集为()A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B．(－∞，－2)∪(1,2)C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)[答案]D[解析]由f(x)的图象知，在(－∞，－1)上f′(x)0，在(－1,1)上f′(x)0，在(1，＋∞)上f′(x)0，又x2－2x－30的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)，x2－2x－30的解集为(－1,3)．∴不等式(x2－2x－3)f′(x)0的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．(理)(2014·浙江杜桥中学期中)函数f(x)＝1lnx＋1－x的图象大致为()[答案]B[解析]令h(x)＝ln(x＋1)－x，则h′(x)＝1x＋1－1＝－xx＋1，∴h(x)在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，最大值为h(0)＝0，∴h(x)0，即f(x)0，且f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故选B.11．(2014·枣庄市期中)若1,3为函数f(x)＝13x3＋bx2＋cx(b，c∈R)的两个极值点，则曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为()A．8B．6C．4D．0[答案]A[解析]f′(x)＝x2＋2bx＋c，由条件知，1,3是方程f′(x)＝0的两个实根，∴b＝－2，c＝3，∴f′(－1)＝8，故选A.12．(2014·浙江省五校联考)已知函数f(x)＝13x3＋12mx2＋m＋n2x的两个极值点分别为x1，x2，且0x11x2，点P(m，n)表示的平面区域内存在点(x0，y0)满足y0＝loga(x0＋4)，则实数a的取值范围是()A．(0，12)∪(1,3)B．(0,1)∪(1,3)C．(12，1)∪(1,3]D．(0,1)∪[3，＋∞)[答案]B[解析]f′(x)＝x2＋mx＋m＋n2，由条件知，方程f′(x)＝0的两实根为x1，x2且0x11x2，∴f′00，f′10，∴m＋n20，1＋m＋m＋n20，∴m＋n0，3m＋n－2，由m＋n＝0，3m＋n＝－2，得m＝－1，n＝1，∴x0－1，y01.由y0＝loga(x0＋4)知，当a1时，1y0loga3，∴1a3；当0a1时，y0＝loga(x0＋4)loga3，由于y01，loga30，∴对∀a∈(0,1)，此式都成立，从而0a1，综上知0a1或1a3，故选B.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(文)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．[答案]2x－y＋1＝0[解析]∵点(1,3)在曲线y＝x3－x＋3上，y′＝3x2－1，∴曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线的斜率为y′|x＝1＝(3x2－1)|x＝1＝2，∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.(理)(2014·福建安溪一中、养正中学联考)曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．[答案]4x－y－3＝0[解析]y′|x＝1＝(3lnx＋4)|x＝1＝4，∴切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.14．(文)(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知函数f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．[答案](－∞，0][解析]∵f(x)＝x3－ax2－3x，∴f′(x)＝3x2－2ax－3，又因为f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，f′(x)＝3x2－2ax－3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立，∴a3≤1，f′1＝3×12－2a－3≥0，解得a≤0，故答案为(－∞，0]．(理)(2014·河北冀州中学期中)若函数f(x)＝x＋asinx在R上递增，则实数a的取值范围为________．[答案][－1,1][解析]f′(x)＝1＋acosx，由条件知f′(x)≥0在R上恒成立，∴1＋acosx≥0，a＝0时显然成立；a0时，∵－1a≤cosx恒成立，∴－1a≤－1，∴a≤1，∴0a≤1；a0时，∵－1a≥cosx恒成立，∴－1a≥1，∴a≥－1，即－1≤a0，综上知－1≤a≤1.15．(文)(2014·三亚市一中月考)曲线y＝x2x－1在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．[答案]22－1[解析]y′|x＝1＝－12x－12|x＝1＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝22，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为22－1.(理)(2014·山东省菏泽市期中)函数y＝x2与y＝kx(k0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k＝________.[答案]3[解析]由y＝kx，y＝x2，解得x＝0，y＝0，或x＝k，y＝k2.由题意得，0k(kx－x2)dx＝(12kx2－13x3)|k0＝12k3－13k3＝16k3＝92，∴k＝3.16．(2014·西安一中期中)从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________cm3.[答案]144[解析]设小正方形边长为x，则盒子的容积为v＝x(10－2x)(16－2x)，即v＝4(x3－13x2＋40x)，(0x5)，v′＝4(3x2－26x＋40)＝4(3x－20)(x－2)，令v′＝4(3x－20)(x－2)＝0得，x＝2，x＝203(不符合题意，舍去)，x＝2是唯一极值点也就是最值点，所以，x＝2时，盒子容积的最大值为144cm3.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间．[解析](1)∵函数f(x)的图象过点P(1,2)，∴f(1)＝2.∴a＋b＝1.①又函数图象在