走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学阶段性测试题四

阶段性测试题四(三角函数与三角形)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2014·威海期中)角α的终边经过点P(sin10°，－cos10°)，则α的可能取值为()A．10°B．80°C．－10°D．－80°[答案]D[解析]由条件知tanα＝－cos10°sin10°＝－tan80°＝tan(－80°)，故选D.2．(文)(2014·北京海淀期中)在△ABC中，若tanA＝－2，则cosA＝()A.55B．－55C.255D．－255[答案]B[解析]在△ABC中，若tanA＝－2，则A∈(π2，π)，cosA＝－11＋tan2A＝－15＝－55，故选B.(理)(2014·三亚市一中月考)若tanα＝2，则cos2α＋sin2α的值为()A．0B.15C．1D.54[答案]B[解析]∵tanα＝2，∴cos2α＋sin2α＝cos2α－sin2α＋2sinαcosαsin2α＋cos2α＝1－tan2α＋2tanαtan2α＋1＝15.3．(文)(2014·江西临川十中期中)已知sin(θ＋π2)＝35，则cos2θ等于()A.1225B．－1225C．－725D.725[答案]C[解析]∵sin(θ＋π2)＝cosθ＝35，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－725.(理)(2014·枣庄市期中)化简cosπ＋αcosπ2＋αcos11π2－αcosπ－αsin－π－αsin9π2＋α的结果是()A．－1B．1C．tanαD．－tanα[答案]C[解析]原式＝－cosα·－sinα·－sinα－cosα·sinα·cosα＝tanα，故选C.4．(2014·山东省菏泽市期中)要得到y＝sin(2x－2π3)的图象，只要将函数y＝sin(2x＋π3)的图象向右平移()个单位即可()A.π3B．πC.2π3D.π2[答案]D[解析]∵sin[2(x－π2)＋π3]＝sin(2x－2π3)，∴只需将y＝sin(2x＋π3)的图象向右平移π2个单位可得到y＝sin(2x－2π3)的图象．5．(2014·九江市七校联考)在△ABC中，AC＝7，∠B＝2π3，△ABC的面积S＝1534，则AB＝()A．5或3B．5C．3D．5或6[答案]A[解析]设AB＝x，BC＝y，则x0，y0，由条件得，72＝x2＋y2－2xycos2π3，12xysin2π3＝1534，即x2＋y2＋xy＝49，xy＝15，则x＝3，y＝5，或x＝5，y＝3，∴AB＝3或5.6．(2014·山东省菏泽市期中)已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是()A．2B．2sin1C．2sin－11D．sin2[答案]C[解析]设圆半径为R，由条件知sin1＝1R，∴R＝1sin1，∴l＝2R＝2sin1，故选C.7．(文)(2014·辽宁师大附中期中)在△ABC中，角A、B均为锐角，且cosAsinB，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形[答案]C[解析]∵cosA＝sin(π2－A)sinB,0π2－Aπ2，0Bπ2，∴π2－AB，∴A＋Bπ2，∴Cπ2，故选C.(理)(2014·安徽程集中学期中)在△ABC中，“sin(A－B)cosB＋cos(A－B)sinB≥1”是“△ABC是直角三角形”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]由条件式得sinA≥1，∴sinA＝1，∴A为直角，但△ABC为直角三角形时，不一定A为直角，故选A.8．(2014·浙江省五校联考)函数y＝2sin(π4－x2)sin(π4＋x2)的图象的一条对称轴为()A．x＝－π2B．x＝π2C．x＝πD．x＝3π2[答案]C[解析]y＝2sin(π4－x2)sin(π4＋x2)＝2sin(π4－x2)cos(π4－x2)＝sin(π2－x)＝cosx，其对称轴方程为x＝kπ，k∈Z.9．(文)(2014·江西白鹭洲中学期中)函数y＝cos2x在下列哪个区间上是减函数()A．[0，π2]B．[π4，3π4]C．[－π4，π4]D．[π2，π][答案]A[解析]由2kπ≤2x≤2kπ＋π得kπ≤x≤kπ＋π2(k∈Z)，令k＝0知选A.(理)(2014·福州市八县联考)已知ω0，函数f(x)＝sin(ωx＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是()A．[12，54]B．[12，34]C．(0，12]D．(0,2][答案]A[解析]由2kπ＋π2≤ωx＋π4≤2kπ＋3π2及ω0得，2kπω＋π4ω≤x≤2kπω＋5π4ω，k∈Z.∵f(x)在(π2，π)上单调递减，∴(π2，π)⊆[2kπω＋π4ω，2kπω＋5π4ω]，∴k＝0，π4ω≤π2，5π4ω≥π.∴12≤ω≤54，故选A.10．(2014·营口三中期中)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0，|φ|π2)的部分图象如图所示，如果x1，x2∈(－π6，π3)，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝()A.12B.22C.32D．1[答案]C[解析]∵x1，x2∈(－π6，π3)时，f(x1)＝f(x2)，∴x1＋x2＝－π6＋π3＝π6，∴f(x1＋x2)＝f(π6)，由图象知，T2＝π3－(－π6)＝π2，∴T＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)，由于f(x)的图象过点(π12，1)，∴sin(π6＋φ)＝1，∴φ＝π3，∴f(π6)＝sin(2×π6＋π3)＝sin2π3＝32，故选C.11．(2014·哈六中期中)2sin225°－1sin20°cos20°的值为()A．－1B．－2C．1D．2[答案]B[解析]原式＝－cos50°12sin40°＝－2.12．(文)(2014·威海期中)函数f(x)＝sinx＋cos2x的图象为()[答案]B[解析]f(0)＝sin0＋cos0＝1，排除A、D；f(－π)＝sin(－π)＋cos(－2π)＝1，排除C，故选B.(理)(2014·山东省菏泽市期中)函数f(x)＝2x－tanx在(－π2，π2)上的图象大致为()[答案]C[解析]∵f(－x)＝－2x－tan(－x)＝－(2x－tanx)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A、B；f′(x)＝(2x－sinxcosx)′＝2－1cos2x，令f′(x)≥0得，cos2x≥12，∴cosx≥22或cosx≤－22，∵x∈(－π2，π2)，∴－π4≤x≤π4，故选C.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)在△ABC中，三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，若a2＋b2－c2＋2ab＝0，则角C的大小为________．[答案]135°[解析]∵a2＋b2－c2＋2ab＝0，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝－22，∵0°C180°，∴C＝135°.14．(文)(2014·甘肃临夏中学期中)函数f(x)＝3sin(2x－π3)的图象为C，则如下结论中正确的序号是________．①图象C关于直线x＝1112π对称；②图象C关于点(2π3，0)对称；③函数f(x)在区间(－π12，5π12)内是增函数；④由y＝3sin2x的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C.[答案]①②③[解析]①当x＝11π12时，f(11π12)＝3sin3π2＝－3，∴正确；②当x＝2π3时，f(2π3)＝0，∴正确；③由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2可得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为[kπ－π12，kπ＋5π12](k∈Z)，∴正确；④y＝3sin2x的图象向右平移π3个单位长度得到y＝3sin2(x－π3)，∴④错误．(理)(2014·威海期中)将函数y＝sin(x－π3)，x∈[0,2π]的图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π6个单位，所得函数的单调递增区间为____________．[答案][－π6，3π2]，[7π2，23π6][解析]由2kπ－π2≤12x－π4≤2kπ＋π2得，4kπ－π2≤x≤4kπ＋3π2，k∈Z，由已知函数中x∈[0,2π]得所求函数的定义域为[－π6，23π6]，令k＝0得，－π2≤x≤3π2，令k＝1得，7π2≤x≤11π2，故所求函数的单调增区间为[－π6，3π2]和[7π2，23π6]．15．(文)(2014·吉林省实验中学一模)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π3)＝________.[答案]2425[解析]∵α为锐角，∴0α＋π6π，∵cos(α＋π6)＝45，∴sin(α＋π6)＝35，∴sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)·cos(α＋π6)＝2×35×45＝2425.(理)(2014·吉林延边州质检)设△ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别为a、b、c，若△ABC的面积为S＝a2－(b－c)2，则sinA1－cosA＝________.[答案]4[解析]∵S＝12bcsinA，a2－(b－c)2＝2bc－(b2＋c2－a2)＝2bc－2bccosA，S＝a2－(b－c)2，∴12bcsinA＝2bc－2bccosA，∴sinA1－cosA＝4.16．(2014·浙江省五校联考)已知O(0,0)，A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，C(cosγ，sinγ)，若kOA→＋(2－k)OB→＋OC→＝0(0k2)，则cos(α－β)的最大值是________．[答案]－12[解析]∵kOA→＋(2－k)OB→＋OC→＝0，OA→＝(cosα，sinα)，OB→＝(cosβ，sinβ)，OC→＝(cosγ，sinγ)，∴kcosα＋2－kcosβ＋cosγ＝0，ksinα＋2－ksinβ＋sinγ＝0，∵cos2γ＋sin2γ＝1，∴k2＋(2－k)2＋2k(2－k)cosαcosβ＋2k·(2－k)sinαsinβ＝1，∴cos(α－β)＝－2k2＋4k－3－2k2＋4k＝1＋32k2－4k，∵0k2，∴－2≤2k2－4k0，∴cos(α－β)≤－12.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f(x)＝2sinx(sinx＋cosx)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)当x∈[0，π2]时，求f(x)的最大值．[解析]f(x)＝2sinx(sinx＋cosx)＝2sin2x＋2sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x＝2(22sin2x－22cos2x)＋1＝2sin(2x－π4)＋1，(1)f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)∵0≤x≤π2，∴－π4≤2x－π4≤3π4，∴当2x－π4＝π2，即x＝3π8时，f(x)取得最大值，且最大值为f(3π8)＝2sinπ2＋1＝2＋1.(理)(2014·北京东城区联考)已知函数f(x)＝3sinxcosx－cos2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当x∈[0，π2]时，求函数f(x)的最大值及相应的x的值．[解析](1)因为f(x)＝32sin2x－12cos2x－12＝sin(2x－π6)－12，所以T＝2π2＝π，故f(x)的最小正周期为π.(2)因为0≤x≤π2，所以－π6≤2x－π6≤5π6.所以当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)有最大值12.18．(本小题满分12分)(