走向高考二轮数学专题限时检测3

专题限时检测三时间：60分钟满分：100分一、选择题(本大题共8小题，每小题6分，共48分；在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(文)(2013·天津十二区县联考)“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2＝xz”成立的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]“lgx，lgy，lgz成等差数列”⇔2lgy＝lgx＋lgz⇒y2＝xz，但y2＝xz⇒/2lgy＝lgx＋lgz，∴选A.(理)等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则“d|a1|”是“Sn的最小值为S1，且Sn无最大值”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]A[解析]依题意，当d|a1|时，数列{an}是递增的数列，无论a1的取值如何，Sn的最小值为S1，且Sn无最大值；反过来，当Sn的最小值为S1，且Sn无最大值时，如当a1＝1，d＝13时，此时Sn的最小值为S1，且Sn无最大值，但不满足d|a1|.综上所述，“d|a1|”是“Sn的最小值为S1，且Sn无最大值”的充分不必要条件．2．(2014·河北衡水中学二调)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n＝4(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1),a1a2a3＝27，则a6＝()A．27B．81C.243D．729[答案]C[解析]∵a1a2a3＝a32＝27，∴a2＝3，∵S2n＝4(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)，∴S2＝4a1，∴a1＋a2＝4a1，∴a2＝3a1＝3，∴a1＝1，∴q＝a2a1＝3，∴a6＝a1q5＝35＝243.3．(文)(2013·绍兴市模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋S3＝－4，a4＝3，则公差为()A．－1B．1C．2D．3[答案]C[解析]∵a2＋S3＝－4，∴4a2＝－4，∴a2＝－1，∵a4＝3，∴d＝2，故选C.(理)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝03(1＋2x)dx，S20＝17，则S30为()A．15B．20C．25D．30[答案]A[解析]S10＝03(1＋2x)dx＝(x＋x2)|30＝12.又S10，S20－S10，S30－S20成等差数列．即2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，∴S30＝15.4．(文)(2014·河南六校联盟联考)在等差数列{an}中，a3＋a9＝12，则该数列前11项和S11＝()A．132B．121C．66D．33[答案]C[解析]∵a3＋a9＝a1＋a11＝12，∴S11＝11a1＋a112＝11×122＝66.(理)(2013·唐徕回民中学模拟)已知数列{an}，若点(n，an)(n∈N*)在经过点(5,3)的定直线l上，则数列{an}的前9项和S9＝()A．9B．10C．18D．27[答案]D[解析]由条件知a5＝3，∴S9＝9a5＝27.5．(文)两个正数a、b的等差中项是52，一个等比中项是6，且ab，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率e等于()A.32B.152C.13D.133[答案]D[解析]由已知可得a＋b＝5，ab＝6，解得a＝3，b＝2或a＝2，b＝3(舍去)．则c＝a2＋b2＝13，故e＝ca＝133.(理)△ABC的三边分别为a、b、c，若b既是a、c的等差中项，又是a、c的等比中项，则△ABC是()A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．直角三角形[答案]C[解析]∵b是a、c的等差中项，∴b＝a＋c2.又∵b是a、c的等比中项，∴b＝ac，∴(a＋c2)2＝ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c，∴b＝a＋c2＝a，故△ABC是等边三角形．6．(2013·北京西城区模拟)设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且a10，若S22a3，则q的取值范围是()A．(－1,0)∪(0，12)B．(－12，0)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(12，＋∞)D．(－∞，－12)∪(1，＋∞)[答案]B[解析]∵S22a3，∴a1＋a1q2a1q2，∵a10，∴2q2－q－10，∴－12q1且q≠0，故选B.7．(文)已知正数组成的等差数列{an}，前20项和为100，则a7·a14的最大值是()A．25B．50C．100D．不存在[答案]A[解析]∵S20＝a1＋a202×20＝100，∴a1＋a20＝10.∵a1＋a20＝a7＋a14，∴a7＋a14＝10.∵an0，∴a7·a14≤(a7＋a142)2＝25.当且仅当a7＝a14时取等号．(理)(2014·乌鲁木齐市诊断)已知数列{an}的各项均为正数，执行程序框图(如下图)，当k＝4时，输出S＝13，则a2014＝()A．2012B．2013C．2014D．2015[答案]D[解析]由程序框图可知，{an}是公差为1的等差数列，且1a1a2＋1a2a3＋1a3a4＋1a4a5＝13，∴1a1－1a2＋1a2－1a3＋1a3－1a4＋1a4－1a5＝1a1－1a5＝13，∴1a1－1a1＋4＝13，解得a1＝2，∴a2014＝a1＋2013d＝2＋2013＝2015.8．(文)在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限内的两个点，若1，x1，x2,4依次成等差数列，而1，y1，y2,8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是()A．1B．2C．3D．4[答案]A[解析]由等差、等比数列的性质，可求得x1＝2，x2＝3，y1＝2，y2＝4，∴P1(2,2)，P2(3,4)，∴S△OP1P2＝1.(理)(2013·贵阳市检测)已知曲线C：y＝1x(x0)上两点A1(x1，y1)和A2(x2，y2)，其中x2x1.过A1、A2的直线l与x轴交于点A3(x3,0)，那么()A．x1，x32，x2成等差数列B．x1，x32，x2成等比数列C．x1，x3，x2成等差数列D．x1，x3，x2成等比数列[答案]A[解析]直线A1A2的斜率k＝y2－y1x2－x1＝1x2－1x1x2－x1＝－1x1x2，所以直线A1A2的方程为y－1x1＝－1x1x2(x－x1)，令y＝0解得x＝x1＋x2，∴x3＝x1＋x2，故x1，x32，x2成等差数列，故选A.二、填空题(本大题共2小题，每小题6分，共12分，将答案填写在题中横线上．)9．(文)(2013·天津六校联考)定义运算abcd＝ad－bc，函数f(x)＝x－12－xx＋3图象的顶点坐标是(m，n)，且k，m，n，r成等差数列，则k＋r的值为________．[答案]－9[解析]f(x)＝(x－1)(x＋3)＋2x＝x2＋4x－3＝(x＋2)2－7的顶点坐标为(－2，－7)，∵m＝－2，n＝－7，∴k＋r＝m＋n＝－9.(理)(2014·山西大学附中月考)已知无穷数列{an}具有如下性质：①a1为正整数；②对于任意的正整数n，当an为偶数时，an＋1＝an2；当an为奇数时，an＋1＝an＋12.在数列{an}中，若当n≥k时，an＝1，当1≤nk时，an1(k≥2，k∈N*)，则首项a1可取数值的个数为________(用k表示)．[答案]2k－2[解析]当n≥k时，an＝1，∴ak＝1，当nk时，若ak＝ak－1＋12，则ak－1＝1这与ak－11矛盾，∴ak＝ak－12，∴ak－1＝2，同理可得ak－2＝3或4，ak－3＝5,6,7或8，…，倒推下去，∵k－(k－2)＝2，∴倒推(k－2)步可求得a1，∴a1有2k－2个可能取值．10．(文)(2013·南京市二模)已知数列{an}的通项为an＝7n＋2，数列{bn}的通项为bn＝n2.若将数列{an}、{bn}中相同的项按从小到大顺序排列后记作数列{cn}，则c9的值是________．[答案]961[解析]设数列{an}中的第n项是数列{bn}中的第m项，则m2＝7n＋2，m、n∈N*.令m＝7k＋i，i＝0,1,2，…，6，k∈Z，则i2除以7的余数是2，则i＝3或4，所以数列{cn}中的项依次是{bn}中的第3,4,10,11,17,18,24,25,31,32，…，故c9＝b31＝312＝961.(理)已知函数f(x)＝a·bx的图象过点A(2，12)、B(3,1)，若记an＝log2f(n)(n∈N*)，Sn是数列{an}的前n项和，则Sn的最小值是________．[答案]－3[解析]将A、B两点坐标代入f(x)得12＝ab2，1＝ab3，解得a＝18，b＝2，∴f(x)＝18·2x.∴f(n)＝18·2n＝2n－3.∴an＝log2f(n)＝n－3.令an≤0，即n－3≤0，∴n≤3.∴数列前3项小于或等于零，故S3或S2最小．S3＝a1＋a2＋a3＝－2＋(－1)＋0＝－3.三、解答题(本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)11．(本小题满分13分)(文)(2014·临沂三校联考)已知等比数列{an}的公比q1,42是a1和a4的一个等比中项，a2和a3的等差中项为6，若数列{bn}满足bn＝log2an(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{anbn}的前n项和Sn.[解析](1)因为42是a1和a4的一个等比中项，所以a1·a4＝(42)2＝32.由题意可得a2·a3＝32，a2＋a3＝12.因为q1，所以a3a2.解得a2＝4，a3＝8.所以q＝a3a2＝2.故数列{an}的通项公式an＝2n.(2)由于bn＝log2an(n∈N*)，所以anbn＝n·2n，Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，①2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1.②①－②得，－Sn＝1·2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝21－2n1－2－n·2n＋1.所以Sn＝2－2n＋1＋n·2n＋1.(理)(2013·天津十二区县联考)已知数列{an}的首项为1，对任意的n∈N*，定义bn＝an＋1－an.(1)若bn＝n＋1，①求a3的值和数列{an}的通项公式；②求数列{1an}的前n项和Sn；(2)若bn＋1＝bn＋2bn(n∈N*)，且b1＝2，b2＝3，求数列{bn}的前3n项的和．[解析](1)①a1＝1，a2＝a1＋b1＝1＋2＝3，a3＝a2＋b2＝3＋3＝6当n≥2时，由an＋1－an＝n＋1得an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋b1＋b2＋…＋bn－1＝nn＋12而a1＝1适合上式，所以an＝nn＋12(n∈N*)．②由①得：1an＝2nn＋1＝2(1n－1n＋1)，Sn＝1a1＋1a2＋1a3＋…＋1an＝2(1－12)＋2(12－13)＋2(12－13)＋…＋2(1n－1n＋1)＝2(1－1n＋1)＝2nn＋1.(2)因为对任意的n∈N*有bn＋6＝bn＋5bn＋4＝bn＋4bn＋3bn＋4＝1bn＋3＝bn，所以数列{bn}为周期数列，周期为6.又数列{bn}的前6项分别为2,3，32，12，13，23，且这六个数的和为8.设数列{bn}的前n项和为Sn，则当n＝2k(k∈N*)时，S3n＝S6k＝k(b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6)＝8k，当n＝2k＋1(k∈N*)时，S3n＝S6k＋3＝k(b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6)＋b6k＋1＋b6k＋2＋b6k＋3＝8k＋b1＋b2＋b3＝8k＋132，当n＝1时，S3＝132所以，当n为偶数时，S3n＝4n；当n为奇数时，S3n＝4n＋52.12．(本小题满分13分)(文)(2013·黄浦区模拟)已知数列{an}具有性质：①a1为整数；②对于任意的正整数n，当an为偶数时，an＋1＝an2；当an为奇数时，an＋1＝an－12；(1)若a1为偶数，且a1，