走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学3-4

基础巩固强化一、选择题1．(2013·山东济南一模)设a＝121xdx，b＝131xdx，c＝151xdx，则下列关系式成立的是()A.a2b3c5B.b3a2c5C.c5a2b3D.a2c5b3[答案]C[解析]∵a＝121xdx＝ln2，b＝131xdx＝ln3，c＝151xdx＝ln5，∴a2＝12ln2＝ln2，b3＝13ln3＝ln33，c5＝15ln5＝ln55，而55233，∴c5a2b3，选C.2.(2012·深圳第一次调研)如图，圆O：x2＋y2＝π2内的正弦曲线y＝sinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是()A.4π2B.4π3C.2π2D.2π3[答案]B[解析]依题意得，区域M的面积等于20πsinxdx＝－2cosx|π0＝4，圆O的面积等于π×π2＝π3，因此点A落在区域M内的概率是4π3，选B.3．(2013·湖北理，7)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋251＋t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5B．8＋25ln113C．4＋25ln5D．4＋50ln2[答案]C[解析]由于v(t)＝7－3t＋251＋t，且汽车停止时速度为0，因此由v(t)＝0可解得t＝4，即汽车从刹车到停止共用4s.该汽车在此期间所行驶的距离s＝04(7－3t＋251＋t)dt＝[7t－3t22＋25ln(t＋1)]|40＝4＋25ln5(m)．4．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1所围成的图形面积是()A．2πB．3πC.3π2D．π[答案]A[解析]如图，S＝∫2π0(1－cosx)dx＝(x－sinx)|2π0＝2π.[点评]此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为π6，π，则对称性就无能为力了．5．(2013·安徽联考)设函数f(x)＝(x－1)x(x＋1)，则满足0af′(x)dx＝0的实数a有________个．()A．3B．2C．1D．0[答案]C[解析]∵0af′(x)dx＝f(a)－f(0)＝0，∴a＝0或1或－1，又由积分性质知a0，故a＝1，选C.6．(2013·保定调研)已知函数f(x)＝x＋1－1≤x≤0cosx0x≤π2，()A.12B．1C．2D.32[答案]D[解析]二、填空题7.(2013·济宁一模)如图，长方形的四个顶点为O(0,0)，A(2,0)，B(2,4)，C(0,4)．曲线y＝ax2经过点B，现将一质点随机投入正方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是________.[答案]23[解析]∵y＝ax2过点B(2,4)，∴a＝1，∴所求概率为1－02x2dx2×4＝23.8．(2013·湖南省五市十校联考)01(ex＋x)dx＝________.[答案]e－12[解析]01(ex＋x)dx＝(ex＋12x2)|10＝e＋12－1＝e－12.9．(2013·滨州一模)设a＝0πsinxdx，则二项式(ax－1x)6展开式的常数项等于________．[答案]－160[解析]a＝0πsinxdx＝－cosx|π0＝2，Tr＋1＝Cr6(2x)6－r－1xr＝(－1)r26－rCr6x3－r，∵Tr＋1为常数项，∴3－r＝0，∴r＝3，∴常数项为(－1)3×23×C36＝－160.10．(2013·北京东城区检测)图中阴影部分的面积等于________．[答案]1[解析]由题知所求面积为013x2dx＝x3|10＝1.能力拓展提升一、选择题11．(2013·长春一模)与定积分∫3π01－cosxdx相等的是()A.2∫3π0sinx2dxB.2∫3π0|sinx2|dxC．|2∫3π0sinx2dx|D．以上结论都不对[答案]B[解析]∵1－cosx＝2sin2x2，∴∫3π01－cosxdx＝∫3π02|sinx2|dx＝2∫3π0|sinx2|dx.12．(2013·日照一模)设(1x＋x2)3的展开式中的常数项为a，则直线y＝ax与直线y＝x2围成图形的面积为()A.272B．9C.92D.274[答案]C[解析](1x＋x2)3，即(x2＋1x)3的通项Tr＋1＝Cr3(x2)3－r(1x)r＝Cr3x6－3r，令6－3r＝0，得r＝2，∴常数项为3.则直线y＝3x与曲线y＝x2围成图形的面积为S＝03(3x－x2)dx＝(32x2－13x3)|30＝92.故选C.13．(2013·山西诊断)若函数，则f(2012)＝()A．1B．2C.43D.53[答案]C[解析]二、填空题14．(2013·江西省七校联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝∫n＋1n1xdx(n∈N*)，则S100＝________.[答案]ln101[解析]依题意，an＝lnx|n＋1n＝ln(n＋1)－lnn，因此S100＝(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋…＋(ln101－ln100)＝ln101.15．抛物线y2＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的面积为________．[答案]18[解析]由方程组y2＝2x，y＝4－x.解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y作为积分变量，x＝y22、x＝4－y三、解答题16.已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a的值．[解析]f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a0)．∴S阴影＝a0[0－(－x3＋ax2)]dx＝(14x4－13ax3)|0a＝112a4＝112，∵a0，∴a＝－1.考纲要求了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，了解微积分基本定理的含义．补充说明1．掌握本节内容需熟记微积分基本定理及积分的三条性质；明确曲边梯形面积(只取正值)与定积分(任意实数)的关系．抓住三个考点：定积分的计算，已知定积分求参数值，定积分的应用．2．用定义求定积分的一般方法是：①均匀分割：n等分区间[a，b]；②近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；③求和：i＝1nf(ξi)·b－an；④取极限：abf(x)dx＝limn→∞i＝1nf(ξi)·b－an.3．由两条直线x＝a、x＝b(a＜b)、两条曲线y＝f(x)、y＝g(x)(f(x)≥g(x))围成的平面图形的面积：S＝ab[f(x)－g(x)]dx(如图)．4．本节重点体会数形结合思想，无限逼近的极限思想．备选习题1．设集合P＝{x|0x(3t2－10t＋6)dt＝0，x0}，则集合P的非空子集个数是()A．2B．3C．7D．8[答案]B[解析]依题意得0x(3t2－10t＋6)dt＝(t3－5t2＋6t)|x0＝x3－5x2＋6x＝0，由此解得x＝0或x＝2或x＝3.又x0，因此集合P＝{2,3}，集合P的非空子集的个数是22－1＝3，选B.2．()A．0B.π4C．2D．4[答案]C[解析]3．设f(x)＝0x(1－t)3dt，则f(x)的展开式中x的系数是()A．－1B．1C．－4D．4[答案]B[解析]f(x)＝0x(1－t)3dt＝－14(1－t)4|x0＝14－14(1－x)4，故展开式中x的系数为－14×(－C14)＝1，故选B.4．(2013·郑州二测)等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝034xdx，则公比q的值为()A．1B．－12C．1或－12D．－1或－12[答案]C[解析]因为S3＝034xdx＝2x2|30＝18，所以6q＋6q2＋6＝18，化简得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－12，故选C.5．(2012·太原模拟)已知(xlnx)′＝lnx＋1，则1elnxdx＝()A．1B．eC．e－1D．e＋1[答案]A[解析]由(xlnx)′＝lnx＋1，联想到(xlnx－x)′＝(lnx＋1)－1＝lnx，于是1elnxdx＝(xlnx－x)|e1＝(elne－e)－(1×ln1－1)＝1.6.(2014·河源龙川一中月考)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x2和曲线y＝x围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点，则所投的点落在叶形图内部的概率是()A.12B.16C.14D.13[答案]D[解析]依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于01(x－x2)dx＝(23x32－13x3)|10＝13，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于13，选D.