赵坚顾静相微积分初步第一章练习解答

1赵坚顾静相微积分初步第一章练习解答课本P.11练习1.1习题解答1、求下列函数的定义域（1）5xy（2）)4ln(xy解：05x解：04x5x4x定义域：),5[定义域：)4,(（3）1412xxy（4）24)1lg(1xxy解：01042xx解：040)1(1012xxgx122xxx或2201xxx定义域：定义域：),2()2,1()1,0()0,2[2、已知11)(xxxf，求)0(f，)2(f，)1(xf，)1(xf，))((xff解：1)0(f3)2(f21)1(1)1()1(xxxxxfxxxxxf111111)1(xxxxxxxxxxxfxfxff22)1()1()1()1(1111111)(1)())((3、已知函数93,531,13)(2xxxxxf求：)(xf的定义域，及函数值)0(f，)1(f，)4(f，))1((ff2解：)(xf的定义域为：)9,1(110)0(f413)1(f145)4(f1)4())1((fff4、判别下列函数的奇偶性：（1）242xxy（2）xxysin解：∵24)(2)()(xxxy解：∵)sin()()(xxxyyxx242yxxsin∴242xxy是偶函数∴xxysin是偶函数（3）2xxeey（4）13xy解：∵2)()(xxeexy解：1)()(3xxy2xxee13xyeexx2∵yxyyxy)()(且∴2xxeey是奇函数∴13xy是非奇非偶函数5、下列函数可以看成由哪些简单函数复合而成？（1）43xyxy1sin)2(2解：uy解：2uy，vusin43xuxv1（3）)1cos(lg2xy（4）xytan2解：uylg，vucos，12xv解：uy2，vutan，xv3课本P.20练习1.2习题解答1、判断下列数列是否收敛（1）13，24，35，┅，nn2，┅解：∵12limnnn∴数列nn2是收敛的（2）1，4，9，16，┅，2n，┅解：∵2limnn，不是一个常数∴数列2n是发散的2、分析下列函数的变化趋势，并求极限（1）)(12xxy（2）)0(21xyx解：01lim2xx解：02lim10xx（3）)0(cosxxy解：1coslim0xx3、设函数xxxf)(，求)(xf在0x处的左、右极限，并讨论)(xf在0x处是否有极限存在解：左极限：1)1(limlimlim)(lim0000xxxxxxxxxf右极限：11limlimlim)(lim0000xxxxxxxxxf因为)(xf在0x处的左、右极限不相等所以)(xf在0x处的极限不存在4、当0x时，下列变量中哪些是无穷小量：x3，x100000，xx5cos答：x100000和xx5cos当0x时是无穷小量45、计算下列极限（1）)56(lim22xxx（2）232lim220xxxxx解：)56(lim22xxx解：232lim220xxxxx115124122（3）659lim223xxxx（4）232lim222xxxxx解：659lim223xxxx解：232lim222xxxxx)3)(2()3)(3(lim3xxxxx)2)(1()2)(1(lim2xxxxx23lim3xxx11lim2xxx616313（5）xxx11lim0（6）xxx39lim9解：xxx11lim0解：xxx39lim9)11()11)(11(lim0xxxxx)3)(3()3)(9(lim9xxxxx)11(lim0xxxxxxxx9)3)(9(lim921111lim0xx633)3(lim9xx6、计算下列极限（1）xxx5sin4tanlim0（2）)2tan1sin(lim0xxxxx解：xxx5sin4tanlim0xxxx5sin4cos4sinlim0解：)2tan1sin(lim0xxxxx5xxxxxxxx55sinlim44sinlim4cos1lim54000xxxxxxx2cossinlim1sinlim005421cos1limsinlim2100xxxxx（3）xxx2sin11lim0（4）6)3sin(lim23xxxx解：xxx2sin11lim0)3)(2()3sin(lim3xxxx)11(2sin)11)(11(lim0xxxxx21lim)3()3sin(lim33xxxxx)11(2sinlim0xxxx511111lim2sin2lim2100xxxxx514121121课本P.24练习1.3习题解答1、设函数0sin001sin)(xxxxaxbxxxf，问：（1）当a，b为何值时，)(xf在0x处有极限存在？（2）当a，b为何值时，)(xf在0x处连续？解：bbbxxbxxxxx0lim1sinlim)1sin(lim00011sinlim0xxxaf)0(（1）若)(xf在0x处有极限存在则)1sin(lim0bxxxxxxsinlim0所以1b所以当1b，且a为任意值时，)(xf在0x处有极限存在6（2）若)(xf在0x处连续则)1sin(lim0bxxxxxxsinlim0)0(f所以1ba所以当1ba时，)(xf在0x处连续2、求下列函数的连续区间和间断点：（1）112)(2xxxxf（2）22224)(2xxxxxf解：间断点1x解：∵24lim)(lim222xxxfxx连续区间：2)2)(2(lim2xxxx),1()1,()2(4)2(lim2fxx∴间断点为2x连续区间),2()2,(