赵坚顾静相微积分初步第一章讲义

12013下微积分初步第一讲时间：2013年10月9日星期三晚上6：30——8：30时开篇一元微积分微积分是应用最广泛的数学分支之一。今天没有哪所大学的理工科学生不学习微积分，许多大学社会科学方面的学生也要学习微积分。人们已经不仅仅把微积分看成是一门数学课程。这是由于微积分中蕴含了许多哲学思想，常量与变量，有限与无限，收敛与发散等，无不体现出对立统一和辩证法的思想。如果仅仅把学习微积分看成是掌握一种数学知识，那么你学习的收获就会小很多。在本书中，我们主要学习一元微积分最基本的知识，只涉及函数、极限、连续、导数、微分、不定积分和定积分最基本的内容。本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式。形成性考核为平时作业，成绩占30%，期末考试成绩占70%。考核成绩满分为100分，60分为及格。试题类型分为单项选择题、填空题、计算题和应用题。单项选择题的形式为四选一。四种题型分数的百分比为：单选20%，填空20%，计算44%，应用16%；考试形式为闭卷，时间为90分钟。微积分初步第一章函数、极限与连续一、函数概念1、常量与变量：在研究过程中保持不变的量称为常量，而变化着的量称为变量。通常用字母a，b，c，……表示常量，用字母x，2y，z，……表示变量。2、函数的定义：设x，y是两个变量，如果当x在其变化变化范围内任意取定一个数值时，y按照一定的关系总有唯一确定的数值与其对应，则称y是x的函数。记作)(xfy，其中x称为自变量，y称为因变量。定义域值域3、函数的特殊性质（1）单调性：设函数)(xfy的定义域为D，区间DI，对于任意的1x，Ix2，且满足21xx：若恒有)()(21xfxf，则称函数)(xfy在区间I是递增函数；若恒有)()(21xfxf，则称函数)(xfy在区间I是递减函数；若有)()(21xfxf，则称函数)(xfy在区间I是不减函数；若有)()(21xfxf，则称函数)(xfy在区间I是不增函数；（2）奇偶性：设函数)(xfy，其定义域D关于原点对称，若对其定义域D内的任意x，恒有)()(xfxf成立，则称)(xf为偶函数；若对其定义域D内的任意x，恒有)()(xfxf成立，则称)(xf为奇函数。（3）有界性：设函数)(xfy的定义域为D，如果存在正数M，使得对于D中的x，恒有Mxf)(，则称函数)(xfy在D上有界。（4）周期性：设函数)(xfy的定义域为D，若存在常数0T使得对于每一个Dx，有DTx，且总有)()(xfTxf成立，则称函数)(xfy为周期函数。34、基本初等函数（1）常数函数cy（2）幂函数xy（3）指数函数xay（4）对数函数xyalog（5）三角函数：①正弦函数xysin②余弦函数xycos③正切函数xytan④余切函数xycot5、复合函数和初等函数（1）复合函数：若函数)(ufy的定义域为U，而函数)(xgu的定义域为X，且)(xgu的值域包含在U中，则对X中的每一个x，通过u有唯一的y与之对应，即y是x的函数，记作)]([xgfy，这种函数称为复合函数，其中u是中间变量。（2）初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算所构成的函数是初等函数。二、极限的概念与计算1、数列的极限：①数列：一般地，按一定规律排列的一串数1x，2x，…，nx，…称为数列，简记为nx。其中的第n项nx称为该数列的通项。②数列的极限：给定数列nx，如果当n无限增大时，nx无限地趋近某个固定的常数A，则称当n趋于无穷时，数列nx以A为极限。记为Axnnlim2、函数的极限：4①自变量趋于无穷的情形②自变量趋于有限值0x的情形3、左极限和右极限：①左极限：Axfxx)(lim0②右极限：Axfxx)(lim04、无穷小量：在自变量的某个变化过程中，以0为极限的变量是无穷小量，简称无穷小，常用希腊字母，，等表示。5、极限的计算：①极限四则运算法则②第一个重要极限：1sinlim0xxx三、函数的连续性1、函数的连续性与连续函数2、函数的间断点3、连续函数的运算法则微积分初步作业1解答————函数，极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分）1．函数)2ln(1)(xxf的定义域是．解：020)2ln({xx，23{xx所以函数)2ln(1)(xxf的定义域是),3()3,2(2．函数xxf51)(的定义域是．5解：05x，5x所以函数xxf51)(的定义域是)5,(3．函数24)2ln(1)(xxxf的定义域是．解：04020)2ln(2xxx，2221xxx所以函数24)2ln(1)(xxxf的定义域是]2,1()1,2(4．函数72)1(2xxxf，则)(xf．解：72)1(2xxxf6)1(61222xxx所以)(xf62x5．函数0e02)(2xxxxfx，则)0(f．解：)0(f22026．函数xxxf2)1(2，则)(xf．解：xxxf2)1(21)1(11222xxx，)(xf12x7．函数1322xxxy的间断点是．解：因为当01x，即1x时函数无意义所以函数1322xxxy的间断点是1x8．xxx1sinlim．解：xxx1sinlim111sinlimxxx9．若2sin4sinlim0kxxx，则k．6解：因为24sin44sinlim4sin4sinlim00kkxkxxxkkxxxx所以2k10．若23sinlim0kxxx，则k．解：因为2333lim33lim00kxxsimkkxxsimxx所以23k二、单项选择题（每小题2分，共24分）1．设函数2eexxy，则该函数是（）．A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数解：因为yeeeexyxxxx22)()(所以函数2eexxy是偶函数。故应选B2．设函数xxysin2，则该函数是（）．A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数解：因为yxxxxxysin)sin()()(22所以函数xxysin2是奇函数。故应选A3．函数222)(xxxxf的图形是关于（）对称．A．xyB．x轴C．y轴D．坐标原点解：因为)(222222)()()(xfxxxfxxxx所以函数222)(xxxxf是奇函数从而函数222)(xxxxf的图形是关于坐标原点对称的7因此应选D4．下列函数中为奇函数是（）．A．xxsinB．xlnC．)1ln(2xxD．2xx解：应选C5．函数)5ln(41xxy的定义域为（）．A．5xB．4xC．5x且0xD．5x且4x解：0504xx，54xx，所以应选D6．函数)1ln(1)(xxf的定义域是（）．A．),1(B．),1()1,0(C．),2()2,0(D．),2()2,1(解：010)1ln(xx，12xx，函数)1ln(1)(xxf的定义域是),2()2,1(，故应选D7．设1)1(2xxf，则)(xf（）A．)1(xxB．2xC．)2(xxD．)1)(2(xx解：1)1(2xxf]2)1)[(1()1)(1(xxxx)2()(xxxf，故应选C8．下列各函数对中，（）中的两个函数相等．A．2)()(xxf，xxg)(B．2)(xxf，xxg)(C．2ln)(xxf，xxgln2)(D．3ln)(xxf，xxgln3)(解：两个函数相等必须满足①定义域相同②函数表达式相同所以应选D9．当0x时，下列变量中为无穷小量的是（）.8A．x1B．xxsinC．)1ln(xD．2xx解：因为0)1ln(lim0xx，所以当0x时，)1ln(x为无穷小量所以应选C10．当k（）时，函数0,0,1)(2xkxxxf，在0x处连续.A．0B．1C．2D．1解：因为1)1(lim)(lim200xxfxx，kf)0(若函数0,0,1)(2xkxxxf，在0x处连续则)(lim)0(0xffx，因此1k。故应选B11．当k（）时，函数0,0,2)(xkxexfx在0x处连续.A．0B．1C．2D．3解：3)2(lim)(lim)0(00xxxexffk，所以应选D12．函数233)(2xxxxf的间断点是（）A．2,1xxB．3xC．3,2,1xxxD．无间断点解：当2,1xx时分母为零，因此2,1xx是间断点，故应选A三、解答题（每小题7分，共56分）⒈计算极限42lim222xxxx．解：42lim222xxxx4321lim)2)(2()2)(1(lim22xxxxxxxx2．计算极限165lim221xxxx9解：165lim221xxxx2716lim)1)(1()6)(1(lim11xxxxxxxx3．329lim223xxxx解：329lim223xxxx234613lim)3)(1()3)(3(lim33xxxxxxxx4．计算极限4586lim224xxxxx解：4586lim224xxxxx3212lim)4)(1()4)(2(lim44xxxxxxxx5．计算极限6586lim222xxxxx．解：6586lim222xxxxx234lim)3)(2()4)(2(lim22xxxxxxxx6．计算极限xxx11lim0．解：xxx11lim0)11(lim)11()11)(11(lim00xxxxxxxxx21111lim0xx7．计算极限xxx4sin11lim0解：xxx4sin11lim0)11(4sin)11)(11(lim0xxxxx81)11(44sin1lim41)11(4sinlim00xxxxxxxx8．计算极限244sinlim0xxx．10解：244sinlim0xxx)24)(24()24(4sinlim0xxxxx16)24(44[lim4)24(4sinlim00xxxsimxxxxx