逻辑斯蒂方程

逻辑斯蒂方程逻辑斯蒂方程的推导当一种新产品刚面世时，厂家和商家总是采取各种措施促进销售。他们都希望对这种产品的推销速度做到心中有数，这样厂家便于组织生产，商家便于安排进货。怎样建立数学模型描述新产品推销速度呢？首先要考虑社会的需求量．社会对产品的需求状况一般依如下两个特性确定：1、对产品的需求有一个饱和水平．当产品需求量达到一定数量时，对这种产品的需求也饱和了，设饱和水平为a；2、假设在时刻t，社会对产品的需求量为x=x(t)，需求的增长速度dx/dt正比于需求量x(t)与需求接近饱和水平的程度a-x(t)之乘积，记比例系数为k；根据上述实际背景的两个特征，可建立如下微分方程：.......................(1)分离变量，得：两边积分，得：其中：从而，通解为：......(2)其中，B和b为正常数，可由初始条件确定。式(1)称为逻辑斯蒂方程(1ogisticequation)，式(2)称为逻辑斯蒂曲线。逻辑斯蒂方程的基本性质1、当t=O时，x(t)的值为：；2、x(t)的增长率,因此，x(t)是增函数；3、当B值较大而t较小时，将很大，，于是x(t)近似于依指数函数增大，销售速度不断增大；4、当t增大以后，越来越接近于零，分母越来越接近于1，销售速度开始下降，x(t)的值接近于a（饱和值）。逻辑斯蒂方程的应用1、人口限制增长问题人口的增长不是呈指数型增长的，这是由于环境的限制、有限的资源和人为的影响，最终人口的增长将减慢下来。实际上，人口增长规律满足逻辑斯蒂方程。2、信息传播问题所谓信息传播可以是一则新闻，一条谣言或市场上某种新商品有关的知识,在初期，知道这一信息的人很少，但是随时间的推移，知道的人越来越多，到一定时间，社会上大部分人都知道了这一信息．这里的数量关系可以用逻辑斯蒂方程来描述。若以t表示从信息产生算起的时间，P表示已知信息的人口比例，则逻辑斯蒂方程变为：...................(3)例如，当某种商品调价的通知下达时，有10％的市民听到这一通知，2小时以后，25%的市民知道了这一信息，由逻辑斯蒂方程可算出有75％的市民了解这一情况所需要的时间。在方程(3)中，由t=0时，P=10%可得B＝9；再由t=2时，P=25％可得，。当P=75％时，有:解得t=6，即6小时后，全市有75％的人了解这一通知。3、.商品销售预测问题例如，某种商品的销售，开始时，知道的人很少，销售量也很小。当这种商品信息传播出去后，销售量大量增加，到接近饱和时销售量增加极为缓慢。比如，这种商品饱和量估计a=500(百万件)，大约5年可达饱和，常数b经测定为b=lnl0，B=100。下面我们来预测一下第3年末的销售量是多少。由,有:(百万件)所以第三年末的市场销售量大约为454.5百万件，这样可以做到有计划地生产。逻辑斯蒂方程的应用比较广泛。如果问题的基本数量特征是：在时间t很小时，呈指数型增长，而当t增大时，增长速度就下降，且越来越接近于一个确定的值，这类问题可以用逻辑斯蒂方程加以解决。逻辑斯谛（Logistic）方程,即常微分方程:dN/dt=rN(K-N)/K式中N为种群个体总数，t为时间，r为种群增长潜力指数，K为环境最大容纳量。意义：当一个物种迁入到一个新生态系统中后，其数量会发生变化。假设该物种的起始数量小于环境的最大容纳量，则数量会增长.增长方式有以下两种：1、J型增长：若该物种在此生态系统中无天敌，且食物、空间等资源充足（理想环境），则增长函数为N(t)=n(p^t)。其中，N(t)为第t年的种群数量，t为时间，p为每年的增长率（大于1）。图象形似J形。2、S型增长：若该物种在此生态系统中有天敌，食物、空间等资源也不充足（非理想环境），则增长函数满足逻辑斯谛方程。图象形似S形。此方程是描述在资源有限的条件下种群增长规律的一个最佳数学模型。