逻辑电路基础

第二章逻辑代数基础教学要求：1.熟练掌握基本定理和公式并能导出常用公式；2.理解真值表、逻辑代数式、逻辑图和卡诺图表示逻辑函数；3.掌握公式化简法、卡诺图化简法简化逻辑函数。教学重点：1.逻辑函数及其表示。2.逻辑函数的化简。2.1概述逻辑变量逻辑代数中的变量往往用字母A、B、C……表示。每个变量只取“0”或“1”两种情况，不可能有第三种情况。它相当于信号的有或无，电平的高或低，电路的导通或截止。这使逻辑代数可以直接用于双值系统逻辑电路的研究。2.2．基本逻辑运算一．逻辑代数的基本运算类型有三种：与、或、非。1、与运算———所有条件都具备事件才发生。开关：“1”闭合，“0”断开；灯：“1”亮，“0”灭真值表：把输入所有可能的组合与输出取值对应列成表。逻辑表达式：F=K1*K2(逻辑与)2、或运算———至少有一个条件具备，事件就会发生。逻辑表达式：F=K1+K2（逻辑加）3、非运算：—结果与条件相反逻辑表达式：KF二．复合逻辑运算一、与非运算、或非运算、与或非运算二、异或运算和同或运算2.3逻辑代数的基本定律和常用公式一、逻辑常量运算公式表1.3.1逻辑常量运算公式二、逻辑变量、常量运算公式表1.3.2逻辑变量、常量运算公式变量A的取值只能为0或为1，分别代入验证。三、逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本定律是分析、设计逻辑电路，化简和变换逻辑函数式的重要工具。这些定律和普通代数相似，有其独特性。1、与普通代数相似的定律表1.3.3交换律结合律分配律2、吸收律吸收律可以利用基本公式推导出来，是逻辑函数化简中常用的基本定律表1.3.4吸收律由表1.3.4可知，利用吸收律化简逻辑函数时，某些项或因子在化简中被吸收掉，使逻辑函数式变得更简单。三、摩根定律摩根定律又称为反演律，有两种形式：BABA;BABA2.4逻辑代数的基本定理一、代入规则(带入定理)对于任一个含有变量A的逻辑等式，可以将等式两边的所有变量A用同一个逻辑函数替代，替代后等式仍然成立。这个规则称为代入规则。代入规则的正确性是由逻辑变量和逻辑函数值的二值性保证的。例如，BABAA，用F=C+D+E代替式中的变量A，则有BEDCBEDCEDC)()(显然等式是成立的。又如，A+AB=A，用F=CDE替代变量B，则有A+AB=A+A（CDE）=A二、反演规则设Y为一逻辑函数式，把Y中的则得到Y,称反演定理。Y称为Y的反式或反函数。例如：用反演规则求下列布尔式的反式：)()(DCBAYCDBAY再如：)(EDCBAYEDCBAY这里我们应把EDCB看为一个整体。注意：1）遵循“先括号、然后乘，最后加”的运算顺序。2）不属于单个变量的反号应保留。三、对偶规则设Y为一逻辑函数式，把Y中的得到的新逻辑式记为Y＇，则称Y＇为Y的对偶式。（注意不实行原反互换。）若两函数相等，其对偶式也相等。（可用于变换推导公式）。2.5逻辑函数及其表示法一、逻辑函数的建立逻辑函数：输出与输入间的函数关系。),,,(CBAFY二、逻辑函数的表示方法1．真值表逻辑函数的真值表具有唯一性。逻辑函数有n个变量时，共有n2个不同的变量取值组合。在列真值表时，变量取值的组合一般按n位二进制数递增的方式列出。用真值表表示逻辑函数的优点是直观、明了，可直接看出逻辑函数值和变量取值之间的关系。2．逻辑函数式写标准与-或逻辑式的方法：（l）把任意一组变量取值中的1代以原变量，0代以反变量，由此得到一组变量的与组合，如A、B、C三个变量的取值为110时，则代换后得到的变量与组合为ABC。（2）把逻辑函数值为1所对应的各变量的与组合相加，便得到标准的与-或逻辑式。3．逻辑图逻辑图是用基本逻辑门和复合逻辑门的逻辑符号组成的对应于某一逻辑功能的电路图。三、逻辑函数的两种标准形式1.最小项和最大项1）最小项：n个变量X1、X2、…Xn的最小项，是n个变量的逻辑乘，每一个变量既可以是原变量Xi，也可以是反变量iX。每一个变量均不可缺少。如有A、B两个变量时，最小项为：BA、BA、BA、AB，共有422个最小项。2）最大项；n个变量X1、X2、…Xn的最大项，是n个变量的逻辑和，每一个变量既可以是原变量Xi，也可以是反变量iX，每一个变量均不可缺少。如有A、B两个变量时，最大项为：BA、BA、BA、A+B，共有422个最大项。对于n个变量来说，最小项和最大项的数目各为n2个。最大项用大写字母M表示，最大项是或逻辑，最小项是与逻辑，最大项和最小项是对偶的关系。所以，最大项确定的原则与最小项确定的原则是对偶的。2.最小项和最大项的性质掌握最小项和最大项的性质，有助于逻辑式的化简和变换，下面对它们的性质加以介绍。1）．当有输入时，最小项对每一种输入被选中的特点是只有一个最小项是“1”。2）．全部最小项之和恒等于“1”。3）．两个最小项之积恒等于“0“4）．若干个最小项之和等于其余最小项和之反。32103021mmmmmmmm5）．最小项的反是最大项；最大项的反是最小项。例如00MCBACBAm00mCBACBAM6）．当有输入时，最大项对每一种输入被选取中的特点是只有一个最大项是“0”，其余最大项都是“1”。7）．最小项的性质和最大项的性质之间具有对偶性。例如，全部最小项之和恒等于“1”；那么，全部最大项之积恒等于“0”，其它性质可类推。表1.6.13个变量时对应的最小项和最大项十进制数ABC最小项最大项0000CBAm0CBAM71001CBAm1CBAM62010CBAm2CBAM53011BCAm3CBAM44100CBAm4CBAM35101CBAm5CBAM26110CABm6CBAM17111ABCm7CBAM03.与或标准型和或与标准型有了最小项的概念，就可以利用公式1NN，将任何一个逻辑式展成若干个最小项之和的形式，这一形式称为与或标准型。例如：)7,6,0i(mCBAABCCABCBA)CC(ABCBAAB)C,B,A(Yi有了与或标准型可以方便地转换为或与标准型，即若干个最大项之积的形式。可以利用若干最小项之和等于全部最小项中其余最小项之和的反这一性质来求出或与标准型。例如上例的与或标准型：)m,m,m(Y760可以转换为或与标准型)CBA)(CBA)(CBA)(CBA)(CBA()5,4,3,2,1(MMMMMMmmmmmmmmmmmmm)m,m,m(Y5432154321543217607602.6逻辑函数的化简法一、化简的意义与标准1.逻辑问题归纳出来的逻辑函数式往往不是最简逻辑函数式，对逻辑函数进行化简和变换，可以得到最简的逻辑函数式和所需要的形式，设计出最简洁的逻辑电路。2.逻辑函数式的几种常见形式和变换利用逻辑代数的基本定律，可以实现上述五种逻辑函数式之间的变换。现将1Y的与或式变换为2y的或与式。利用摩根律)CB)(BA(CBBA)CB()BA(CBABCBABY13.逻辑函数的最简与-或式二、逻辑函数的公式化简法1.并项法运用基本公式1AA,将两项合为一项，同时消去一个变量。如2.吸收法利用吸收律AABA和CAABBCCAAB,消去多余的与项。如3．消项法利用吸收律BABAA,消去多余的因子。如4.配项法通过乘（)AA=1,或加入零项0AA，配项后再化简在实际化简逻辑函数时，需要灵活运用上述几种方法，才能得到最简式.三.逻辑函数的卡诺图化简法一）、卡诺图的构成1.相邻最小项如果两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称相邻项。例如，最小项ABC和CBA就是相邻最小项。如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中，可以合并为一项，同时消去互为反变量的那个量。如AC)BB(ACCBAABC2.卡诺图用小方格来表示最小项，一个小方格代表一个最小项，然后将这些最小项按照相邻性排列起来。即用小方格几何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性。3．卡诺图的结构1）二变量卡诺图（2）三变量卡诺图（3）四变量卡诺图卡诺图具有很强的相邻性：（1）直观相邻性，只要小方格在几何位置上相邻（不管上下左右），它代表的最小项在逻辑上一定是相邻的。（2）对边相邻性，即与中心轴对称的左右两边和上下两边的小方格也具有相邻性。二）、用卡诺图表示逻辑函数方法一：1、把已知逻辑函数式化为最小项之和形式。2、将函数式中包含的最小项在卡诺图对应的方格中填1，其余方格中填0。例:Y=AC+AC+BC+BC用卡诺图表示之。解：Y=A(B+B)C+A(B+B)C+(A+A)BC+(A+A)BC=∑)6,5,4,3,2,1i(mi方法二：根据函数式直接填卡诺图三）逻辑函数的卡诺图化简法步骤：①画卡诺图②正确圈组③写最简与或表达式化简依据：逻辑相邻性的最小项可以合并，并消去因子。化简规则：能够合并在一起的最小项是2n个（画矩形圈）。如何最简：圈的数目越少越简；圈内的最小项越多越简。特别注意：卡诺图中所有的1都必须圈到，不能合并的1必须单独画圈。注意：逻辑函数的化简结果可能不唯一。四.具有无关项的逻辑函数的化简1逻辑函数中的无关项在实际的数字系统中，会出现这样一种情况：函数式中没有包含的某些最小项，写入或不写入函数式,都不影响原函数的值,不影响原函数表示的逻辑功能，这样的最小项叫“无关项”。当限制某些输入变量的取值不能出现时，可以用它们对应的最小项恒等于0来表示。例如：ABC+ABC+ABC+ABC=0或者∑（m3，m5，m6，m7，）=0带有无关项的逻辑函数的最小项表达式写做07m6m5m3mm2m1Y1约束项：或Y=∑m（1，2）+∑d（3，5，6，7）无关项在卡诺图中用“×”（或“d”）表示2无关项在化简逻辑函数中的应用利用无关项化简原则：①、无关项即可看作“1”也可看作“0”。②、卡诺图中，圈组内的“×”视为“1”，圈组外的视为“0”。例1：在十字路口有红绿黄三色交通信号灯，规定红灯亮停，绿灯亮行，黄灯亮等一等，试分析车行与三色信号灯之间逻辑关系。解：设红、绿、黄灯分别用A、B、C表示，且灯亮为1，灯灭为0。车用L表示，车行L=1，车停L=0。列出该函数的真值。显而易见，在这个函数中，有5个最小项为无关项。可写成L=∑m（2）+∑d（0,3,5,6,7）不考虑无关项时，表达式为：CBAL；考虑无关项时，表达式为:L=B本章小结基本逻辑运算关系有：与、或、非。常用的复合逻辑运算关系有：与非、或非、异或、同或等。表示逻辑电路的方法主要有：逻辑函数表达式、真值表、卡诺图和逻辑图。逻辑函数的标准形式有：最小项之和与最大项之积两种形式。逻辑函数常用的化简方法有：代数化简法和卡诺图法。