超额录取留学生的策略

作业题之二：超额录取留学生的策略众所周知，选择出国留学学生越来越多。不可避免的，他们需要向国外的大学提出申请，同时需要交纳一定金额的申请费。如果你所申请的学校给你发来“offer”，并且你顺利地通过签证，你就可以预订机票了。通常说来，国外学校录取留学生的数量A由该校提供给留学生奖学金的经费数决定。但是，出于以下的原因：（1）得到“offer”的学生出于自身的原因（比如收到多封“offer”）未去报到；（2）得到“offer”的学生未能顺利拿到签证。发出“offer”的数量B往往要多于录取留学生的数量A。但是不同的学校面临的情况并不相同，也许收到一所知名学校“offer”的人中，90%的人都会去，而去一所普通学校的人可能不到50%。由于经费有限，如果报到的学生太多，学校往往没有太多的办法。因此，发出“offer”需要一定的策略。当前的情况为：学生从一个学校调到另一个学校的情形越来越少。学生出于各自的偏好，不愿意更换学校。签证被拒的比例在上升。所有学校都必须先交申请费，再决定是否考虑发放offer。问题：（1）如果奖学金经费C确定，学校该发多少封“offer”？给出最佳方案。（2）如果你是一个学生，考虑到申请过程中的所有费用，（申请的学校越多，费用越高），同时还能去一个理想的学校，你应该向多少个学校提出申请？解答：一模型的分析本题的问题实际上时利用建立优化模型的数学方法解决实际问题：即在给定的限制因素下，一方面，在学校奖学金经费C确定的情况下，考虑引起出现无效“offer”的各种因素，使学校发出适量的“offer”满足学校的生源平衡：另一方面，在学生资金有限的情况下，为了减轻学生的负担，又可使学生上一所理想的学校。而学校录取学生的数量A由该校提供给留学生奖学金的经费数决定，这就要求提供最优申请学校的数量。二模型的假设（1）一个学校只能向一个已交纳申请费得学生发一封“offer”。（2）对每个学校来说，学生个体间具有无差别性，（即每个递交申请的学生都是平等的给提，无好坏、优秀的区别）。（3）假设签证被拒签的比例随时间推移而上升。三模型中的符号含义iB表示第i所学校最终决定发放的“offer”封数；iC表示第i所学校总奖学金经费；iD表向第i所学校提交申请的总人数；im表示第i所学校向每个被录取的留学生发放的奖学金数量；i表示学生对第i所学校的“offer”的接受率（即收到学校的“offer”后，愿意去该第i所学校的概率。）；i表示从开始申请到签证始的第i天的拒签率；ix为0—1变量，当ix取0时，表示该学生未向第i所学校交纳申请费，当ix取1时，表示该学生向第i所学校交纳申请费，1,2....in；ig表示某个学生向第i所学校提交申请时，向其交纳的申请费用，1,2....in；G表示某个学生向多个学校提交申请时交纳的总费用；Q表示某个学生在向多个学校递交申请的情况下，能最终获得录取的概率；上述大部分符号在模型建立以及模型的求解的过程中看作已知量，其实是可以通过民政部门以及办理出国留学生的单位获取的，因此通过模型求解可以求学校发出“offer”的最佳数量以及学生提交申请的最佳数量，即求的最优策略。四模型的建立（1）由题意可以知：当奖学金经费定为C的学校向每个被录取的留学生发放奖学金的数额为m时，则理论上该学校最大也是最理想的录取人数为Cm；设学生接收到学校发来的offer后，由学校的知名度决定其愿意去该学校的概率为，而且01；接到offer以后再申请签证的过程中，拒签率为（现假设为一常量）；B表示学校实际向学生发出的offer数量；D表示已向该所学校交纳申请费得学生的总人数；再者所有学校都必须先交申请费，再决定是否发放offer，则由以上可以确定B的范围：CBDm；由此可知，知道B为学校最终发放offer的数量，而在整个学生录取的过程中，导致某些收到offer后又没向学校报到的因素有以下两个：1、学生收到了多封offer故没去报到（即学校的知名度产生影响）。2、由于签证因素导致收到了offer却没能去报到。考虑到这两个因素影响所有实际的录取人数应该表示为1B。而最佳的offer发放方案就是要求：1CBm，且在数值上尽量的靠近Cm；考虑B和间的关系：当增大时，发出offer会录取的比例提高，那么B取值应该趋向于Cm；当减少时，随着offer会录取的比例的减少，B的取值应该趋向于D，以保证满足学校生源。根据此可得：CBDDm（1）式，1CBm（2）式，因此由（2）式可得到1CmB，代入（1）式得到：1CCBDDmmB1CCDmBDmB1CmBBDCDmCmBBDBDCDm222CmBmDBmBmDBCDm即：22110CmBmDBCDm解得：22114121CmDmDmCDmBm（*）又有：CBDm经过调查，将取得的数据代入上面的（*）式可以解出B的值，再由条件：CBDm的限制，可以判别B值合理性是否成立，符合则保留，否则，舍去。这样，就可以将第一问的问题解决。因为拒签率在逐天上升而不是个常量，故应该对进行更详细的分析，令可交纳申请费得天数为1a第一天交纳申请费时的拒签率为1，依次类推，第a天时拒签率为a，对i取平均值，1aiia，将代入（*）式得：22114121CmDmDmCDmBm即当奖学金经费C确定后，学校应该发放offer的数量。（2）再来解决第二个问题：ig表示学生向第i个学校提交申请时，向其交纳的申请费用1,2...in。则该学生向学校提交申请而需要交付的总费用可以表示为；1niiiGxg（0ix或1ix）被第i所学校拒绝签证的概率为：11iiiBqD所以被所有的学校都拒绝签证的概率为：1............1,2...niiqin那能够被录取的概率就应该为：11..............1,2...niiQqin若要满足题目中的要求，则需要使得总费用达到最小minG，0,1ix；而且能够被录取的概率达到最大maxQ，这样我们就得到一个多目标规划：minijGQ学生一般比较注重录取率，所以我们觉得费用和录取率这两个目标大致三七开，则该问题的数学模型为：min0.30.7GQSt.11niix(0,1)ix然后,将经过调查得来的数据代入模型中,再利用LINDO工具对模型法进行求解便可以得出最优解和最优值.用LINDO对模型直接求解,输入格式为min0.30.7GQSt.11niixEndintix