现代工程图学湖南科学技术出版社6截交线

第6章平面、直线与立体相交6.1平面与立体相交概述6.2平面与平面立体相交6.3平面与曲面立体相交6.4直线与立体相交用平面与立体相交，截去体的一部分——截切。截平面与立体表面的交线——截交线。用以截切立体的平面——截平面。6.1平面与立体相交概述截交线的性质：⒈是一封闭的平面多边形。⒉截交线的形状取决于被截立体的形状及截平面与立体的相对位置。截交线的投影的形状取决于截平面与投影面的相对位置。⒊截交线是截平面与立体表面的共有线。依据立体表面性质不同，立体的截交线可分为：平面体截交线和曲面体截交线6.2平面与平面立体相交P1234SABCD平面立体截交线的求法平面立体截交线的性质：截交线的每条边是截平面与棱面的交线。截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形。★求各棱线与截平面的交点→棱线法。★求各棱面与截平面的交线→棱面法。求平面立体截交线的作图步骤：1)空间分析及投影分析2)画出截交线的投影a、截平面与立体的相对位置——确定截交线的形状——确定截交线的投影特性b、截平面、立体表面与投影面的相对位置运用线面交点法或面面交线法，分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。3)整理立体的棱线投影1棱柱上截交线的求法【例题1】完成棱柱体被截切后的水平投影和侧面投影。5″4″3″2″1″12453676″7″1′2′3′4′5′6′7′截平面和棱柱表面均有积聚性，利用积聚投影法来求。3.整理图线：1.画出棱柱的投影；2.画出截交线的投影；截交线的正面投影——落在截平面的积聚性投影上；截交线的水平投影——落在六棱柱棱面的积聚性投影上，另一条边为截平面与棱柱顶面交线，交于一条正垂线。截交线的侧面投影——截交线的两个投影已知，求出截交点的第三投影来连得【例题2】画出侧面投影图。【例题3】平面拉伸体被侧垂面所截，求截交线【例题3】平面拉伸体被侧垂面所截，求截交线【例题4】画出水平投影图。分析：平面拉伸体被正垂面截断后，其表面增加一个正垂面，在原（截断前）投影图上补画出该正垂面的三面投影即可。据投影面垂直面的投影特性，其水平投影应为侧面投影的类似形。【例题5】画出水平投影图。1≡88【例题6】:求八棱柱被平面P截切后的俯视图。P截交线的形状？ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧ15432876截交线的投影特性？2≡3≡6≡74≡5求截交线1547632分析棱线的投影检查截交线的投影【例题6】:求八棱柱被平面P截切后的俯视图。【例题7】画出水平投影图。5.去掉多余线条，补全投影解：1.画出对称线(基准)2.画出完整拉伸体的投影3.画出侧垂面投影4.判别可见性，画出不可见的棱线例812346571’,7’5’,6’2’3’,4’1”2”3”4”5”6”7”p”1’2’3’4’5’6’1”,2”3”,4”5”,6”p’123456p例9[例题10]求立体切割后的投影1（2）3412652156345（6）3（4）ⅢⅠⅥⅣⅡⅤ例题11：求四棱柱与P、Q、R平面的截交线PvQhRh例题11求四棱柱与P、Q、R平面的截交线【例题12】画出侧面投影图。[例题13]求立体截割后的投影71188711121056943961（3）2（4）105ⅠⅪⅡⅨⅩⅣⅢ1'（2'）8'3'（4'）10'（5'）9'11'（6'）（7'）p1’p2’p3’p4’p1”p2”p4”p3”p0’p0”例14p0p2p1p3p42．棱锥上截交线的求法交线的形状？截平面与体的几个棱面相交？★投影分析例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。★空间分析★求截交线★分析棱线的投影★检查尤其注意检查截交线投影的类似性321(4)1●2●4●3●1●2●4●3●ⅠⅡⅢⅣ截交线在俯、左视图上的形状？例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。我们采用的是哪种解题方法？棱线法！【例题2】三棱锥被正垂面所截，求截交线。【例题3】画出正垂面P与三棱锥的截交线的两面投影。2.求作正面投影（积聚在Pv上）解：1.求平面P与三棱锥各相交表面的交线III、IIIII、IIIIV、IVI3.求作水平投影。【例题4】三棱锥被正垂面所截，求截交线。例1-2【例题5】三棱锥与铅垂面P相交，求截交线的投影【例题6】完成五棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。1、空间分析2、投影分析3、投影作图4、整理图线——截交线为平面五边形截平面为正垂面，截交线的正面投影落在截平面的积聚性投影上，要求的是截交线的水平投影和侧面投影。1′2′3′4′5′513421〞2〞3〞4〞5〞【例题7】画出截断平面体的左视图和截断面的实形注意：要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后再取局部。例8：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。121(2)2●1●三面共点：Ⅰ、Ⅱ两点分别同时位于三个面上。例8：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。【例题9】画出三棱锥实体与三棱柱虚体的三面投影图例题10：画全有缺口的四棱锥的水平投影和侧面投影。PvQv例题11：画全有缺口的四棱锥的水平投影和侧面投影。PvQv例题11：画全有缺口的四棱锥的水平投影和侧面投影。【例题12】求正四棱锥被截切后的水平和侧面投影。1、空间分析立体表面交线的形状？——空间10边形2、投影分析截交线的正面投影落在截平面的积聚性投影上；1′2′10′3′9′4′8′5′7′6′1210391″2″10″9″3″8″4″847″5″6″675——水平截平面截切的交线平行于四棱锥对应底边；——侧平截平面截切的交线平行于四棱锥前后棱线。3、投影作图4、整理图线【例题13】完成四棱台上部开槽后的水平投影和侧面投影空间分析水平截平面与四棱台四各棱面相交，交于四条边；两个侧平截平面均与四棱台三个面相交，分别交于三条边；截平面之间有二条交线；1′2′5′6′7′8′4′3′9′10′12562〞6〞1〞5〞4〞7〞3〞8〞10〞9〞3478109整理棱线投影【例题14】画出侧面投影图，并补全水平投影图。6.3平面与曲面立体相交曲面立体截交线的性质：曲面立体截交线的求解方法1、表面取点法利用截平面的积聚性和曲面上表面取点法来求截交线的另两个投影。2、辅助平面法利用三面共点的原理来求。截交线是截平面与回转体表面的共有线。截交线的形状取决于回转体表面的形状及截平面与回转体轴线的相对位置。空间及投影分析☆分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以确定截交线的形状。☆分析截平面及回转体与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出截交线的已知投影，予见未知投影。画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：☆将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。☆先找特殊点，再补充中间点。曲面立体截交线的求解步骤整理曲面立体轮廓线一、圆柱体表面的截交线截平面与圆柱面的交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置。垂直圆椭圆平行矩形倾斜1.平面与圆柱相交所得截交线形状一．平面与圆柱相交截切平面与轴线的相互位置关系、及截断面的形状：位置关系P⊥轴线P与轴线倾斜P∥轴线图例断面形状交线类型圆椭圆直线PVPVPV例1：求左视图★空间及投影分析★求截交线★分析圆柱体轮廓素线的投影截交线的形状截交线的投影特性解题步骤：同一立体被多个平面截切，要逐个截平面进行截交线的分析和作图。●●1．截平面平行于轴线【例题2】完成圆柱体被截切后的水平投影和侧面投影。1′3′2′4′1〞2〞3〞4〞12342'1'4'3'[例题3]实心圆柱两边切槽解题步骤1．分析截交线的水平投影为直线和部分圆，侧面投影为矩形；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3．顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性；4．整理轮廓线。1'2'133'4'241234[例题4]实心圆柱含轴线切槽解题步骤1分析截交线的水平投影为直线和部分圆，侧面投影为矩形；2求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性；4整理轮廓线。1'2'3'4'1324PV例5：例6：求左视图●●●●例6：求左视图例7：求左视图●●●●例7：求左视图例8：求俯视图●●●●例8：求俯视图例9：求俯视图例9：求俯视图PV例10：[例题1]求圆柱截交线11'1548'883254ⅥⅦⅢⅡⅣⅤⅠⅧ4'5'2'3'23解题步骤1．分析截平面为正垂面，截交线的侧面投影为圆，水平投影为椭圆；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅷ；3．求出若干个一般点Ⅱ、Ⅲ、Ⅵ、Ⅶ；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。766'7'672．截平面倾斜于轴线椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线夹角的变化而改变。什么情况下投影为圆呢？截平面与圆柱轴线成45°时。45°[例题2]求圆柱截交线解题步骤1．分析侧面投影为圆的一部分，截交线的水平投影为椭圆的一部分；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；3．求出若干个一般点Ⅳ、Ⅴ；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。3453'34'5'5'4'1'2'2112[例题3]画全截断回转体的三视图例5：求左视图例4：求左视图[例题5]画全三面投影[例题6]画全三面投影θ=90°θ＝ααθ＞＞90°0°≤θ＜α㈡圆锥体表面的截交线过锥顶两相交直线圆椭圆抛物线双曲线根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截平面与圆锥面的交线有五种形状。ααθαθαθ平面与圆锥体相交截切平面与轴线的相互位置关系、及截断面的形状：位置关系P⊥轴线P与轴线倾斜P不过锥顶P过锥顶图例断面形状交线类型PVPVPVPVPV=90°圆P×两条轮廓线椭圆P∥轮廓线=抛物线直线P×一条轮廓线双曲线二、求圆锥截交线上点的方法[例题1]求圆锥与水平面的截交线1．单个平面截切圆锥体[例题2]求圆锥截交线解题步骤1．分析截平面为正垂面，截交线为椭圆；截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3．求出一般点Ⅴ；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。3'33d′●c′●e●c●a●d●b●例3:圆锥被正平面截切，补全主视图。EDCABb′●a′●截交线的空间形状？截交线的投影特性？e′●【例题4】完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。【例题1】完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。2．多个平面截切圆锥体[例题2]画全三面投影[例题3]画全三面投影正面转向线上的点最前、最后点一般位置点作图步骤：判别可见性连线[例题4]画全三面投影[例题5]求圆台截交线解题步骤1．分析截平面为正垂面侧平面，截交线为部分椭圆和梯形的组合；其水平投影为部分椭圆和直线的组合，侧面投影为部分椭圆和梯形的组合；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；3．出一般点Ⅳ、Ⅴ；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。a2314511'a'232'3'544'5'难点：例题6：补齐圆锥的水平和侧面投影比较在圆锥上开方孔与在棱锥上开方孔，表面交线有何不同？[例题7]分析并想象出圆锥穿孔后的投影㈢圆球表面的截交线平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。求圆球截交线上点的方法[例题1]求圆球截交线解题步骤1．分析截平面为正垂面，截交线为圆；截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ；3．求出若干个一般点A、B、C、D；4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5．整理轮廓线。1212343456567878abcdbacd2'1'3'4'5'6'7'8'a'bc'd'221[例题2]求圆球截交线解题步骤1．分析截平面为两个侧平面和一个水平面，截交线为圆弧和直线的组合；截交线的水平投影和侧面投影均为圆弧和直线的组合；2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ；3．求出各段圆弧；4．判别可见性，整理轮廓线。