转化思想在立体几何中的应用

转化思想在立体几何中的应用赵得凤河北省唐山市第六十二中学064000转化思想是高中数学的重要思想，我们知道立体几何的基本思路就是通过类比与转化，将立体问题转化为平面问题，从而化繁为简，化难为易。所以在立体几何的学习中，应重视突出转化思想在解题中的应用。一．形与数的转化例1.如图，正三棱锥S-ABC中，侧面SAB与底面ABC所成的二面角等于α，动点P在侧面SAB内，PQ⊥底面ABC，垂足为Q，PQ=PS·sinα，则动点P的轨迹为（）A.线段B.圆C.一段圆弧D.一段抛物线解析：由题意过P点作PH⊥AB于H，连结QH由三垂线定理可知，QH⊥AB，所以∠PHQ就是二面角的平面角，即∠PHQ=α，因此就有PQ=PH·sinα，由已知PQ=PS·sinα，所以PS=PH,根据抛物线定义选择“D”注：本题通过二面角的定义实现了形与数的转化。二．动与静的转化例2.（2006北京）平面α的斜线AB交于点B,过定点A的动直线l与AB垂直，且交与点C，则动点C的轨迹是（）A.一条直线B.一个圆C.一个椭圆D双曲线的一支解析：过A点作两条与AB垂直的直线1l与2l，则这两条直线就确定SAPCBQH了一个平面β，可得AB⊥β，由于过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，因此平面β是唯一的，所以平面β与平面α的交线即动点C的轨迹，故选择“A”注：本题将与AB垂直的动直线转化为AB的垂面β，使所求问题简单化。三．化抽象为直观例3.（2008四川）直线l平面α，经过α外一点A与l、α都成30°角的直线有且只有（）A.1条B.2条C.3条D.4条解析：经过α外一点A与α成30°角的直线＇l有无数条，这些直线形成了以A为顶点的一个圆锥，在这无数条直线中与l成30°角的直线有几条？如图当直线l与直线＇l相交时有2条，当直线l与直线＇l异面时，将直线l平移到m位置也有2条。故选择“B”注：本题将比较抽象的思维转化为直观的图形，有助于学生理解。四．化一般为特殊例4.（2008全国）已知三棱柱ABC-111CBA的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC内的射影为ABC的中心，则A1B与底面ABC所成的AαlmαA1l2lβ正弦值等于（）A.31B.32C.33D.32解析：如图，连结BA1,1AB，交于点Q，则1AB与底面ABC所成的角就是AQ与底面所成的角。设三棱柱ABC-111CBA的侧棱与底面边长均为1，1A在底面的射影是O，易求AO=33，在RtAOA1中，得1AO=36，又Q为BA1的中点，所以H为OB中点，QH=66（H为Q在底面的射影），在AHB中由余弦定理求得AH=621，故在RtQAH中，求得AQ=23，sin∠QAH=AQQH=2366=32，故选“B”。注：本题将点1B转化为1AB的中点Q，使得1A与Q都在直线BA1上，达到优化解题的目的。五．化零为整例5.（2003全国）一个四面体的的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A.3πB.4πC.33D.6解析：将四面体D-11BCA补成一个正方体ABCD-1111DCBA，如图，则正方体的顶点都在球面上,所以正方体的对角线就是球的直径。由四AC1A1CB1BQOH面体的的棱长都为2，得正方体边长为1，故球的直径2R=3，因此求得球的表面积为S=4π·（23）2=3π注：本题用补体的思想是问题简单化。地址：河北省唐山市第六十二中学邮编：064000联系电话：150765687263137890ABCD1A1B1C1D