转化法在数学问题中的应用

1转化法在数学问题中的应用摘要：数学问题往往不是孤立的，相互间存着各种各样的联系，它们可以相互渗透相互转化。如果能善于利用它们的联系应用转化的思想方法，解题的思路就会变得开阔，解题方法也将新颖巧妙。转化方法基本思想是在解决数学问题时将待解决的问题通过某种转化手段化归为另一问题且化归后的问题很好解决。关键词：转化法应用数学问题千变万化，解决数学问题的方法也各种各样，有的问题可以直接用所学的知识解决，有些数学问题则必须通过转化后才能解决，即转化是解决问题的关键所在。下面谈谈几种典型的转化法在数学问题中的应用。一、用等量变换将生疏问题转化为熟悉问题对于一些表面看来用我们所学过的知识不能解决的生疏问题，可通过等量变换将其转化为我们熟悉的问题。例如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为弧AN的中点，点P是直径MN上一个动点，则PA+PB的最小值为多少？2解析：学生通过观察思考不难发现此图具有对称性。由对称性可知，A点关于MN的对称点C在⊙O上且PA=PC，即PC+PB的最小值就是PA+PB的最小值。因为C，B两点在MN的两侧且点P在MN上运动，所以PC+PB的最小值就是C、B两点间的线段CB的长度。POCNBMA解答：如图，作点A关于直径MN对称点C,连接BC交直径MN于点P，连接OA、OB、OC，此时PA+PB的值最小，则PC+PB=CB，由题意可求得∠BOC=900又∵OB=1，∴BC=2即PA+PB的最小值为2.等量转化运用范围很广，是一种十分重要的解决问题的方法，经过等量转化后，许多问题便能一目了然的看出结果。二、用割补法将不规则问题转化为规则问题割补法是数学中常用的一种独特方法。通过几何图形的割补能发现未知几何图形与已知几何图形的内在联系。这种方法蕴含3了一种构造思想,同时也反映了对立统一的辨证思想。掌握这种方法对培养学生的数学素质及创新意识都有重要意义。例如图，扇形AOB的圆心角为90°，四边形OCDE是边长为1的正方形，点C、E、D分别在OA、OB、AB上，过A作AF⊥ED交ED的延长线于点F，那么图中阴影部分的面积为。分析：图中阴影BDE与空白ADC全等，面积相等，所以阴影部分的面积恰好等于矩形ACDF的面积。解：连接OD，由题意可知扇形BOD与扇形AOD全等，RT△COD≌RT△EOD∴阴影BED与空白ACD全等，即面积相等∵正方形OCDE边长为1∴OA=OD=2∴AC=2-1∴S阴影=S矩形ACDF=2-1用割补法可以将不规则图形转化图形为规则，但是关键是看怎么分割，分割不当就不能转化为规则问题，只有分割恰当才能成功地将问题转化。4三、用逆向思维将隐性问题转化为显性问题逆向思维方法是与顺向思维方法相对而言的。在分析、解答应用题时，顺向思维是按照条件出现的先后顺序进行思考的；而逆向思维是不依照题目内条件出现的先后顺序，而是从反方向（或从结果）出发，进行逆转推理的一种思维方法。对一些运用逆向思维解答的数学问题，总是数学教学难点中的难点，这些问题解决的思路比较隐蔽，用逆推的方法能将其呈现出来，即将隐性问题转化为显性问题。例如图，在RT△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D.求证：AB21+AC21=AD21.DACB分析：如果不利用逆向思维从问题结论入手很难推出这个理论，如果利用逆向思维从结论入手，可以避免不必要的运算，对结论变形由AB21+AC21=AD21得ACABABAC2222*=AD21因为在RT△ABC中∠A=90°，根据勾股定理有AB2+AC2=BC2所以有ACABBC222*=AD215即BC2*AD2=AB2*AC2因为线段AB、AC、AC、BC、AD均为正数所以BC*AD=AB*AC我们很容易发现21BC*AD=21AB*AC=SRT△ABC.证明：由题意知SRT△ABC=21AB*AC=21BC*AD∴AB*AC=BC*AD∴AB2*AC2=BC2*AD2∴ACABBC222*=AD21又∵在RT△ABC中∠A=90°∴AB2+AC2=BC2∴ACABABAC2222*=AD21∴AB21+AC21=AD21.逆向思维同等量变换一样，应用范围很广，是一种十分重要的解决问题的方法，在生产生活中都经常要用到。四、用叠加法将分散问题转化成集中问题这里面的加法就是普通的加法，所谓叠加，就是很多个式子或量加在一起。例如图，在RT△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AN为过点A的任意一条直线BD⊥AN于点D，CE⊥AN于点E，你能说说DE=BD-CE的理由吗？6分析：不难证出RT△ABD≌RT△CAE从而得出AD=CE，BD=AE由图知DE=AE-AD=BD-CE.证明：∵在RT△ABC中∠BAC=90°∴∠BAD+∠CAE=90°又∵BD⊥AN于点D∴∠BDA=90°∴∠ABD+∠BAD=90°∴∠CAE=∠ABD又∵CE⊥AN于点E∴∠AEC=90°∴∠AEC=∠BDA=90°又∵AB=AC∴RT△ABD≌RT△CAE∴AD=AC,BD=AE又∵由图知DE=AE-ADABCEDN7∴DE=BD-CE.叠加法将看似零散无法化解的问题集中化，使问题结论一目了然。譬如此例。五、用现代信息技术将抽象问题转化成直观问题利用信息技术可以呈现以往教学中难以呈现的课程内容变抽象的问题为具体形象的问题。例如图,在平面直角坐标系XOY中以O为原点，在第一象限内有横、纵坐标为整数的A、B两点，且OA=OB=10。yx–1–2–3–41234560–1–2–3–4123450BAO＜1＞写出A、B两点坐标＜2＞画出线段AB绕点O旋转一周所形成的图形，并求出面积（结果保留）点拨：此题若不细想很容易出错误，以为所得图形为圆形的曲线而无法求其面积。若把此题的动态过程用信息技术呈现出来，学生能直观的感受到线段AB绕点O绕转一周所形成的图形是圆环。8yx–1–2–3–41234560–1–2–3–4123450CBAO解析：作OC⊥AB则C（2，2）由题意得大圆半径OA=10小圆半径OC=22∴S圆环=102-222=2课本上的图形是“死图”，无法表现线段运动时所扫过的痕迹，而黑板上的图形鉴于技术原因很难画的准确，更难展现线段的连续变化，而利用多媒体就可以生动的把图形的运动变化展现出来。9参考文献：1.彭林：像数学家那样思维-----漫谈转化法；《中小学数学（初中版）》2003年第24期.2.韦家梅：初中数学解题中六种常用的转化法；《云南教育（中学教师）》2011年第21期.3.姬鸿广：数学教学中要重视数学思想方法的挖掘和应用[A];教研撷华——青海师大附中建校45周年论文集[C];1999年.