轻质刚性绳的特点及其应用

轻质刚性绳的特点及其应用轻质刚性绳即无质量又不可伸长的绳子，是一种理想化模型，习惯上把这种绳子叫理想绳。充分把握和理解这两个特点（即轻质，又不可伸长），是解决一些绳的问题的关键。下面举几个例子加以分析，说明这两个特点在具体问题中的应用。一、无质量的绳子，各点张力相同例1：（2007年湖北省部分重点中学高三联考试题）两个质量均为m的小球，用一根长为2L的轻绳连接起来，置于光滑的水平桌面上，绳恰好伸直。用一个垂直于连线方向的水平恒力F作用在连线中点O上，由静止开始运动。（如图1.1所示）。问：在两小球第一次碰撞前的一瞬间，小球在垂直于F方向上的分速度是多少？解析：设碰撞前两小球的速度分别为v，且设小球沿力F的方向的位移为x由功能关系：221)(mvxLF把沿力F方向及垂直F方向分解:222yxvvv在某处以结点O为对象，设绳张力为T，受力如图1.2所示由于O点无质量，则有FTTFxx212即所以两球在沿力的方向上受到的力均为FTx21因此，在力的方向上两球均做匀变速直线运动，有mTaxaxvx22由以上各式得mFLvy点评：正是因为是轻质绳，才会使绳中各处力一样，且与绳的运动状态无关。二、不可伸长的绳子，相连各物体在沿绳方向的分速度必然相同例2：三个质量均为m的弹性小球用两根长均为L的轻绳连成一条直线而静止在光滑水平面上（图2.1）。现给中间的小球B一个水平初速度v0，方向与绳垂直。小球相碰撞时无机械能损失，轻绳不可伸长。求：（1）当小球A、C第一次相碰时，小球B的速度（2）当三个小球再次处在同一直线上时，小球B的速度（3）运动过程中小球A的最大动能EKA和此时两根绳的夹角θ。（2005高考江苏卷）Fmm图1.1xLFTTOF图1.2BCAV0图2.1解析：（1）设小球A、C第一次相碰时，小球B的速度为VB，考虑到对称性及绳的不可伸长特性，小球A、C沿小球B的初速度方向速度也为VB，由动量守恒定律得Bmvmv30，由此解得031vvB（2）当三个小球再次处在同一直线上时，（由于同样原因，沿绳子方向的速度为0）由动量守恒定律和机械能守恒定律得：ABmvmvmv20和22202122121ABmvmvmv解得：0032,31vvvvAB（三球再次处在同一直线上）或0,0ABvvv（初始状态，舍去）所以，三个小球再次处在同一直线上时，小球B的速度为031vvB（负号表示与初速度方向相反）（3）当小球A的动能最大时，小球B的速度为零，设此时小球A、C的速度大小为u，两根绳间的夹角为θ（如图2.2所示），仍由动量守恒定律和机械能守恒定律得：2sin20mumv和22021221mumv另外，221muEkA由此可解得，小球A的最大动能为2041mvEKA此时，两根绳间夹角为90（说明：此时B的速度为0，由绳的不可伸长性知，在绳的方向上分量应为0，即ABu）点评：此题充分利用了理想绳的不可伸长的特点（即任一时刻，沿绳的方向各小球的速度必须相同），否则这道题无法进行求解。三、不可伸长性决定了绳子突然绷紧时，必然有机械能损失例3:在光滑的水平面内有两个滑块A和B，其质量mA=6kg，mB=3kg，它们之间用一根轻绳相连.开始时绳子完全松弛,两滑块靠在一起，现用3N的水平恒力拉A,使A先起动，当绳被瞬间绷直后，拖动B一起运动。在A滑块前进了0.75m，两滑块共同的速度smv/32，求连接两滑块的绳长。解析：整个物理过程可分为三个阶段：①A加速运动②A、B碰撞③A、B一起加速运动设绳长为L，对A，绳子绷直前2121vmFLA对于A、B绳绷直的瞬间，（因绳不可伸长，A、B有共同速度v2）θCBAuu图2.2AB图321)(vmmvmBAA对A、B，绳绷直后2221)()(2175.0vmmvmmLFBABA所以L=0.25m点评：由于理想绳的不可伸长性，绷直瞬间两者必有共同速度，切有机械能损失。练习：长为L的刚性细绳一端固定在O点，O点离地高度大于L，绳另一端系一质量为m的小球A，使绳伸直与水平方向夹角为300，如图4.1所示，现将小球A由静止释放，求小球A运动到最低点时绳中的拉力有多大？解析：第一阶段，小球做自由落体，设小球落到水平线以下B点（图4.2），线再次刚要伸直，此时绳与水平线夹角为300，小球速度大小为VB对小球，地球组成的系统，从A到B的过程，机械能守恒，既202130sin2BmVmgL第二阶段，小球在瞬时绷直的过程中，由于绳的不可伸长性及悬点不能动，所以沿绳的方向的分量瞬间变为0（即有机械能损失），只有垂直绳的分量030cosBV。第三阶段，从刚绷直后到最低点的过程中，系统机械能守恒，设到最低点速度为VC，则202021)30sin1()30cos(21CBmVmgLVm由圆周运动知识知：LmVmgTC2由以上各式解得：mgT5.3点评：此题中也用到刚性绳的不可伸长的特点，但由于绳是突然绷直的所以一定存在机械能损失。要注意此类问题的特点，从而划分运动过程。水平线OAL30o图4.1水平线OAL30oB图4.2