辅助角公式在高考三角题中的应用

辅助角公式在解题中的妙用在近来的学习中，多次出现了通过对asinx+bcosx型式子的化简来求三角函数的有关性质的题目!此类题目的传统做法是提取一个适当的公因式，把式子变为两角和与差的正弦、余弦公式的形式再求解，但往往在紧张的解题过程中一下难以寻找出适当的公因式进行变形，而且此类做法耗费的时间也较多，如果我们能在平时的练习中总结出asinx+bcosx公式，则可省略对中间步骤的运算，直接得出结果，这对快速准确地解题是大有好处的！公式的推导对于形如y=asinx+bcosx的三角式，可变形如下：y=asinx=bcosxabxaabxbab222222(sincos)··。由于上式中的aab22与bab22的平方和为1，故可记aab22=cosθ，bab22=sinθ，则。)xsin(ba)sinxcoscosx(sinbay2222由此我们得到结论：asinx+bcosx=abx22sin()，其中θ由aabbab2222cos,sin来确定。通常称式子asinx+bcosx=abx22sin()为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(x)+k的形式。一.求周期例1求函数yxxx24432cos()cos()sin的最小正周期。解：)6x2sin(2x2cosx2sin3x2sin3)2x2sin(x2sin3)4xsin()4xcos(2y所以函数y的最小正周期T=π。评注：将三角式化为y=Asin(x)+k的形式，是求周期的主要途径。二.求最值例2.已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。若x[,]02，求f(x)的最大值和最小值。解：f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=224sin()x。由0242434≤≤≤≤xx。当244x，即x=0时，sin()24x最小值22；当24238xx，即时sin()24x取最大值1。从而f(x)在[,]02上的最大值是1，最小值是2。三.求值域例4.求函数fxkxkxx()cos()cos()sin()613261322332(,)xRkZ的值域。解：。)2x2sin(4]6sin)x23cos(6cos)x23[sin(4)x23sin(32)x23cos(2)x23sin(32)x23k2cos()x23k2cos()x(f所以函数f(x)的值域是[-4，4]。四.图象对称问题例6.如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=8对称，那么a=()（A）2（B）2（C）1（D）-1解：可化为yax122sin()。知x8时，y取得最值±12a，即sin()cos()()()2828122111211210122222aaaaaaaaaD±±选（）。五.图象变换例7已知函数。Rx,1xcosxsin23cos21y2该函数的图象可由yxxRsin()的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：yxx14123421(cos)sin12262654122654(sincoscossin)sin()xxx。（1）向左平移6，得到y=sin(x+6)的图象；（2）将（1）中所得图象上各点横坐标变为原来的21倍，纵坐标不变，得y=)6x2sin(的图象；（3）将（2）中所得图象上各点纵坐标变为原来的21倍，横坐标不变，得y=21sin(2x+6)的图象；（4）将（3）中所得图象向上平移45个单位长度，得到y=21sin(2x+6)+45的图象。综上，依次经过四步变换，可得y=1xcosxsin23xcos212的图象。六.求值例8.已知函数f(x)=xsin32+sinxcosx。设α∈（0，π），f(2)=2341，求sinα的值。解：f(x)=x2sin21)x2cos1(23=sin23)3x2(。由f(2)=sin(3)412323，得sin(3)=41。又α∈（0，π）)34,3(3。而sin41＞233，故α+),2(3，则cos(α+3)=415。sinα=sin[3)3(]=sin3sin)3cos(3cos)3(=23)415(2141=8531。评注：化为一种角的一次式形式，可使三角式明晰规范。在求sinα时，巧用凑角法：α=（α+3）-3，并且判断出α+3的范围，进而求出cos(α+3)的确切值，使整个求值过程方向明确，计算简捷。七.求系数例9.若函数f(x)=)2xcos(2xsina)x2sin(4x2cos1的最大值为2，试确定常数a的值。解：f(x)=cos2xsinaxcos4xcos222x=xsin2axcos21=)xsin(4a412，其中角由sin=22a1acos,a11来确定。由已知有44a412，解得a=15。八.解三角不等式例10.已知函数f(x)=sin2x+sin2x，x]2,0[，求使f(x)为正值的x的集合。解：f(x)=1-cos2x+sin2x=1+)4x2sin(2。由f(x)＞0，有sin(2x-,22)＞4则得2kπ-45k2＜4x2＜4，故kπ＜x＜kπ+)Zk(43。再由x[0,2π]，可取k=0，1，得所求集合是47＜x＜，43＜＜x0x或。通过对以上几例的观察!公式所起到的作用是化多个三角函数为一个三角函数!化异名三角函数为同名三角函数这实际上也是我们三角化简中一种重要的思想进一步我们可以得知!在三角函数式中出现asinx+bcosx型式子时!可以利用公式迅速化简!使解题有事半功倍的效果！