输油管线的最佳布置方案论文

1输油管线的最佳布置方案论文编者按:本文对输油管线的铺设问题,建立了非线性规划模型,并用多元函数求极值的方法,讨论了最优解给出了管线铺设的最优方案.本文特点之一是在求解析解的过程中,巧妙地借助三角函数相关理论将非线性方程组求解转化为三角函数方程组从而求得最优解的解析表达式;特点之二是通过解析解和数值计算等多种方法进行求解,并对相应结果进行了分析和比较.摘要：本文主要探讨了输油管线的铺设问题，以总费用最低为目标，得到了不同情况下管线铺设的最佳方案针对问题一，建立了一般的管线总费用数学模型。并以定理的形式给出了选择“Y”字型，“V”字型和“厂”字型管线铺设方案的定量依据。在模型求解中，通过多元函数求极值的方法，借助三角函数知识巧妙地将非线性方程组转化为三角函数方程组，得到了问题的解析解，同时还定性给出了简单、直观、实用的管线铺设方案的快速判别法。针对问题二，首先建立了管线铺设总费用的数学模型，先后分别利用多元函数求极值法、Lingno软件和Matlab软件三种方法进行了求解，得到了最优交汇点的坐标、管线铺设最小费用的解析解以及相应的最佳铺设路径,并对所有结果进行了比较和分析。针对问题三，建立了总费用的改进模型，并采用类似的方法得到了问题的解。关键词：管线铺设;最优交汇点；非线性规划模型。1问题重述（略）2问题分析该问题实际上是一个非线性优化模型，求解的关键就是要在铁路线上寻找一个车站，同时要确定两炼油厂之间输油管线交汇点的位置，使得管线的总费用最低。在问题一中，由于共用管线的费用相同是不同时的一种特例情形，所以我们考虑更加一般的情况，即管线共用费用不同时的最优管线铺设方案和管线最小费用。当铁路为直线时，管线的铺设通常有三种方案：第一种是按“Y”字型方案，第一种是按“V”字型方案，第一种是按“厂”字型方案。每一种铺设方案都存在一个最优铺设方案和最小费用，通过建立管线的总费模型进行求解。在问题二中，求解管线铺设的最优方案及相应的最小费用，关键在于如何确定管线的交汇点M和管线由郊区进入城区时的接入点N的位置。再由N点沿直线到达B厂。这就需要我们再次建立管线总费用模型。借助多元函数求极值的方法理论，进行定量计算。问题二中给出了两个不同资质的三个工程咨询公司的评估结果，这就需要我们对评估结果的可信度进行综合分析，计算出铺设在城区的管线每千米的附加费用，从而问题二得到了解决。3模型假设1）在问题所研究的范围内，铁路线呈直线状；2）城区管线的铺设费用只包括两部分:其一为铺设管线的费用,其二为拆迁等附加费用,除此之外不再产生其他任何费用,同时材料价格保持不变;23）输油管线接口处的材料浪费忽略不计;4）甲级资质公司的评估报告比乙级资质公司的评估报告可信度高。4符号说明1k:非共用管线段MA和MB铺设费用2k共用管线段ME铺设费用M:管线的交汇点N:郊区与城区的接入点1h：郊区管线的铺设费用2h城区管线的铺设费用3h共用管线ME段的铺设费用4h城区管线NB的铺设费用5模型的建立与求解5.1问题一的解决方案5.1.1模型建立由于共用管线费用相同是共用管线费用不相同时的一种特殊情形，所以在问题一的讨论中，我们只需考虑更加一般的情况，及管线共用费用不同时的管线铺设方案和最小费用问题。当铁路为直线的情形时，我们针对最一般的“Y”字型大学铺设方式建立数学模型，其他的几种类型都可以看成是“Y”字型管线铺设方案的特殊情况。如图1所示建立直角坐标系。其中x轴表示铁路线，过炼油厂A作垂线交铁路于坐标原点O,直线OA为y轴.设AS厂到铁路的距离为n千米,则A点坐标为A(0,n),B厂到铁路线的距离为b千米(不妨设nb,否则只需要对A厂和B厂的记号即可),A,B两厂之间的直线的距离为p千米,则B厂坐标可表示为bnbp22，,为方便起见,记常数22nbpl,则B(l,b)。3假设“Y”字型管线交汇点M的坐标为（x，y），此时M点的坐标必然满足关系式ny0lx0，，即使就是说此时M点必然在矩形区域OACD中取得，显然，总费用最小时，共用管线ME必然与铁路线垂直，垂足为E，则E点即为将要增建的车站位置，用表示非共用管线段MA和MB每千米的铺设费用,2k表示共用管线段ME每千米的铺设费用。问题一中共用管线费用不相同时的总费用模型为。，，ykbylxknyxk)yx(22212211S问题一变成了关于x，y的二元函数的极值问题。5.1.2模型求解为了寻找到目标函数S（x，y）的驻点，令，，0kbylxbyknyxn-ykvS0bylxlxknyxxkxS222122112212211此方程组为二元非线性方程组，直接求解非常困难，为了便于求解，记MBDMAO,,由图1可知2,0，，从而可将原方程组转换为等价的三角函数方程组，，0kcoskcosk-0sinksink21111212122k2k2kcos又由于sinsin且，，2,0所以，12122k2k2k2cos化简可得12k2kcoscos，再通过线段MA和MB的斜率建立方程组，求解可得唯一驻点为4，2lk2kk4bnx22221，22212kk42lk2bny该点即为总费用最小时的两条管线MA和MB的最优交汇点M.。现在讨论“Y”字型铺设方案中b，n，p之间必须满足的条件。由上可知，在“Y”字型管线铺设方案中必有，ny0则可得以下结果：1）由，可得y0，2221222kk42nbpk2bn化简的，22222212kbnkbnk4p2）由，ny可得.pknbk4222221综合1)、2）即有：当b，n，q满足不等式2222221222221kbnkbnk4pknbk4时，应当采用“Y”字型方案来铺设管线，此时总费用最小值为，，，ykbylxknyxkyx)yx(22212211min1SS定理1当b，n，q满足关系式2222221222221kbnkbnk4pknbk4时，管线铺设应当采用的“Y”字型方案进行，最优交汇点M的横坐标为，2lk2kk4bnx22221纵坐标为，22212kk42lk2bny此时总费用最小值为.ykbylxknyxk2221221下面针对管线铺设的“V”字型方案进行讨论：5由以上推导可知，当22222221pkbnkbnk4时，最优交汇点M的纵坐标，0y此时目标函数yx1，S的驻点将会落在区域ny0lx0，的外部。由二元函数的极值理论可知，此时极值必在区域边界x轴上取得，从而目标函数yx1，S中所有的y=0，此时目标函数家简化为，2212211blxknxkxS根据一元函数微分学知识，令0x'1S可解得唯一驻点值为，nbnbpnx22即车站应建在x轴上0x，E点，此时的总费用最小值为.bn4pkblnbnlknnbnlkxx212212211min1SS定理2当b，n，q满足关系式22222221pkbnkbnk4时，管线铺设方案应当按照“V”字型进行，最优交汇点M位于x轴，横坐标为，nbnbpnx22此时总费用最小值为,bn4pk21如图2所示。最后再来讨论管线铺设的“厂”字型方案。定理3当b，n，q满足关系式222212knbk4p时，管线铺设应按照“厂”字型方案进行，此时总费用的最小值为nkpk21，“厂”字的拐点即为A厂，如图3所示。65.1.3问题一的进一步讨论—管线铺设方案的快速定性判别法在定理1的证明当中我们已经得到了，cos2kkk4kcos122122由于，，2,0所以，122kkarccos也就是说只需要管线MA和MB具有相同的铺设费用1k，共用管线ME的铺设费用为2k，那么角度和始终相等，利用这一重要性质，我们可以快速的定性判别出管线铺设时应当采用哪一方案，具体做法如下：分别由A,B两厂出发做铁路的垂线AO和BD，再从A,B两点出发，在垂线AO和BD之间做和两条垂线下部夹角为12k2karccos的两条直线，则有：1）如果两条直线的交点位于铁路线上方和两条垂线的内侧，则管线铺设方案应当采用“Y”型进行，而且交点就是两条管线的交汇点；2）如果两条直线的交点位于铁路线下方，则管线铺设方案应当采用“V”字型方案进行，“V”字的顶点位于两条直线之间的铁路线上，具体位置需要求解得到；3）如果两条直线的交点位于两条垂线的外侧，则管线铺设方案应当采用“厂”字型方案进行，“厂”字的拐点满足：当A厂到铁路线的距离小于B厂到铁路线的距离，则拐点就是厂A，否则就是B厂。具体分析的图形如图4所示。7在以上的讨论中当天共用管线费用和非共用管线费用相同时，只需令上述模型中的21kk，可得相应的结果，此处不再详细展开。5.2问题二的解决方案5.2.1模型建立问题二中，关键在于确定管线AM与CM的汇合点M和管线由郊区进入城区的接入点N的位置，再由N点沿直线到达B厂，建立如图5所示的直角坐标系。8设管线交汇点M的坐标为11yx，，管线由郊区进入城区的接入点N的坐标为2yc，，郊区管线的铺设费用为1h万元/千米，城区管线的铺设费用为2h万元/千米，其中费用2h包括两部分：其一为铺设管线费用1h，其二为拆迁等的附加费用'1h，E点表示选定的车站位置，则问题二的总费用模型为112222221211212112112yhbylchyycxhayxhyyxS所以在城区每千米铺设管线的总费用为.202421hhh3213211'112问题二中最小费用的计算：由题可知a=5，b=8，c=15，20l，1h=7.2，不妨设附权值为,3,4321h万元，故8.286.212.7'1'12hhh万元，代入求解近似可得37.7,86.1,445.5,x211yy，，从而可得管线的最佳铺设方案和此时的最小费用为21.283,min2112yyxS，。方法二：用Matlab软件求解，可得管线铺设的最小费用为283.20万元。方法三：用Lingo软件求解，可得管线铺设的最小费用为283.20万元。分析与比较：利用微积分方法的到管线铺设的最小费用为283.21万元，利用Matlab求解出管线铺设的最小费用为283.20万元，利用Lingo求解出管线铺设的最小费用为283.20万元，通过这三种方法的分析和比较，我们不难看出，在误差允许的范围内，计算的结果几乎是吻合的，这也说明模型的选择是正确的，模型具有一定的推广性。5.3问题三的解决方案5.3.1模型建立问题三比问题二更具有一般性，问题二仅仅是问题三的一种特殊情况，在该问题中，设M点的坐标为11,yx，N点的坐标为2,yc，AM段管线的铺设费用为1h万元/千米，MN段的管线铺设费用为2h万元/千米，共用管线ME段的铺设费用为3h万元/千米，城区管线NB段的铺设费用为4h万元/千米，其中费用4h包含两部分：其一为NB段的管线铺设费用2h，其二为城区拆迁等的附加费用'2h，E点表示选定的车站位置，从而建立问题三的总费用模型为132224221212212112113yhbylchyycxhayxhyyxS这是关于211,,yyx的三元函数。95.3.2模型求解方法一：多元函数求极值法，令