辽宁省沈阳市东北育才学校2015届高三第五次模拟考试数学理

东北育才学校2015届高三第五次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{|2}Axx，若eemln（e为自然对数底），则A.AB.AmC.AmD.mxxA2.设,abR，则“20aba”是“ab”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非不充分不必要条件3.若1zi，则1zzzA.221B.21C.23D.2214.已知22loglogab，则下列不等式一定成立的是A．11abB．2log0abC．21abD．1132ab5.阅读如右图所示的程序框图，则该算法的功能是A．计算数列12n前5项的和B．计算数列21n前5项的和C．计算数列12n前6项的和D．计算数列21n前6项的和6.设,xy满足24,1,22,xyxyxy则zxyA.有最小值2，最大值3B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值D.既无最小值，也无最大值.7.如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积为A．2B．6C．2(23)D．2(23)28.已知双曲线22:13xCy的左，右焦点分别为1F，2F，过点2F的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则△1PFQ的周长为A．43B．1433C．53D．16339.将函数sin26yx的图象向左平移6个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是A．22cosyxB．22sinyxC．1sin23yxD．cos2yx10.已知数列na为等比数列，且222013201504aaxdx，则20142012201420162aaaa的值为A．B．2C．2D．2411.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为A．B．2C．3D．412.已知ba，R，且1xe≥bax对x∈R恒成立，则ab的最大值是A．321eB．322eC．323eD．3e第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13.若nxx)3(的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n.14.有一名同学在书写英文单词“error”时，只是记不清字母的顺序，那么他写错这个单词的概率是.15.已知BA,是椭圆22221(0)xyabab长轴的两个端点，NM,是椭圆上关于x轴对称的两点，直线BNAM,的斜率分别为21,kk，且021kk。若21kk的最小值为1，则椭圆的离心率为.16.若关于x的函数2222sintxxtxfxxt（0t）的最大值为，最小值为，且4，则实数t的值为.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分）已知ABC是斜三角形，内角ABC、、所对的边的长分别为abc、、．若CaAccos3sin．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=21，且sinsin()5sin2,CBAA求ABC的面积.18.（本小题满分12分）在直三棱柱ABCABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，D是棱AC的中点，且22AA.（Ⅰ）试在棱CC上确定一点M，使AM平面ABD；（Ⅱ）当点M在棱CC中点时，求直线AB与平面ABCBACDMABM所成角的大小.19．（本小题满分12分）有一种舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面(编号为①②③④⑤⑥)上安装5只颜色各异的灯，假若每只灯正常发光的概率为0.5，若一个侧面上至少有3只灯发光，则不需要更换这个面，否则需要更换这个面，假定更换一个面需要100元，用表示更换的面数，用表示更换费用.（Ⅰ）求①号面需要更换的概率；（Ⅱ）求6个面中恰好有2个面需要更换的概率；（Ⅲ）写出的分布列，求的数学期望.20.(本小题满分12分）已知函数()ln()ln()(0)fxaxaxa（Ⅰ）曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程为2yx，求a的值；（Ⅱ）当0x时，不等式32()23xfxx恒成立，试求a的取值范围.21．（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有||||FAFD.当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线1//ll，且1l和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知ABAC．（Ⅰ）求证：//FGAC；（Ⅱ）若1CG，4CD．求DEGF的值．23．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2sin()42．圆O的参数方程为2cos22sin2xryr，（为参数，0r）.（Ⅰ）求圆心的一个极坐标；（Ⅱ）当r为何值时，圆O上的点到直线l的最大距离为3．24.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数||)(axxf，0a（Ⅰ）证明2)1()(xfxf（Ⅱ）若不等式21)2()(xfxf的解集非空，求a的取值范围.2014—2015学年度高三年级第五次模拟考试数学科(理)答案一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.C2.A3.B4.D5.C6.B7.C8.D9.A10.C11.C12.A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13.614.201915.2316.2三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解：（I）根据正弦定理acsinAsinC，可得 csinAasinC，sinA3cos,sin3coscaCaCaC，可得sin3cosCC，得3sinCtanCcosC,03CC（，），…………6分（II）sinsin(BA)5sin2A,C3Csinsin()CABsin(AB)sin(BA)5sin2A，2sincosA25sincosBAAABC、、为斜三角形，cos0A，sinB5sinA，由正弦定理可知5ba……（1）由余弦定理2222coscababC2212122abab…..（2）由（1）（2）解得5,1ab11353sin152224ABCSabC.…………12分18.解：（Ⅰ)取AC边中点为O∵底面ABC是边长为2的正三角形，∴ACOB连接DO，∵D是边CA的中点∴ACDO，OBDO所以可以建立以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，DO为z轴如图所示的坐标系……………………2分则有)0,0,0(O，)0,1,0(A，)0,0,3(B，)0,1,0(C，)22,0,3(B，)22,1,0(A，)22,0,0(D，)22,1,0(C设),1,0(tM，则(0,2,22)AMt，(0,1,22)AD，(3,1,22)AB…4分若DBAMA平面，则有DAMA，BAMA∴02(22)22002(22)220AMADtAMABt可得223t即当223CM时，DBAMA平面.…………6分（Ⅱ)当点M在棱CC中点时：)2,1,0(M∴)2,1,3(BM，)2,2,0(MA，设平面BMA的一个法向量),,(zyxn∴3200220BMnxyzAMnyz令2z，得1y，3x∴)2,1,3(n…………………9分设直线BA与平面BMA所成角为，则sin|cos,|nAB322所以直线BA与平面BMA所成角322arcsin……………12分19.解(1)因为①号面不需要更换的概率为：2125554535CCC所以①号面需要更换的概率为：P=1-21=21…………3分(2)根据独立重复试验，6个面中恰好有2个面需要更换的概率为：P6(2)=64152)21()21(6264226CC…………6分(3)因为)21B(6，，又P6(0)=6412C606，P6(1)=3222C616，P6(2)=64152C626，P6(3)=1652C636，P6(4)=64152C646，P6(5)=3232C656，P6(6)=6412C666…………9分的分布列为：0123456P64132364151656415323641=100，E=100E=300…………12分20.（Ⅰ）已知()ln()ln()(0)fxaxaxa=+--则'22112()afxaxaxax=+=+--，'222(0)afaa==，由题意知'(0)2f=，∴22a=∴1a=……………4分（II）令32()()2(0)3xgxfxxx=--?则3222222()()2()22223xagxfxxfxxxax¢骣÷çⅱ÷=--=--=--ç÷ç÷ç-桫4222222=((1))xaxaaax--+--i)当01a?时，210a-?，20aa-?当0xa?时，4222(1)0xaxaa--+-?，即0gx∴函数()gx在[)0,a上为增函数∴()(0)0gxg?，即当01a?时，32()23xfxx?ii)当1a时，210a-，20aa-∴201xaa-时，22(1)0xa--，222(1)0xxa轾--犏臌从而4222(1)0xaxaa--+-，即0gx从而函数()gx在()20,1a-上为减函数∴201xa-当时()(0)0gxg=，这与题意不符综上所述当0x³时，32()23xfxx?，a的取值范围为01a?……………12分21.解：（I）由题意知(,0)2PF，设(,0)(0)Dtt，则FD的中点为2(,0)4pt，因为||||FAFD，由抛物线的定义知：3||22ppt，解得3tp或3t（舍去）.由234pt，解得2p.所以抛物线C的方程为24yx.（II）（ⅰ）由（I）知(1,0)F，设0000(,)(0),(,0)(0)DDAxyxyDxx，因为||||FAFD，则0|1|1Dxx，由0Dx得02Dxx，故0(2,0)Dx，故直线AB的斜率为02AByk，因为直线1l和直线AB平行，设直线1l的方程为02yyxb，代入抛物线方程得200880byyyy，由题意20064320byy，得02by.设(,)EEExy，则04Eyy，204Exy.当204y时，0000220002044444EABEyyyyykyxxyy，可得直线AE的方程为000204()4yyyxxy，由2004yx，整理可得0204(1)4yyxy，直线AE恒过点(1,0)