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文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站浅谈数学悖论与数学史上三次著名的数学危机关键词：数学危机；毕达哥拉斯悖论；贝克莱悖论；集合论悖论Abstract:Inthehistoryofmathematic,themostfamousthreeparadoxPythagorasparadox,Berkeleyparadox,“Settheoryparadox”.paradoxplaysanenormousroleinmathematicsanddevelopment.Inthehistoryofmathematicsalsohasappearedonthreebigmathematicalcrises.buteverycrisisoccursandparadoxinseparable.Thisarticleistotheparadoxofthemathematicalhistorywiththreecrisisisanalyzed.Thefirstmathematicalcrisisledtothebirthoftheaxiomgeometryandlogic.Thesecondmathematicalcrisisledtothetheoryofanalysisoftheestablishmentoftheperfectandsettheory.Thethirdmathematicalcrisisledtothedevelopmentofmathematicallogicwithabatchofmodernmathematicsproduction.theparadoxforthedevelopmentofmathematicsisnotakindofdisasterwithdespair,butleadpeopletoexploretheunknownguide.Paradoxnotonlyattractive,butalsoisthepartofmathematicsandthemathematicsoftheimportantandenduringsupportthethrustandpromoteprosperityandprogressinmaths,isthescientificdevelopment'spowerfullever.withgreatmethodologicalsignificance.Keywords：Mathematicalcrisis;Pythagorasparadox;Berkeleyparadox;Settheoryparadox前言提到数学，我有一种感觉，数学是自然中最基础的学科，它是所有科学之父，没有数学，就不文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站可能有其他科学的产生。就人类发展史而言，数学在其中起的作用是巨大的，难怪有人说数学是人类科学史中最美的科学。但在数学的发展史中，并不是那么一帆风顺的，早在2000多年前的古希腊，人们就发现了一些看起来好像正确，但却能导致与直觉和日常经验相矛盾的命题，这些自相矛盾的命题就被称为悖论或反论，即如果承认这个命题，就可推出它的否定，反之，如果承认这个命题的否定，又可推出这个命题。但是，不管一个数学问题叫不叫悖论，它总是一个问题。问题是数学的心脏，对问题的研究推动着数学的发展，对“悖论”的研究当然也会推动数学的发展。悖论是让数学家无法回避的问题。悖论出现使得数学体系出现不可靠性和失真理性，这就逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了，因而悖论在推动数学的发展中起了巨大作用。本文主要介绍了数学史上的经典悖论和三次数学危机，在第一次危机中导致无理数的产生；第二次危机发生在十七世纪微积分诞生后，无穷小量的刻画问题，最后是柯西解决了这个问题；第三次危机发生在19世纪末，罗素悖论的产生引起数学界的轩然大波，最后是将集合论建立在一组公理之上，以回避悖论来缓解数学危机。本文研究的目的在于将数学悖论和三次数学危机联系在一起来谈，因为三次数学危机都是数学史上的精彩情节，引人入胜；而那些蕴含哲理的数学悖论更是发人深省。每个悖论的破译，都可从正反两个方面加深对数学基本概念和基本方法的理解。通过这些故事，你会看到数学的发展真是一波三折。数学的严谨是一代又一代数学家努力的结果，数学的抽象更是千锤百炼而成。危机的发生促使了数学本身的发展，因此我们应该辩证地看待这三大危机。1.悖论的起源、概念及特征1.1悖论的起源悖论的历史源远流长，它的起源可以一直追溯到古希腊和我国先秦时代。“悖论”一词源于希腊文，意为“无路可走”，转义是“四处碰壁，无法解决问题”。在古希腊时代，克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯（约公元前6世纪）发现的“撒谎者悖论”可以算作人们最早发现的悖论。公元前4世纪的欧布里德将其修改为“强化了的撒谎者悖论”。在此基础上，人们构造了一个与之等价的“永恒的撒谎者悖论”。埃利亚学派代表人物芝诺（约490B.C.—430B.C.）提出的有关运动的四个悖论（二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论与运动场悖论）尤为著名，至今仍余波未息。在中国古代哲学中也有许多悖论思想，如战国时期逻辑学家惠施（约370B.C.—318B.C.）的“日方中方睨，物方生方死”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；《韩非子》中记载的有关矛与盾的悖论思想等，这些悖论式的命题，表面上看起来很荒谬，实际上却潜伏着某些辨证的思想内容。在近代，著名的悖论有毕达哥拉斯悖论、贝克莱悖论、罗素悖论等。在现代，则有光速悖论、文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站双生子佯谬、EPR悖论、整体性悖论等。这些悖论从逻辑上看来都是一些思维矛盾，从认识论上看则是客观矛盾在思维上的反映。1.2悖论的概念“悖论”一词，在西方曾叫“paradox”，原意是“令人难以相信”。另一种名称是“Antinomy”，原意是“反乎规范”。现在对“悖论(paradox，Antinomy)”一词的通常理解，是指与常识相违的命题、推论或自相矛盾的话语。在国内，流行着两种关于“悖论”的基本定义：1)一命题构成一个悖论，如果由它的真可以推出它的假，而由它的假可以推出它的真。2)“所谓悖论，是指这样一个命题A，由A出发，可以找到一语句B，然后，若假定B真，就可以推出B真，亦即可推导出B假；若假定B真，即B假，又可推导出B真。”实际上，这两个定义都不科学。在国外，比较有代表性的“悖论”定义是“如果某一理论的公理和推理原则上看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等式，那么，我们说这个理论包含了一个悖论”(见弗兰克与希列尔合著的《集合论基础》)。该定义跟前者相比，更合理、科学，因为它不要求确定或假定推导的前、后事件的真假，只包含推出、证明、矛盾、等价等逻辑术语。实际上，悖论是人们对事物两重性有所认识又未达到辩证把握的反映。事物内含着矛盾，矛盾的不同方面又会使事物表现出不同的属性，因而使事物具有两重性。事物矛盾的深刻程度不同，事物两重性的表现也会不同。而人类由于自身发展过程的原因，对某一事物的两重性常常可能认识到了而又不能将之统一起来，造成从这方面看有理、从那方面看也有理的情形，因而形成悖论。一般来说，悖论有3种：（1）佯谬，也叫似非而是，即看起来是矛盾的，但实际上是正确的事；（2）似是而非，即看起来是正确的，但实际上是矛盾的事情；（3）由一个自明的出发点，经过严格的推理导出矛盾。在数学中，这3种悖论都出现过，对它们的讨论推动了数学的发展。1.3悖论的特征1.3.1相对存在性一方面，由于科学的无止境性，自相矛盾的系统将和科学理论体系永远并存，它从前有，现在有，将来仍然有，所以说，悖论是永远存在的。另一方面，悖论只是产生并存在于人类思维及其产物中，客观物质世界的本质及规律并不因为人类意识中的矛盾有丝毫改变。因此，悖论只与人的思维方式和理论有着密切的联系。1.3.2特殊的逻辑矛盾性科学理论中的“逻辑矛盾”有层次之分。表层的是普通的逻辑矛盾，可以凭借实验、经验和思辨，在不触动科学理论“硬核”的情况下，清除矛盾并弥合它们对科学理论整体造成的缝隙；深层的是特殊的逻辑矛盾。这是在普通的逻辑矛盾被清理之后又显现出来的关涉科学理论体系核心假说可信与否的逻辑矛盾。这种矛盾常常危及科学理论的“硬核”。悖论就是这样一种特殊的逻辑矛盾。1.3.3可解决性人类思维应该没有悖论，应消除悖论。然而，由于现阶段人类思维与大自然的割裂性，人所构造的思维及其符号系统必然会有悖论，所以悖论研究应该是通过深入分析，找出人所构造的思维系统或符号系统的起始基点，明确其向另一方向解释的两重性和可能性，限定其有效性范围，制定对本系统的理解和使用规则，避免因误解、误用而引起的思维纷争。许多悖论都是由系统构造基点本身引起的，只有跳到系统外，从整体上去审视该系统的特点，才能解决，局限于系统内是难以解决的。在对人所构造的思维系统或符号系统基点研究的基础上，可以进一步研究系统或学科的扩展，或不同系统或学科的融通。这样，原来系统的基点就不再是基点，而成了更大的系统的子系统中的东西，从而，悖论也就在更大的系统中得到了解决。1.3.4创新性科学史实已经表明，在科学发展极为迅速的20世纪，凡是获得重大创新的领域都与悖论问题紧紧地联系在一起。数学基础领域的巨大成就与1900年前后发现的布拉里福蒂悖论、康托尔悖论、罗素悖论等一系列集合论悖论联系在一起；物理学领域的重大发展则与光速悖论密切相关；甚至在社会经济领域，从法国社会学家孔多塞等人发现的“投票悖论”，到肯尼斯•阿罗获得诺贝尔经济学奖，也都与悖论问题有着重要关联，悖论之于科学理论创新的作用已经得到充分彰显。因此，文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站有意识地发现悖论，进而分析并解决悖论应当是我们从逻辑理性层面创新科学理论的一个重要维度。悖论的“提出”是科学理论的发展和进步；悖论的解决更是一种科学理论的创新。通过悖论的消解而自我超越，往往使理论发生革命性的重大变革。2.数学中的经典悖论2.1芝诺悖论数学中历史悠久、影响广泛的经典悖论是古希腊芝诺提出的悖论。当时关于一个量（如时间、空间、长度等）是否可以无限分割，有两种完全对立的观点：一种认为可以无限分割；另一种认为分到一定程度就不能再分了，即有最小单位元。针对第一种观点，芝诺提出两个悖论——二分说和追龟说；针对第二种观点（量不可以无限分割），芝诺又提出了两个悖论——飞箭静止说和运动场悖论。2.1.1二分说“运动不存在。理由是：位移事物在达到目的地之前必须先抵达一半处。”J.伯内特（Burnet）解释说：即不可能在有限的时间内通过无限多个点。在你走完全程之前必须先走过给定距离的一半，为此又必须走过一半的一半，等等，直至无穷。亚里士多德批评芝诺在这里犯了错误：“他主张一个事物不可能在有限的时间里通过无限的事物，或者分别地和无限的事物相接触。须知长度和时间被说成是‘无限的’有两种涵义，并且一般地说，一切连续事物被说成是‘无限的’都有两种涵义：或分起来的无限，或延伸上的无限。因此，一方面，事物在有限的时间里不能和数量上无限的事物相接触；另一方面，却能和分起来无限的事物相接触，因为时间本身分起来也是无限的。因此，通过一个无限的事物是在无限的时间里而不是在有限的时间里进行的，和无限的事物接触是在无限数的而不是在有限数的现在上进行的。”2.1.2追龟说阿基里斯（Achilles,希腊《荷马史诗》中善跑的英雄）说：“一个跑得最快的人永远追不上一个跑得最慢的人，因为追赶者首先必须跑到被追赶者的起跑点，因此跑得慢的人永远领先。”即最善于奔跑的阿基里斯永远追不上跑的最慢的人，只可以无限地接近他。伯内特解释说，当阿基里斯到达乌龟的起跑点时，乌龟已经走在前面一小段路了，阿基里斯又必须赶过这一小段路，而乌龟又向前走了。这样，阿基里斯可