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Wangchenggang第2章画法几何2.4直线与平面以及两平面的相对位置2019/8/1212.4直线与平面以及两平面的相对位置2.4.3直线与平面以及两平面垂直2.4.1直线与平面以及两平面平行2.4.2直线与平面以及两平面相交2.4.4点、直线、平面的综合作图题示例Wangchenggang第2章画法几何2.4直线与平面以及两平面的相对位置2019/8/1222.4.1直线与平面以及两平面平行平面外的直线与该平面平行的几何条件是：这条直线平行于该平面上的一条直线。1.直线与平面以及两平面平行的几何条件两平面平行的几何条件是：一平面上的两相交直线，分别平行于另一平面上的两相交直线。当平面为一般位置时，常用上述几何条件来检验或求解有关直线与平面以及两平面平行的问题。Wangchenggang第2章画法几何2.4直线与平面以及两平面的相对位置2019/8/123［例题2.27］如图2.60a所示，已知直线AB、△CDE、点P的两面投影，检验直线AB是否平行于△CDE，并过点P作平行于△CDE的平面。图2.60检验AB是否平行△CDE，过P作平面平行△CDE(a)已知条件(b)检验、作图过程和作图结果［解］①检验AB是否平行△CDE过c作cf∥ab，由f引投影连线，与d′e′交得f′，连c′与f′。因c′f′∥a′b′，则CF∥AB，所以AB∥△CDE。②过P作平面平行△CDE过p作pq∥cd，p′q′∥c′d′；过p′作pr∥ce，p′r′∥c′e′，那么两相交直线PQ、PR所确定的平面，就是所求作的过点P且平行于△CDE的平面。Wangchenggang第2章画法几何2.4直线与平面以及两平面的相对位置2019/8/1242.当平面为特殊位置时，直线与平面以及两平面平行的投影特性投影特性：直线与平面的同面投影都有积聚性，或直线的投影与平面的有积聚性的同面投影互相平行。当平面为特殊位置时，两平面相平行的投影特性是：它们的有积聚性的同面投影互相平行。图2.61当平面为特殊位置时，直线与平面以及两平面平行的投影特性Wangchenggang第2章画法几何2.4直线与平面以及两平面的相对位置2019/8/125［例题2.28］如图2.62a所示，已知点G和处于铅垂位置的矩形平面ABCD，以及直线EF的正面投影e′f′和端点E的水平投影e，并知EF平行于矩形平面ABCD。补全EF的水平投影，过点G作平行于矩形ABCD的平面。图2.62补全直线EF的水平投影，过点G作矩形ABCD的平行平面［解］①补全直线EF的水平投影②过点G作矩形ABCD的平行平面Wangchenggang第2章画法几何2.4直线与平面以及两平面的相对位置2019/8/1262.4.2直线与平面以及两平面相交图2.20直线上的点的投影特性1.直线上的点的投影特性第一个投影特性：直线上的点的投影，必在直线的同面投影上。第二个投影特性：若直线不垂直于投影面，则直线段上的点分割线段的长度比，与该点的投影分割直线段同面投影的长度比相等。Wangchenggang第2章画法几何2.4直线与平面以及两平面的相对位置2019/8/1271.两相交元素中至少有一个元素的投影有积聚性时相交图2.63作AB与矩形DEFG的交点，并表明可见性分析：因交点是直线与平面的共有点，所以它的投影应在直线和平面的共有处。即在平面有积聚性的投影与直线同面投影的交点处。交点是可见与不可见的分界点。其可见性可根据前遮后检定。检定后，将可见部分画成粗实线、不可见部分画中虚线。(1)直线与平面相交［例题2.29］如图2.63a所示，作直线AB与铅垂的矩形平面DEFG的交点，并表明可见性。(a)已知条件(b)作图过程和作图结果［解］①作AB与矩形DEFG的交点K。②判别并表明可见性。因kb在gf之前，故k′b′可见，画粗实线;则k′之左被矩形挡住部分不可见，画中虚线。Wangchenggang第2章画法几何2.4直线与平面以及两平面的相对位置2019/8/128[例题2.30］如图2.64a所示，作直线AB与侧垂面P的交点，并表明可见性。［解］图2.64作AB与侧垂面P的交点，并表明可见性(a)已知条件(b)作图过程和作图结果①作AB与侧垂面P的交点K。②判别并表明可见性。从侧面投影知：直线AB在交点K之上的一段位于平面P之前，在交点K之下的一段位于平面P之后，于是就可检定a′b′在k′之上的一段为可见，在k′之下的一段为不可见。将a′b′以k′为分界点，k′a′画粗实线、k′b′画中虚线。Wangchenggang第2章画法几何2.4直线与平面以及两平面的相对位置2019/8/129［例题2.31］如图2.65a所示，作正垂线EF与平行四边形平面ABCD的交点，并表明可见性。［解］图2.65作正垂线EF与ABCD的交点，并表明可见性(a)已知条件(b)作图过程和作图结果①作AB与侧垂面P的交点K。②判别并表明可见性。利用EF与CD的对H面的重影点检定：在ef与cd交点处注出1(2)；1′在c′d′上，2′在e′f′上；由于CD高于EF，所以1可见(2)不可见，表明k(2)段不可见。Wangchenggang第2章画法几何2.4直线与平面以及两平面的相对位置2019/8/1210(2)两平面相交图2.66两个平面多边形全交和互交(a)全交(b)互交两平面的交线是一条直线，当两平面中至少有一个平面为特殊位置时，就可利用积聚性来求作交线。求作两平面的交线，常常用这样的作图方法：先作出平面上的一条直线对另一平面的交点，同样也再作出第二个交点，然后连成交线。Wangchenggang第2章画法几何2.4直线与平面以及两平面的相对位置2019/8/1211［例题2.32］如图2.67a所示，作三角形ABC与铅垂的矩形DEFG的交线，并表明可见性。图2.67作三角形与铅垂矩形的交线，并表明可见性(a)已知条件(b)作图过程和作图结果［解］①作三角形与铅垂矩形的交线KL。②判断并表明可见性：在KL之右，三角形在矩形之前，三角形的正面投影可见，矩形的正面投影不可见；在交线KL之左则相反。Wangchenggang第2章画法几何2.4直线与平面以及两平面的相对位置2019/8/1212［例题2.33］如图2.68a所示，作三角形ABC与铅垂的矩形DEFG的交线，并表明可见性。图2.68作三角形与铅垂矩形的交线，并表明可见性(a)已知条件(b)作图过程和作图结果［解］①作三角形与铅垂矩形的交线KL。②判断并表明可见性：在交线之右，三角形在前，矩形在后，正面投影重合处应是三角形可见，矩形不可见；在交线之左则相反。Wangchenggang第2章画法几何2.4直线与平面以及两平面的相对位置2019/8/1213［例题2.34］如图2.69a所示，分别作出三角形ABC、水平面Q与正垂面P的交线，并表明可见性。图2.69作三角形、水平面与正垂面的交线，并表明可见性(a)已知条件(b)作图过程和作图结果［解］①作三角形ABC与正垂面P的交线DE。②判断并表明可见性：在交线DE的右侧，三角形在平面P之上，三角形的水平投影可见；而在交线DE的左侧则相反。③因为平面P和Q都垂直于正面，所以它们的迹线的交点即为交线FG的正面投影f′g′，水平投影为fg。Wangchenggang第2章画法几何2.4直线与平面以及两平面的相对位置2019/8/1214［例题2.35］如图2.70a所示，作平行于侧面的三角形ABC和垂直于正面的三角形DEF的交线，并表明可见性。图2.70作侧平面三角形ABC和正垂面三角形DEF的交线，并表明可见性(a)已知条件(b)作图过程和作图结果［解］①作侧平面ABC和正垂面DEF的交线KL。②判断并表明可见性：在交线KL之上，三角形ABC位于三角形DEF之左，三角形ABC的侧面投影可见，三角形DEF的侧面投影不可见；在交线KL之下则相反。Wangchenggang第2章画法几何2.4直线与平面以及两平面的相对位置2019/8/12152.两相交元素的投影都无积聚性时相交图2.71作一般位置直线和一般位置平面的交点，并表明可见性(b)用过直线的特殊位置的辅助平面求交点的作法概念(a)已知条件(1)直线与平面相交当直线和平面的投影都没有积聚性时，可以采用辅助平面法求作交点，也就是采用通过直线加设特殊位置的辅助平面的作图方法求作交点；直线与平面的同面投影相重合处的可见性，可依靠两交叉直线重影点的可见性检定。Wangchenggang第2章画法几何2.4直线与平面以及两平面的相对位置2019/8/1216图2.71作一般位置直线和一般位置平面的交点，并表明可见性(d)用正垂面解题(c)用铅垂面解题(1)直线与平面相交当直线和平面的投影都无积聚性时求作交点的作图步骤：①通过直线作垂直于投影面②作平面与辅助平面的交线。③直线与上述交线的交点，就是所求作的直线和平面的交点。Wangchenggang第2章画法几何2.4直线与平面以及两平面的相对位置2019/8/1217图2.72作两个一般位置的平面的交线，并表明可见性(a)已知条件(2)两平面相交当两平面的投影都没有积聚性时，常常采用辅助平面法求交线，辅助平面通常采用两种形式：一是过一个平面上的一条直线作垂直于投影面的辅助平面，利用它作出这条直线与另一个平面的交点，同样地再作出这样的另一个交点，即为两个平面的两个共有点，便可连成它们的交线，如图2.72所示；二是先作一个特殊位置平面作为辅助平面，分别作出辅助平面与这两个平面的交线，这两条交线的交点，即为辅助平面和这两个平面的三面共有点，也就是这两个平面的共有点，同样地再作出另一个共有点，将这两个共有点连成这两个平面的交线，如图2.73所示。Wangchenggang第2章画法几何2.4直线与平面以及两平面的相对位置2019/8/1218(b)作图过程和作图结果(2)两平面相交：示例一作图步骤：图2.72作两个一般位置的平面的交线，并表明可见性①作出平行四边形DEFG的DE边与三角形ABC的交点Ⅲ②作出平行四边形的FG边与三角形ABC的交点Ⅳ。③连3与4、3′与4′，即得所求的交线ⅢⅣ的两面投影34、3′4′。④判别可见性：根据水平投影的重点l(t)可知，L在T之上，故l可见t不可见，即CB在四边形之上，推知交线34之后三角形可见。另侧相反。根据正面投影的重点u′(v′)可知，U在V之前，故u′可见v′不可见，即AC在四边形之后，推知交线3′4′之上四边形可见。另侧相反。Wangchenggang第2章画法几何2.4直线与平面以及两平面的相对位置2019/8/1219(a)已知条件(2)两平面相交：示例二求作由相交两直线AB、BC和平行两直线DE、FG所确定的两一般位置平面的交线。图2.73作两一般位置平面ABC和DEFG的交线(b)解题分析Wangchenggang第2章画法几何2.4直线与平面以及两平面的相对位置2019/8/1220(2)两平面相交：示例二作图步骤：图2.73作两一般位置平面ABC和DEFG的交线(c)作图过程和作图结果①在正面投影中作PV∥OX；得交线上的一个点Ⅸ的两面投影9、9′。②在正面投影中作QV∥OX；得交线上的另一个点Ⅹ的两面投影10、10′。③连9与10、9′与10′，并将9、10、9′10′分别向两端延长，即为所求交线KL的两面投影。因为两个平面没有边界范围，所以不必表明可见性。Wangchenggang第2章画法几何2.4直线与平面以及两平面的相对位置2019/8/12212.4.3直线与平面以及两平面垂直1.直线与平面以及两平面垂直的几何条件与投影特性图2.74直线与一般位置平面相垂直的投影特性直线与平面相垂直的几何条件：该直线垂直于这个平面上的任意两条相交直线；直线与一般位置平面相垂直的投影特性：直线的水平投影与平面上水平线的水平投影相垂直；直线的正面投影与平面上正平线的正面投影相垂直；直线的侧面投影与平面上侧平线的侧面投影相垂直。Wangchenggang第2章画法几何2.4直线