画法几何及工程制图2

1§3.2点的二面投影（two-planeprojectionofpoint）一、二面投影体系的建立及点的二面投影点是形体最基本的元素。在几何学中无大小、薄厚、宽窄，只占有位置。空间点用大写字母表示，投影点用小写字母表示。图2设立一个投影面P，则A1、A2、A3点在投影面P上的正投影是唯一的。但反过来，若知道了点的一个投影，却不能确定点的空间位置（缺少一个坐标）。因此要确定一个点的空间位置，只有一个投影是不够的。现设立两个互相垂直的投影面正立投影面V（也称正面或V面）、水平投影面H（也称水平面或H面），从而构成二投影面体系。V面和H面的交线OX称为投影轴。A点的在V面上的投影称为A点的正面投影或A点的正投影、A点的V投影，用a’表示。A点的在H面上的投影称为A点的水平投影或A点的H投影，用a表示。图3我们需要把这种空间关系在一种图纸上（一个平面上）表达出来。保持V面不动，H面绕OX轴向下旋转90º直至与V面重合，从而得到点的二面投影图。为简便起见，投影图中投2影面的边框不必画出。在点的二面投影体系中，X、Y、Z三个坐标均能体现，故点的二面投影就唯一确立了点在空间的相对位置（相对二面投影体系）。图4容易得出点在二面投影体系中的投影规律：⒈点的两投影的连线⊥投影轴。证明。⒉投影点到投影轴的距离，反映该空间点到另一投影面的距离。二、点在四个象角中的投影平面本身是可以无限延长的，因此就有上V面、下V面、前H面和后H面，它们把空间分为四个部分──四个象限或象角。分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ标记。画投影图时仍然保持V面不动，前H面向下旋转与下V重合，后H面向上旋转与上V重合，只画OX轴，不必注投影面标记，也不用画边框。3⒈在四个象角内的点。（1）A点在Ⅰ象角内。其正面投影a’在OX轴上方，水平投影a在OX轴下方。（2）B点在Ⅱ象角内。H面之上，V面之后。正投影b’在OX轴上方，水平投影b也在OX轴上方。（3）C点在第Ⅲ象角内。其正投影c’在OX下方，水平投影c在OX上方。（4）D点在Ⅳ象角内。其二投影d、d’都在OX轴上方。⒉在投影面上、投影轴上的点。3.综上所述，从投影图中点的投影与OX轴的相对位置，可判断空间点在投影面体系中所处位置，反之亦然。（1）在投影图中，点的水平投影位于OX轴下方，则该点必位于V面之前；反之则在V面之后。（2）点的正面投影位于OX轴上方，则该点必位于H面之上；反之则在H面之下。（3）若点有一个投影位于OX轴上，则该点必在投影面上。§3.3三投影面体系及点的三投影由两投影面体系，能否唯一确定形体的形状和大小呢？不一定！举例如下：如图，根据这一V-H两面投影可同时做出立方体、三棱柱和四分之一圆柱等。因此需设立三投影面体系。一、三投影面体系：设立一个同时垂直于H面和V面的第三投影面W面──侧立投影面（也称侧面或W面）。H面与W面交于OY轴。V与W交于OZ投影轴。三投影轴交点为原点，以O标记。4与两投影面体系一样，在三投影面体系中，投影面展开时，保持V面不动，假想将OY轴剪开，H面绕OX轴向下旋转与V面重合，W面绕OZ轴向右旋转与V面重合。而OY轴展开后分为两条，在H面上的标为OYH，在W面上的标为OYW。二、点的三投影：将A点向W面投影，其投影称为A点的侧面投影或侧投影、W投影，用a”标记。点在三面投影体系中，投影规律不变。(1)点的投影连线⊥投影轴。(2)投影点到投影轴之距=空间点到另一个投影面之距。注：“长对正，高平齐，宽相等。”三、由点的两个投影作第三个投影已知点A的两投影a、a’，作出其第三投影a”5已知点的正面投影和其侧面投影，求其水平投影已知点的水平投影和侧面投影，求作正面投影四、点的三面投影与直角坐标的关系XA=aay＝a＇az＝axO＝Aa＇＇，是空间点A到W面的距离。YA=aax＝a＇＇az＝ayO=Aa＇，是空间点A到V面的距离。ZA=a＇ax＝a＇＇ay＝azO=Aa，是空间点A到H面的距离。例3已知空间点D的坐标（20，15，10）,试作其投影图。6五、特殊位置点的投影举例一一讲解。7§3.4两点的相对位置一、一般情况空间两个点具有前后、左右、上下位置关系。二、特殊情况重影点：当空间两点的连线⊥某个投影面时，它们在该面上的投影重合。由于重影，有可见与不可见问题，不可见用（）将投影括起来。注意:重影点是相对于投影面而言的例1：已知点A的两投影ɑ和ɑ′，以及点B在点A的右方10mm、上方8mm、前方6mm，试确定点B的投影。8例2：已知A、B、C、D的投影图，判断其相对位置§3.5投影变换（projectiontransformation）概述及点的投影变换一、概述投影变换就是通过改变空间几何元素对投影面的相对位置，从而简化求解问题的一种方法。1、投影变换的方法（1）旋转法——投影体系不动而转动空间几何要素。（2）换面法——保持空间几何要素位置不动,设立新的投影面代替旧的投影面,使新投影面处于有利于解题的位置,求出新投影的方法。本课程仅介绍换面法。2、建立新投影面的原则①新设立投影面必须⊥保留投影面，以组成新的正投影面体系，利用正投影规律作图。②新投影面对几何元素必须处于有利于图解的位置。如平行或垂直等。3、投影面的展开9二、点的换面在V1/H中，A(a1＇,a)符合点的投影规律，所以将V1展开与H面共面，a1＇a⊥O1X1且a1＇→O1X1=A→H=a＇→OX=ZA即〈1〉新投影和保留投影的连线垂直于新轴；〈2〉新投影到新轴的距离等于被代替的旧投影到旧轴的距离。举例讲解点的一次、二次、三次换面。10第四章直线的投影主要内容一般位置线、特殊位置线的投影、两直线的相对位置直角三角形法、换面法学时分配4学时重点与难点重点：直角三角形法、换面法、难点：垂直问题教学方式教学手段多媒体教学与普通教学相结合。学生容易出现的问题直线对投影面的倾角的真正含义；把长度的投影规律应用在角度的投影上作业及思考题P155～P158所有习题其它说明§4.1直线的投影（projectionofline）直线的投影一般情况下仍为直线。两点决定一条直线，确定了直线上两点的投影也就确定了直线的投影。即直线上两点的同面投影的连线就是直线的投影。11§4.2一般位置线一、投影特性一般位置线——与三个投影面既不垂直也不平行的直线。不具有积聚性和度量性，而且各个投影与投影轴的夹角不能反映直线对投影面的倾角α、β、γ。对于一般位置线，我们主要解决其实长和倾角。所采用的方法有两种：直角三角形法、换面法。二、直角三角形法直角三角形中四个要素：知二求二例1、已知ab、a＇，且α=30°,求a＇b＇。例2、已知E(e,e＇),求作直线EF实长为30mm且F点在Z轴上例3、已知AB两点，在H面上求作一点C，使得αAC=30°，αBC=45°。12§4.3特殊位置线一、投影面平行线（parellelline）水平线（horizontalline）α=0，β=实长投影与OX轴的夹角、γ=实长投影与OYH的夹角。正平线（frontalline）α=实长投影与OX轴的夹角，β=0、γ=实长投影与OZ的夹角。侧平线（profileline）α=实长投影与OYW轴的夹角，β=实长投影与OZ的夹角、γ=0。二、投影面垂直线（perpendicularline）正垂线（horizontal-profileline）13α=0º，β=90º，γ=0º。铅垂线（verticalline）α=90º，β=0º，γ=0º。侧垂线（frontalhorizontalline）α=0º，β=0º，γ=90º。§4.4直线上的点一、直线上的点（从属性、定比性）14求做直线上的点：点在直线上，点的投影在直线的同名投影上。判断：对于一般位置线，点的投影在直线的同名投影上，则点在直线上。对于特殊位置线，视给定的投影，还需应用定比性。如：给出正面与水平投影的侧平线、给出正面、侧面投影的水平线、给出水平、侧面投影的正平线等。定比分点：做法。例1、已知侧平线AB的两投影和直线上S点的正面投影s＇，求其水平投影s.例2、已知直线AB的水平投影ab和A点的正面投影a＇，且AB=20mm，试求直线AB的正面投影a＇b＇；在直线AB上取一点C，使AC=15mm，求C点的两投影。15§4.5两直线的相对位置平行（parallel）、相交（intersection）、交叉（skew）1.两直线平行求做：两直线平行，其同名投影均平行判断：对一般位置线，两直线同名投影都平行，则两直线平行。特殊位置线还需应用定比法或作第三投影。应用：（1）过直线外一点求作直线平行于已知直线（2）根据两直线投影判断它们在空间是否平行？例4、给定两条侧平线的正面投影和水平投影，判断之2.两直线相交两直线相交，其同名投影必相交，且投影的交点正是空间同一点的投影（即符合点的投影规律）。判断时，若其中一条线为特殊位置线，视情况还需应用定比法或作第三投影。16例5如图，AB为一般位置直线、CD为侧平线，试判别这两条直线是否相交？3．两直线交叉重影点的确定与判别。4.相交、交叉的特殊情况——垂直直角定理：二直线垂直相交（或交叉），其中有一条直线为投影面平行线，则二直线在所平行的投影面上的投影仍垂直。直角定理逆定理：二直线之一为某投影面平行线，且二直线在该投影面上的投影垂直，则空间两直线垂直。17下列直线互相垂直：下列直线互相不垂直：例6已知矩形ABCD的边AB为水平线，试完成图中矩形的两面投影。例7求作交叉二直线（其中之一为垂直线）的公垂线。18例8完成等腰直角三角形ABC的两面投影（直角边BC在水平线MN上）。§4.6直线的换面（详细讲解直线的一次、二次、三次换面。）1．把一般位置直线变换为投影面的平行线可以求出直线的实长和倾角。求直线的实长和倾角β19求直线的实长和а角2．把投影面平行线变换为投影面垂直线主要解决于直线有关的度量问题（两直线间的距离）和定位问题（求线面交点）。图6—10将正平线变为投影面垂直线3．直线的二次换面把一般位置直线变换成投影面的垂直线，只经过一次换面是不能实现的，因为垂直于一般位置直线的平面是一般位置平面，它与原来的两个投影面均不垂直，不能构成正投影体系，所以必须经过两次换面。第一次，将一般位置直线变换为新投影体系中的投影面平行线；第二次，将投影面平行线变换成另一投影体系中的投影面垂直线。图a1●a1●a1●b1●b1●b1●ababXVHababababXVHVHX1HV1X1HV1V1H2X2V1H2X2a2(b2)a2(b2)20§4.7直线的迹点直线与投影面的交点称为直线的迹点。M____水平迹点N——正面迹点S——侧面迹点特性：1，迹点是直线上的点，迹点的投影必在直线的同面投影上。2，迹点是投影面上的点，故迹点的一个投影必在投影轴上。因此：直线的投影和投影轴的交点就是直线相应迹点的一个投影，另一投影可根据直线上的点的投影规律作出。21第五章平面的投影主要内容平面的投影、平面上的点和线最大斜度线、平面的换面学时分配4学时重点与难点重点：最大斜度线、换面法、难点：最大斜度线教学方式教学手段多媒体教学与普通教学相结合。学生容易出现的问题不能正确理解最大斜度线的真正含义；作业及思考题P159～P162所有习题其它说明§5.1平面的表示1．用平面的几何元素的投影表示1、三点A、B、C——a、b、c,a＇、b＇、c＇,a＇＇、b＇＇、c＇＇2、一点一直线——AB、C3、相交二直线——AB、AC4、平行二直线——AB与CD5、平面图形ABC2．用迹线（trace）来表示平面（1）迹线的概念22空间平面与投影面的交线，称为平面的迹线。水平迹线——PH（horizontaltrace）正面迹线——PV（frontaltrace）侧面迹线——PW（profiletrace）（2）迹线的投影特点和画法迹线是投影面内的直线。画法：只画出与迹线本身重合的那个投影，并加以标记，其余两投影在相应的投影轴上，不画出并省略标记。§5.2平面对投影面的相对位置及投影特征一、一般位置面与三投影面均倾斜α