近世代数模拟试卷1

《近世代数》模拟试卷一、叙述概念或命题1．不变子群；2．唯一分解环；3．代数数；二、填空题1．设有限域F的阶为81，则的特征p。2．已知群G中的元素a的阶等于50，则4a的阶等于。3．一个有单位元的无零因子称为整环。三、设G是群。证明：如果对任意的Gx，有ex2，则G是交换群。四、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。五、设}R,,,|{Hdcbadkcjbia是四元数体，对H中任意元dkcjbiax，定义其共轭dkcjbiax。1．证明：xxxx是一个非负实数；2．对kjix221，kjiy22，求xy，yx和1x。六、设)6(1I，)15(2I是整数环的理想，试求下列各理想，并简述理由。1．21II；2．21II；3．21II七、设有置换)1245)(1345(，6)456)(234(S。1．求和1；2．确定置换和1的奇偶性。八、求剩余类加群Z12中每个元素的阶。《近世代数》试卷答案一、1．若H是群G的子群，且对每个Ga，有HaaH，那么H称为是G的正规子群。2．设R是个整环，若对于R中每个非零非单位的元都有唯一分解，则称R为唯一分解环。3．有理数域上的代数元称为代数数。4．如果5n（特征为0），那么n次的一般方程没有根式解。二、1．32．253．交换环4．6三、对于G中任意元x，y，由于exy2)(，所以yxxyxyxy111)(（对每个x，从ex2可得1xx）。四、设A是任意方阵，令)(21AAB，)(21AAC，则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且CBA。若令有11CBA，这里1B和1C分别为对称矩阵和反对称矩阵，则CCBB11，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：1BB，1CC，所以，表示法唯一。五、1．02222dcbaxxxx2．kjixy8424，kjiyx2484，)221(1011kiix六、1．)3(21II；2．)30(21II；3．)90(21II七、1．)56)(1243(，)16524(1；2．两个都是偶置换。八、元素01234567891011阶1126431221234612