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近世代数模拟试题一、填空题（每空3分，共30分）1、如果循环群aG中生成元a的阶是无限的，则G与-----------同构。2、实数域R的全部理想是-------3、n次对称群Sn的阶是____________.4、一个有限非可换群至少含有____________个元素.5、假定R是整数环，则：（2，5）=----------------。6、设A={1，2，…，10},给出一个A×A到A的映射，这个映射------------单射。7、全体整数对于普通加法来说作成一个群，这个群的单位元是------，a的逆元是---------。8、凯莱定理说：任一个子群都同一个同构。9、阶是素数的群一定是-------------群。二、选择题（每小题3分，共15分）1、每一个有限群都与一个置换群（）A、同态B、相等C、同构D、不相等2、从同构的意义讲，阶为4的群只有（）个。A.1B.2C.3D.43、指出下列那些运算是二元运算（）A、在整数集Z上，abbaba；B、在有理数集Q上，abba；C、在正实数集R上，babaln；D、在集合0nZn上，baba。4、设S3={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，则S中与元（123）不能交换的元的个数是()。A.1B.2C.3D.45、同构的观点看，循环群有且只有两种，分别（）A、G=（a）与G的子群B、（Z，+）与（Zn，+）C、变换群与置换群D、（Q，+）与（Zn，+）三、简答题（每小题8分，共40分。下列题正确错误均需说明，正确的，予以证明；错误的，给出反例。判断3分，说明5分，判断错误，全题无分。）1、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。2、在一个群G里，若0,1的阶是那么aaa。3、任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。4、假定R是整数环，则：（2，5）=（1）5、两个理想的交集是一个理想。四、证明题（共15分）1、设K是数域F上n阶矩阵全体构成的矩阵环。证明矩阵的相似关系是一个等价关系。近世代数模拟试题五一、填空题（每空3分，共30分）1、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则aff1。2、如果G是一个交换群，那么G的任一个子群H都是-------------子群。3、设为的子群.则在中左陪集的个数与右陪集的个数--------。.4、设集合M=﹛1，2，3﹜，G是M上的置换群，H=﹛I，（1，3）﹜是G的子群，则H的右陪集为。5、变换群一般-------------交换群。6、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---------，元a的逆元是-----------。7、任一个群G的子群G和e总是-------------子群。8、设,为的两个子群,则为的子群的充分必要条件是-----------------。.9、集合A到A的所有变换的集合，关于变换的乘法是一个-----------群。二、选择题（每小题3分，共15分）1、下面的代数系统（G，*）中，（）不是群。A.G为整数集合，*为加法B.G为偶数集合，*为加法C.G为有理数集合，*为加法D.G为有理数集合，*为乘法2、剩余类加群Z18的子群有()。A.3个B.6个C.9个D.12个3、设S是群G的非空子集，G的含S的所有的子群的交仍是G的子群，这个子群称为G的由（）子群。A、G生成的B、G不作成的C、S生成的D、元0生成的。4、设21:RRf是环同态满射，baf)(，那么下列错误的结论为（）A.若a是零元，则b是零元；B.若a是单位元，则b是单位元；C.若a不是零因子，则b不是零因子；D若2R是不交换的，则1R不交换。5、子群包含的三层意思是（）A、HG；H成群；H与G有相同的运算B、H≠G；H是G的子半群；H有两种运算。C、HG；H有单位元；H的运算相同。三、简答题（每小题8分，共40分。下列题正确错误均需说明，正确的，予以证明；错误的，给出反例。判断3分，说明5分，判断错误，全题无分。）1、A={所有不等于零的偶数}。找一个集合D，使得普通除法是A×A到D的代数运算，是不是可以找到一个以上的这样的D？2、设A与B都是非空集合，那么BAxxBAx且。3、A={所有实数}，A的元间的关系以及是不是等价关系？4、设A、B、D都是非空集合，则BA到D的每个映射都叫作二元运算。5、是否存在一个有两个元的群的例，若存在请举一个有两个元的群的例，并写出它的运算表。四、证明题（共15分）1、验证集合7|,Aabab是整数关于普通加法和乘法是一个整环.是域吗？