近世代数第3讲

第3讲§7—9一一映射，同态及同构（2课时）(BijectionHomomorphismandOsomorphism)本讲教学目的和要求：通过了解双射，同态及同构的理论，为后继课程中学习群同态，群同构（群第一、二同构定理）环同态，环同构理论做准备。具体要求：1、在第一讲的基础上，对各类映射再做深入的研究。2、充分了解双射（一一映射）的特性以及由此引导出的逆映射。3、两个代数系统的同态的概念，尤其是同态的满射所具有的性质。4、掌握同构映射的实质，为以后教学内容奠定基础，本讲的重点和难点：本讲的重点在于对同态映射定义的了解；由同态满射引导的一系列性质及同构映射本质的掌握。而对双射及自身的逆映射之间的关系学生不易把握，需要认真对待。本讲的教法和教具：在多媒体教室使用投影仪。在教学活动中安排时间让学生展开讨论。本讲思考题及作业：本讲思考题将随教学内容而适当地展开。作业布置在本讲结束之后。一、一一映射在第1讲中，已对各类映射作了系列性的介绍，这里只对重要的一一映射作重点的讨论。定义1、设是集合A到A的映射，且既是单的又是满的，则称是一个一一映射（双射）。例1：},4,2,0,2,4,{2},2,1,0,1,2,{:ZZ，其中Znnn,2)(，可知显然是一个双射。注意：Z与偶数集Z2之间存在双射，这表明：Z与它的一个真子集Z2一样“大”。思考题：从例1中得知：一个无限集与其的某个真子集一样“大”。这是否可作为无限集都有的特性？即我们是否有如下的结论：A为无限集的充要条件是A与其某个真子集之间存在双射。定理1：设是A到A的一个双射，那么由可诱导出（可确定出）A到A的一个双射1（通常称1是的逆映射）证明：由于是A到A的双射，那么就A中任一个元素a，它在A中都有逆象a，并且这个逆象a是唯一的。利用的这一特点，则可确定由A到A的映射1：aaAaAA)(,,:11，如果aa)(，由上述说明，易知1是映射。1是满射：Aa，因是映射aaAa)(,使，再由1的定义知aa)(1，这恰说明，a是a在1下的逆象。由a的任意性，知1是满射。1是单射：2121,,aaAaa若由是满射21aa及的逆象分别是22111121)(,)(,aaaaaa即及，又是单射21aa，这说明)()(2111aa，所以1是单射。综合上述讨论知：1是A到A的一个双射。结论：设AA:是映射，那么：（1）是双射可唯一的确定一个逆映射AA:1，使得：1是双射；AA1,111；也是1的逆映射，且11)(；（2）是双射AA与同时是有限集或同时是无限集。二、变换定义2：设AA:是映射，那么习惯上称为是A的变换。当是双射（单射，满射）时，也称为一一变换（单射变换，满射变换）例219P三、同态（本目与高代中的线性变换类似）——对代数系统的比较。例3、设}1,1{:AZ，其中},{Z中的代数运算就是Z中的加法，而},{A中的代数运算为数中的乘法。)3()2()32(,111)1()1()1()1()3()2(,1)5()32()32(,1)3(,1)2(,,1)(即而那么现设Znn定义3：设集合AA,都各有代数运算,（称},{A及},{A为代数系统）而AA:是映射，且满足下面等式：)()()(,,babaAba（习惯上称可保持运算）那么称是A到A的同态映射。例4、设},{Z与},{A同例3，今设ZnnAZ,1)(:为，那么的同态映射到是即AZnmnmnmnmZnm),()()(111)()(,1)(,,例5、},{Z与},{A同上，而11)(为奇数为偶数nnnZmn,（1）若mn,均为偶数时mn为偶数，)()()(111)()(,1)()(mnmnmnmnmn而（2）若mn,均为奇数时mn为偶数，)()()(1)1()1()()(,1)()(mnmnmnmnmn而（3）若n奇而m偶时mn为奇数，则)()()(11)1()()(,1)()(mnmnmnmnmn而（4）若n偶而m奇时同理知)()()(mnmn.由(1)～(4)知,是Z到A的同态映射.如果同态映射是单射（满射），那么自然称是同态单射（同态满射），而在近世代数中，同态满射是尤其重要的。定义4：若是},{A到},{A的同态满射，那么习惯上称AA与同态，并记为A～A；习惯上称A是A的同态象.定理2.如果是},{A到},{A的同态满射，那么（1）若满足结合律也适合结合律；（2）若满足交换律也适合交换律.证明：（1）任取因,,,Acba是满射bbaaAcba)(,)(,,,使，又因为A中的满足结合律cbacba)()(即))(())((cbacba，但是是同态映射。)()]()([)()()())((cbacbacbacbacbacbacbacba)()()]()([)()()))((所以cbacba)()(同理可以证明（2）定理3、设},,{A和},,{A都是代数系统，而映射AA:关于,以及,都是同态满射，那么：（1）若,满足左分配律,也适合左分配律；（2）若,满足右分配律,也适合右分配律。证明：（1）因,,,Acba是满射ccbbaaAcba)(,)(,)(,,,使.又因为是关于,及,的同态映射)()()]()([)]()([)()()]()[()]([))()(()()(cabacabacabacabacbacbacba即)()()(cabacba.同理可证明（2）。思考题1：在定理2及定理3中，都要求映射是满射，似乎当是同态满射时，才能将A中的代数性质（结合律、交换律及分配律）“传递”到A中，那么：（1）当不是满射时，“传递”还能进行吗？（即定理2，3成立吗？）（2）即使是满射，“传递”的方向能改变吗？（即A中的性质能“传递”到A中去吗？）（3）依照定理2，3的思路，若将换成同态单射后，能获得什么结论？四、同构定义4、设是},{A到},{A的同态映射，若是个双射，那么称是同构映射，或称A与A同构，记为AA。例6、设与而},,3,2,1{},,3,2,1{ZAZA都是整数中通常的加法“+”，现作AnnnAA,)(},{},{:其中，那么是同构映射.事实上，（1）是单射：当)()(,,mmnnmnAmn时且是单射.（2）是满射：AtttAtAt)()(,,且则是满射.（3）是同态映射：)()()()()()()()()()(,,mnmnmnmnmnmnmnAmn由（1），（2），（3）知，是同构映射，即AA。定理4、设是},,{A到},,{A的同构映射，那么（1）“”适合结合律“”也适合结合律；（2）“”适合交换律“”也适合交换律；（3）“”和“+”满足左（右）分配律“”和“”满足左（右）分配律。注意：由上述表明，同构的两个代数体系由运算所带来的规律性是相同的，因此，同构的两个代数体系尽管可能有这样或那样的差别，但从近世代数的宗旨来看，我们自然认为：它们的差别是表面上的，次要的，而它们的共同点——运算所体现的规律性则是本质的，主要的。于是，我们需要阐明近世代数的观点是：凡同构的代数体系都认为是（代数）相同的。在上述的观点下，一个代数体系经同构映射而保持不变的性质叫做它的代数性质。于是，由代数运算所表述的任意一个性质都是代数性质。我们将代数体系的代数性质的总合统称为它的代数结构。因此，同构的代数体系由于完全相同的代数结构。研究代数体系的首要目的就是确定所有互不同构的代数体系以及它们的代数结构。而为了确定一个代数体系的代数结构，只须让它与一个代数结构已经清楚的代数体系同构则可。课堂练习：设},3,2,1{},,3,2,1,0{NN，那么，},{},{NN与不可能同构.证明：（反证法）若NN，那么是同构映射。设推出矛盾中没有但而,00)1()0()1(,110,)1(,)0(NnmnmmNn思考题2：试证：（1）},{},{NN与不同构（为普通乘法）。（2）},{},{ZZ与不同构.（3）},{},{QQ与不同构（其中Q为非零有理数集）.思路：（1）（反证法）若NN，且是N到N的同构映射。则推出矛盾令,1)0()0()00()0(),1()0(,1)1(2aaaaa（2）（反证法）若ZZ，且是Z到Z的同构映射。则推出矛盾令),(2)()()()0(12)(,1)0(nnnnnn.（3）（反证法）若QQ，且是Q到Q的同构映射。则推出矛盾令,0,02)()()()1)(1(11)(,1)0(qqqqqqq五、自同构定义5、设},{A是一个代数体系，若是A到A的一个同构映射，那么称为A的一个自同构。例7（26P）思考题3（1）两个代数体系如果同构了，那么它们之间的同构映射是唯一的吗？（2）设F为数域，44321}),,,{(FFaaaaaAi)(24321FMFxxxxxAi试证：},{},{AA与是同构的。（其中“+”为数组间的加法，“”为矩阵的加法）作业：19P①②23P②26P②