近世代数试卷

《近世代数》（B卷）第1页共3页安徽大学2008—2009学年第一学期《近世代数》考试试卷（B卷）一、分析判断题（请判断下列命题对错，并简要说明理由）1、模n的同余关系是一个等价关系．2、整数集Z对于普通的数的乘法作成一个群．3、x是[]Zx的一个极大理想．4、在同态映射下，正规子群的象是正规子群．5、数域F上的多项式环[]Fx是一个欧氏环．二、计算分析题1、设两个六次置换：(134652)，(1235)(46)计算：，2，1．2、求剩余类环12Z的所有可逆元和所有子环．3、在8Z中计算：32([4][3][2])([5][3])xxxx三、举例题（对下列的各种情形，请各举一例）1、环的素理想而非极大理想；2、环和其一个子环均有单位元，但二者不相等；3、正规子群的正规子群不是原来群的正规子群．四、证明题（本题共6小题，每小题10分，共60分）1、证明在一个有限群中：1)阶数大于2的元素的个数一定是偶数；2)偶数阶群里阶等于2的元素个数一定是奇数．2、设HG，证明：对1,aGaHaG且1aHaH．3、证明：对集合2,abRabFba数域关于普通的矩阵的加法和乘法作成一个有单位元的交换环．4、设R是一个无零因子的环，且1R．则1）R中所有非零元素（对加法）的阶均相同；2）若R的特征有限，则必为素数．5、设,HK是群G的两个正规子群，证明：1）如果GH与GK都是交换群，则GHK也是交换群；2）若HKe，证明：H与K中元素相乘时可交换．《近世代数》（B卷）第2页共3页6、环R的一个理想N叫做诣零的，如果对aN，均存在nZ，使得0na，证明：1)若N是R的诣零理想，则R是诣零的RN是诣零的；2)环R的两个诣零理想之和仍为诣零理想．安徽大学2009—2010学年第一学期《近世代数》考试试卷（B卷）一、分析判断题（请判断下列命题对错，并简要说明理由）1、设:XY为一个映射，A是X的一个非空子集，则1(())AA．2、整数集Z对于普通的数的乘法作成一个半群．3、整数环的全部素理想是由所有素数p生成的主理想p和自己本身．4、若,HGKG，则HKG．5、域是一个欧氏环．二、计算分析题（本题共3小题，每小题5分，共15分）1、给出剩余类环12Z的所有素理想和极大理想．2、设(143)(45)(26)，7(267)(43)S，1)求，的阶；2)计算1?，1?．3、求多项式321xxx在8Z中的所有根．三、举例题（对下列的各种情形，请各举一例）1、除环而非域；2、群的正规子群而非特征子群．四、证明题（本题共6小题，每小题10分，共60分）1、证明：1)若环R有正则元，则全体正则元对乘法作成一个半群；2)环R的元素0a是正则元当且仅当由0axa可得0x．2、设,HK是群G的两个正规子群，且二者的交为e．证明：H与K的元素相乘时可换．3、设G是一个群，,abG，11abab称为,ab的换位元，记作,ab．由G的全体换位元生成的群称为G的换位子群，记作G．证明：《近世代数》（B卷）第3页共3页1)G是G的正规子群；2)设NG，则GN是交换群GN4、设,ab是群G中阶分别为m与n的两个元素．证明：若abba，,abmn，其中,mn为m与n的最小公倍数,并证明G中有阶为,mn的元素．5、证明：Gauss整环[]Zi是一个欧氏环．6、设R是一个阶大于1且有单位元的可换环．证明：R是域R到任意环的非零同态都是单的．