近世代数10套试题

-1-《近世代数》试卷1（时间120分钟）二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1.（）循环群的子群是循环子群。2.（）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。3.（）存在一个4阶的非交换群。4.（）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。5.（）无零因子环的特征不可能是2001。6.（）无零因子环的同态象无零因子。7.（）模97的剩余类环Z97是域。8.（）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。9.（）域是唯一分解整环。10.（）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。一、填空题（共20分，第1、4、6小题各4分，其余每空2分）1.设A、B是集合，|A|＝3，|B|＝2，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。2.设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=a3的在G中的指数是。3.设G＝a是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。4.在模12的剩余环R=｛[0],[1],……,[11]｝中，［5］＋［10］＝，［5］·［10］＝，方程x2＝[1]的所有根为。5.环Z6的全部零因子是。6.整环Z[√-3]不是唯一分解整环，因为它的元素α＝在Z[√-3]中有两种本质不同的分解α＝=。得分评卷人复查人三、解答题（共3０分）1.设S3是3次对称群，a=（123）∈S3．（１）写出H＝a的所有元素．（２）计算H的所有左陪集和所有右陪集．（３）判断H是否是S3的不变子群，并说明理由．2.求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。-2-3.在整数环Z中，求由200４，125生成的理想A=（2004，125）。四、证明题（共30分）1.设G是一个阶为偶数的有限群，证明（１）G中阶大于2的元素的个数一定为偶数；（２）G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。2.设φ是环（R，+，·，0，1）到环（R，+，·，0/，1/）的同态满射。N=Kerφ={x|x∈R且φ（x）=0/},证明：φ是同构映射当且仅当N={0}。3.证明：非零整环R只有有限个理想当且仅当R是域。-3-《近世代数》试卷2（时间120分钟）一、填空题（共20分）1.设G＝（a）是6阶循环群，则G的子群有。2.设A、B是集合，|A|＝2，|B|＝3，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。3.在模12的剩余环R=｛[0],[1],……,[11]｝中，［10］＋［5］＝，［10］·［5］＝，方程x2＝[1]的所有根为。4.在5次对称群S5中，（12）（145）＝，（4521）－1＝，（354）的阶为。5.整环Z中的单位有。6.在多项式环Z11［x］中，（［6］x＋［2］）11＝。二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1.（）若群G的每一个元满足方程x2=e(其中e是G的单位元)，则G是交换群。2.（）一个阶是13的群只有两个子群。3.（）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。4.（）设G是群，H1是G的不变子群，H2是H1的不变子群，则H2是G的不变子群。5.（）主理想整环R上的一元多项式环R[x]是主理想整环。6.（）存在特征是2003的无零因子环。7.（）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。8.（）模21的剩余类环Z21是域。9.（）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。10.（）除环只有零理想和单位理想。三、解答题（共30分）1.设H＝｛（1），（123），（132）｝是对称群S3的子群，写出H的所有左陪集和所有右陪集，问H是否是S3的不变子群？为什么？2.设G是一交换群，n是一正整数，H是G中所有阶数是n的因数的元素的集合。试问：H是否是G的子群？为什么？-4-3.在整数环Z中，求由2004，19生成的理想A=（2004，19）。四、证明题（共30分）1.设I1={4k|k∈Z},I2={3k|k∈Z}，试证明：（1）I1,I2都是整数环Z的理想。（2）I1∩I2=(12)是Z的一个主理想。2.设R、R都是环，f是环R到R的满同态映射，A是R的理想，试证明：A＝｛a|a∈R且f（a）∈A｝是R的理想。3.证明，设S是环（R，＋，·，0，1）的子环，N是R的理想，且S∩N＝｛0｝，则剩余类环R／N有子环与S同构。-5-《近世代数》试卷3（时间120分钟）一、填空题（共20分）1.设G＝（a）是6阶循环群，则G的子群有。2.设A、B是集合，|A|＝|B|＝3，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。3.在4次对称群S4中，（24）（231）＝，（4321）－1＝，（132）的阶为。4.整环Z中的单位有。5.环Z6的全部零因子是。6.设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=a3的在G中的指数是。二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1.（）一个阶是11的群只有两个子群。2.（）设G是群，H1是G的不变子群，H2是H1的不变子群，则H2是G的不变子群。3.（）素数阶群都是交换群。4.（）循环群的商群是循环群。5.（）模27的剩余类环Z27是域。6.（）存在特征是2004的无零因子环。7.（）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。8.（）域是主理想整环。9.（）域只有零理想和单位理想。10.（）相伴关系是整环R的元素间的一个等价关系。三、解答题（共30分）1.设H＝｛（1），（12）｝是对称群S3的子群，写出H的所有左陪集和所有右陪集，问H是否是S3的不变子群？为什么？2.求模12的剩余类加群(Z12,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。-6-3.在整数环Z中，求由2004，17生成的理想A=（2004，17）。四、证明题（共30分）1.设I1={2k|k∈Z},I2={3k|k∈Z}，试证明：（1）I1,I2都是整数环Z的理想。（2）I1∩I2=(6)是Z的一个主理想。2.设φ是群G到群H的同态满射,H1是H的子群。证明：G1={x|x∈G且φ（x）∈H1}是G的子群。3.设环（R，＋，·，0，1）是整环。证明：多项式环R[x]能与它的一个真子环同构。-7-《近世代数》试卷4（时间120分钟）一、填空题（共20分，每空2分）1.设A、B是集合，|A|＝2，|B|＝3，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。2.设G＝（a）是6阶循环群，则G的子群的个数是。3.在剩余类环Z18中，［8］＋［12］＝，［6］·［7］＝。4.环Z6的全部零因子是。5.在多项式环Z17［x］中，（［6］x＋［7］）17＝。6.在模7的剩余类环Z7中，方程x2＝1的所有根是。二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1.（）交换群的子群是不变子群。2.（）一个阶是11的群只有两个子群。3.（）无零因子环的特征不可能是2004。4.（）有单位元且满足消去律的半群是群。5.（）模21的剩余类环Z21是域。6.（）在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。7.（）若R是主理想整环，则一元多项式环R［x］是主理想整环。8.（）除环只有零理想和单位理想。9.（）欧氏环是唯一分解整环。10.（）无零因子环的同态象无零因子。三、解答题（第1小题15分，第2、3小题各10分，共35分）1.设H＝｛（1），（12）｝是对称群S3的子群，求H的所有左陪集和所有右陪集，试问H是否是S3的不变子群？为什么？2.求模12的剩余类环Z12的所有理想。-8-3.在整数环Z中，求由2005，6生成的理想（2005，6）。四、证明题（第1、2小题各10分，第3小题5分，共25分）1.设～是整数集Z上的模7同余关系，试证明～是Z上的等价关系，并求所有等价类。2.设R、R都是环，f是环R到R的满同态映射，A是R的理想，试证明A＝｛a|a∈R且f（a）∈A｝是R的理想。3.证明，非零整环R只有有限个理想当且仅当R是域。-9-《近世代数》试卷5（时间120分钟）一、填空题（共20分，每空2分）1.在对称群S4中，（134）（12）＝，（2143）－1＝。2.在多项式环Z11［x］中，（［6］x＋［2］）11＝。3.设G＝（a）是6阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。4.在模6的剩余环Z6中，方程x2＝1的所有根为。5.环Z10的所有零因子是。6.设A、B是集合，|A|＝3，|B|＝2，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1.（）循环群的子群是循环群。2.（）若H1、H2都是群G的子群，则H1∪H2也是群G的子群。3.（）交换群的子群是不变子群。4.（）一个阶是11的群只有两个子群。5.（）模15的剩余类环Z15是域。6.（）无零因子环的同态象无零因子。7.（）欧氏环上的一元多项式环是欧氏环。8.（）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。9.（）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。10.（）域是主理想整环。三、解答题（第1小题15分，第2、3小题各10分，共35分）1.设H＝｛（1），（13）｝是对称群S3的子群，求H的所有左陪集和所有右陪集，试问H是否是S3的不变子群？为什么？2.求模18的剩余类环Z18的所有理想。-10-3.在整数环Z中，求由2004，125生成的理想（2004，125）。四、证明题（第1、2小题各10分，第3小题5分，共25分）1.设～是整数集Z上的模6同余关系，试证明～是Z上的等价关系，并求所有等价类。2.设H1和H2分别是群（G，，e）的子群，并且|H1|＝m，|H2|＝n，m、n有限，（m，n）＝1，试证：H1∩H2＝｛e｝。3.证明，设S是环（R，＋，·，0，1）的子环，N是R的理想，且S∩N＝｛0｝，则剩余类环R／N有子环与S同构。-11-《近世代数》试卷6一、填空题（每空2分，共20分）1、设有集合A和B，|A|=3,|B|=2,则共可定义____个从A到B的映射，其中有_____个单射，_____个满射，______个双射。2、设G=)(a是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数为_________.3、在5次对称群5S中，_____,)135)(12()5132(的阶是_______)43125(______,1。4、在模13的剩余类环13Z的多项式环][13xZ中，_______])3[]7([13x。5、在模6的剩余类环6Z中，方程]1[2x的所有根是__________.二、判断题（对打“√”,错打“×”，不说明理由，每小题2分，共20分）1、（）模99的剩余类环99Z是域。2、（）主理想整环R上的一元多项式环][xR是主理想整环。3、（）域有且仅有两个理想。4、（）在一个环中，若左消去律成立，则右消去律成立。5、（）无零因子环的特征不可能是93。6、（）无零因子环的同态象无零因子。6、（）欧氏环一定是唯一分解整环。8、（）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。9、（）循环群有且仅有一个生成元。10、（）循环群的子群是不变子群。三、解答题（第1题15分，第2，3题各10分，共35分）1、设)}12(),1{(H是3次对称群3S的子群，求H的所有左陪集和右陪集，试问H是否是3S的不变子群？为什么？2、设ba,是群G的两个元，,baaba的阶是m，b的阶是n，nm,有限且)(),(,1),(bKaHnm，求KH。-12-3、求模12的剩余类环12Z的所有理想。四、证明题（第1，2题各10分，第3题5分，共25分）1、证明：在整数环Z中由34和93生成的理想)93,34(就是Z本身。2、设H是群G的子群，对Gba,，定义a～bHab1，证明：～是G上的一个等价关系。3、设,1R2R都是环，是环1R到2R的满同态映射，10和20分别是环1R和2R的零元，}0)(,|{ker21xRxxN，证明：是同构映射当且仅当}0{1N。-13-《近世代数》试卷7一、判断题（对打“√”,错打“×”