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第二章作业题解答参考4．提示：22222()4abcdabcd++++++?当且仅当abcd===时等号成立。7．记iA为“从第(1)iiN＃个袋子中取出一球为黑球”这一事件。显然有1()aPAab=+。（1）根据全概率公式，对任意的(2)iiN＃，我们有1111()(|)()(|)()iiiiiiiPAPAAPAPAAPA----=+()111()1()11iiaaPAPAabab--+=+-++++11()11iaPAabab-=+++++（2）由（1）和（2）便知：()(1)iaPAiNab=＃+。11.用nA表示“一个家庭有n个小孩”(0)n?+?，用iB表示“一个家庭有k个男孩”(1)k?+?，则根据题意，显然有,1()1,01nnnpnPAppnpaaìï³ïïï==íï-=ïï-ïî且对任意的kn有(|)0knPBA=；对任意的kn£有1(|)()2nknnPBAk骣÷ç=?ç÷ç÷ç桫。根据全概率公式，对任意的1k³，我们有11()()(|)()()22nnnknknnnknknnpPBPAPBApkkaaゥ?===骣骣鼢珑=?作=?珑鼢珑鼢珑桫桫邋?（*）00()()()222mnkmkkmmmmkmkpppkmaaゥ=-+==骣骣++鼢珑??珑鼢珑鼢珑桫桫邋=1(1)1()()22kmmkmppma¥=骣++-÷ç=?ç÷ç÷ç桫å0(1)()()22kmmkppma¥=骣-+÷ç=?ç÷ç÷ç桫å(1)1()(1)2/(2)22kkkkppppaa-++=-=-。注：在求（*）式和的时候，还有其它办法，比如：设1()(1)(1)!nnnknknSxxnnnkxkkゥ==骣÷ç=?--+ç÷ç÷ç桫邋L，则1()(1)(1)!knknkSxxnnnkxk¥-==--+åL()()()11!!kkknknnknkxxxxkkゥ==骣÷ç==÷ç÷ç÷ç桫邋()()1111!1!1(1)kkkkkkkxxxxkxkxx+骣骣÷ç÷ç÷===÷çç÷÷÷珑÷ç桫---桫，故1()()2/(2)2kkkpPBSppaa+==-。12．（1）用C表示“家庭中至少有1个男孩”，用D表示“家庭中至少有2个男孩”，则有2121122()(2)(|).2()22(2)kkkkkkpppPDCppPDCppPCpppaa¥+=¥+=骣÷ç÷ç÷ç÷ç-桫-====---åå（2）用E表示“家庭中没有女孩”，用F表示“家庭中正好有1个男孩”，则根据对称性有()111()2(|)21(2)kkkpPEFPFEpPEpaa¥+=×==--å222(1)212ppppppaa=--?---(1)(2)2(1)(2)2ppppppaa--=---。15．用123,,AAA分别表示“传送的信号分别为AAAA,BBBB,CCCC“，则123()0.3,()0.4,()0.3.PAPAPA===用B表示“接收的信号为ABCA”，根据题意有1(|)0.60.20.20.6,PBA=创?2(|)0.20.60.20.2,PBA=创?3(|)0.20.20.60.2,PBA=创?由贝叶斯公式可知：11131()(|)9(|)0.5625.16()(|)iiiPAPBAPABPAPBA=×===×å20．用123,,AAA分别表示“第1、2、3次命中目标”，用B表示“3次射击中恰好有一次命中目标”，用C表示“3次射击中至少有一次命中目标”，则123()0.4,()0.5,()0.7.PAPAPA===故123123123()()()()PBPAAAPAAAPAAA=++0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36.=创+创+创=123()1()10.60.50.30.91.PCPAAA=-=-创=23．设在一次实验中事件A发生的概率为p（p很小），现在独立进行n次试验，事件A至少发生1次的概率为：1(1)np--，当n很大时这个概率几乎接近于1。27．丙要成为整场比赛的优胜者，在后面的比赛中只有下面的四种可能：局数45671．丙胜丙胜丙胜2．乙胜丙胜丙胜丙胜3．丙胜乙胜丙胜丙胜4．丙胜丙胜乙胜丙胜因而，所求的概率为：34112()()3.3327+?29．因为：()0()nnknkknqppqk-=骣÷ç+=?ç÷ç÷ç桫å而()0()()nnknkknqppqk-=骣÷ç-=?ç÷ç÷ç桫å故所求的概率为上面两式相加再除以2，即为：1[1(12)]2np--。34．所求的概率为：0115000555050005561(0.001)(0.999)11.0!1!kkkeeke---=骣÷ç-骰--=-ç÷ç÷ç桫å注：用泊松分布逼近，50000.0015l=?。36．（1）产生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率为：/21111(1).2!2kkkkkpeeekllllゥ--==骣骣鼢珑?鬃=-鼢珑鼢鼢珑桫桫邋（2）在已知产生了细菌而且没有甲类细菌的条件下，有2个乙类细菌的概率：利用贝叶斯公式可知：22222/2/2111()()2221(1)8(1)()2kkkpeeeepllllll-¥-=鬃==--å。40．设应装100k+只，则每盒中有100只以上的好螺丝钉的概率为：111001.500100(1.5)(0.015)(0.985)!ikkikiiikeii--+--==骣+÷ç骰ç÷ç÷ç桫邋要使上述概率大于等于0.8，解得3k=。注意：(100)0.0151.5kl=+谆，因为由废品率很小可知k很小。42．用()kAt表示“t分钟内来到k辆汽车”这一事件，则由题意知：()(()),0,1,2,3,!tktPAtekkll-==L因为0((1))0.2PAel-==，故ln5l=。这样两分钟内有多于1车的概率为：2ln52ln501(2ln5)1((2))((2))11!PAPAee----=--10.04(12ln5)0.83=-??。45．取1Nn=-，即证1101122nnkknkk--=骣+-÷ç?ç÷ç÷ç桫å或101111222knnknkk-=骣+-骣骣÷ç鼢珑?鼢ç珑÷鼢鼢珑ç÷ç桫桫桫å在巴斯卡分布中令1,2mnpq===，则上式表示“n次A之前出现n次A”的概率，即甲胜的概率，由对称性可知结论成立。47．假设合格率为0.99，则100件产品中有大于等于2件次品的概率为：1001001121001(0.01)(0.99)10.261!kkkpeek---=骣÷ç=骰--?ç÷ç÷ç桫å而现在已经查到有两件次品，因此我们说该车间慌报的概率有74%左右，可能性较大。