连续六次摸到白球后的思考

1连续六次摸到白球后的思考浙江省嘉兴市教育研究院朱国荣邱正平一、案例背景“可能性”（概率）是新课程中新增加的内容，“可能与一定”是学生学习“可能性”的第一节内容。通过教学要让学生初步了解在现实世界中，有些事件在满足相应条件后，一定会发生（或不可能发生），而有些事件则可能发生，也可能不发生。比如在一个盒子里放入两个黄球，任意摸一次，一定能摸到黄球，不可能摸到白球；如果放入一个白球、一个黄球，任意摸一次，则可能摸到白球，也可能摸到黄球（即可能性）。在多次教学实践中我感悟到，原有生活经验使学生对“可能性”有了一定的认识，但学生的生活经验反过来也会干扰对“可能性”的数学化理解。二、情境描述在一个不透明的盒子中，放入一个白球、一个黄球，任意摸一次，结果会怎样？这是我在执教“可能与一定”一课时提出的问题。学生的回答是：“可能摸到白球，也可能摸到黄球。”为了“确认是这样”，我请一位学生摸一次，结果摸到的是白球。接着，我又请一位学生摸一次，摸之前我请学生们猜一猜这一次会摸到什么颜色的球，大部分学生认为应该是黄球了！结果这位学生摸到的还是白球。第三次请学生摸，再猜，这时更多的学生认为一定是黄球了。但第三位学生摸到的竟然还是白球！这时，教室里一片惊讶声：“怎么会这样？”“这怎么可能？”第四位学生再摸，白球！第五位，还是白球！第六位，依然是白球！我的额头开始冒汗，心里也暗暗嘀咕：“怎么会这样？”一个念头禁不住从脑海中冒了出来：“这课要上砸了！”到了第七位，那位胖胖的小男生终于“争气”地摸到了黄球。我终于舒了一口气，提着的心总算放了下来。教学顺利地转入了下一个环节。2三、课后反思“可能性”一课我已经上过好多次了，但这样的情形还是第一次发生。连续六次摸到白球，怎么会这样呢？课上，我茫然不知所措，课后，我们进行了反思，结果为自己额头冒汗感到羞愧，更为没有抓住教学中生成的好材料及时组织学生讨论感到汗颜。第一次摸到了白球，第二次摸到的应该是黄球；连续两次摸到的都是白球，那么第三次摸到的就一定是黄球了。对一个三年级的小学生而言，作出这样的判断一点儿都不奇怪。在后来一次听课时，我也看到了类似的情形：这位教师组织摸球活动，也是放一个白球、一个黄球，摸之前要求先猜可能会摸到什么颜色的球，并作好记录。我正好坐在一个小男生的边上，第一次他猜摸到黄球，而摸到的也正好是黄球，他兴奋地举了举握紧的拳头。猜第二次时他毫不犹豫地在白球一拦里打上了“√”，我赶紧和他交流：师：这次你怎么猜是白球了？生：因为刚才这次摸到的是黄球，我想这次一定会摸到白球了。这位小男生迫不及待地进行第二次摸球，果然是白球！他又一次兴奋地举起了拳头。那么，学生为什么会作出这样肯定的判断呢？显然，这是因为学生对随机现象发生可能性的模糊理解。对“可能摸到什么颜色的球”这个随机事件而言，学生的生活经验足够支撑他们作出这样的判断：要么摸到白球，要么摸到黄球。而且学生还会直觉地意识到：摸到两种颜色球的可能性是相等的。但可能性相等是什么意思呢？很多学生是这样理解的：如果摸两次，那么一次摸到白球，另一次摸到黄球。我想，这就是学生作出上述判断的原因所在。那么，可能性真可以这样理解吗？回答是否定的。数学上，对上述摸球这个随机现象发生可能性的描述有两种办法，一是用数据来刻画（即概率），摸到黄球或白球的可能性各为二分之一；二是用重复摸球的统计结果来描述（即频率），摸一次，可能摸到什么球，这具有随机性（无法事先确定），但如果重复不断地摸，只要摸的次数“足够多”，就可以发现摸到统计结果呈现一定的规律性，即摸到白球和摸到黄球的次数大致相等。通过以上阐述可以知道，下一次会摸到什么球，这是无法事先确定的，也就是说，每一次摸球，摸到黄球或白球的可能性都存在。但一个人在作出判断时，往往会有受到自我心理活动的影响，如当连续多次摸到白球时，就会产生下一次“应该摸到黄球了”的心理期望。可见，第一次摸到白球，第二次应该摸到黄球，这反映了学生的生活经验和心理期3望对随机现象的理解产生的干扰。从数学角度分析，连续六次摸到白球（甚至更多）是完全可能发生的，这反映了随机现象的可能发生结果的随机性。事实上，连续六次摸到白球比一次摸到白球、另一次摸到黄球更有利于学生感悟随机现象的本质。比如，听课时那个小男孩摸球活动的结果已经给他理解可能性的含义带来了负面影响。而在我的教学中，连续六次摸到白球（这是可遇而不可求的）给教学生成了精彩的、富有价值的材料，但我没有把它利用好，错过了让学生感悟随机现象本质的绝佳机会。反思后，我们认为，在七次摸球过程中应及时组织讨论和反思。如在连续三次摸到白球后，可以组织讨论：怎么会连续三次摸到白球？你有什么想法？通过讨论使学生感悟到每次摸球的结果在摸之前是无法确定的，连续多次摸到白球也是有可能发生的，前一次摸球的结果并不会对后一次产生影响，从而初步感悟随机事件的发生和人的心理期望没有任何关系，进一步理解随机现象的本质。又如当第六位学生依然摸到白球时，可以再次组织讨论：真的摸不到黄球吗？从而使学生明确：盒子里有黄球，只要不停地摸下去，是一定能摸到黄球的（如果摸的次数足够多，那么摸到白球和摸到黄球的次数大致相等，当然，这已是后续学习的内容了）。在第七位学生摸到黄球后，可以引导学生反思，让他们说说对“可能摸到白球，也可能摸到黄球”这句话的认识，从而使学生深刻地理解可能性的含义。我想，如果再有这样一次机会，我就能够这样处理了，可是这种情况再次发生的可能性实在是太小了，但这绝对不是不可能发生的。上述教学同时引发了我们对教师自身数学素养思考。概率一直是高等数学领域的内容，小学教师在师范的学习中并没有这样的知识储备。“可能性”作为新课程新增加的数学内容，对大部分教师而言都是比较陌生的。以其昏昏，使人昭昭，显然要误人子弟。“可能性”有关内容，我上过许多次，也听过许多次，自己犯过不少错误，也看到不少老师犯的错误，感触颇深。新课程的实施给教师自身的数学素养提出了新的、更高的要求，需要教师加强学习，不断充电。只有这样，才能正确把握教学目标，才能合理组织教学活动，才能处惊不乱，及时抓住课堂教学中生成的精彩材料，让学生在数学活动中体验、感悟数学知识的本质，引领和发展学生的数学思维。4“猜想”出一片精彩——运用“猜想——验证”探究学习策略学习《商不变性质》平阳县昆阳一小吴恢銮一、问题提出随着新课改的不断深入,“新课堂”确实出现了无限生机，虽然我还没有执教新教材，也感到无比的欣慰。由于教学工作的关系，除了经常到一、二年级听新教材的课外，我也经常去听使用老教材的课。我发现了其中的一些问题，使用老教材的老师更多的还进行着传授式的教学，师问生答的封闭式教学模式仍然根深蒂固。在这种模式里学习的学生基础知识与技能掌握的比较扎实，但学生主动提问、探求创造的意识明显不足，尤其到了高年级的学生，课堂上不愿主动举手，不愿合作交流，更危险的是学生丧失了探究的能力。针对这种弊端，我们老师应该及时更新自己的教学理念，用新理念实践我们的老教材，让他们也能充满学习的活力，充满探究的欲望，充满大胆猜想小心验证的勇气和精神。在自己的教学实践中，我构建了“猜想——验证”探究学习策略教学模式，着重来培养学生提出问题、解决问题的能力。两年来，我认真研究了省编教材，梳理出部分适合使用这种学习策略的内容，并积极实践。以下就是我运用“猜想——验证”探究学习策略教学《商不变性质》的案例和反思：二、案例描述（一）、创设情景提出猜想1、创设情景师：四（2）的老师请班长为同学们分本子，要求班长做到公平，先来了两位同学，老师拿了6本本子分给这两位同学。后来，又来了4位同学，老师对班长说“你动动脑筋，看着办吧！”只见班长拿了12本本子分给这4位同学，老师和同学们会心地笑了。最后，又来了12位同学，你们替班长动动脑筋，一共要拿几本本子分才公平呢？师：你能用算式来表示这个分本子的过程吗？生列式出：6÷2=312÷4=336÷12=3师：你发现这些除法算式有什么特点？生1：它们的商都是3。生2：但被除数和商都变了5……2、提出猜想师：在除法运算中，凭你的经验，被除数和除数都变化时，你们认为商会怎样？生1：商可能会变，也可能不会变生2：商有可能变小，也有可能变大。师：今天这节课我们先来研究要使商不变，被除数和除数可能会怎么变化呢，同学们可以根据自己的经验，在小组内轻声讨论一下，再提出一个猜想问题。同组学生在队长的带领下，组织讨论，分别列出了几个猜想问题。猜想1（第3、、5组）：要使商不变，我们认为被除数和除数可能是增加一个数，这是从刚才分本子的时候想到的。猜想2（第1、4组）：要使商不变，我们认为被除数和除数也有可能是减少一个数。猜想3（第6组）：要使商不变，我们认为被除数和除数是扩大几倍。猜想4（第8组）：要使商不变，被除数和除数也有可能是缩小几倍，这也可以从分本子的算式里，从后向前看，有这样的变化。猜想5（第7组）：我们组也是，只是认为被除数和除数扩大或缩小一个相同的数，商才不变。（二）协同验证发现规律师：同学们凭自己的经验和直觉提出了5个猜想问题，是不是都对呢？我们还没有经过验证，所以也就不好肯定哪个猜想是成立的。下面，你们根据自己的兴趣和能力选择1个或几个猜想问题，先每个同学独立举例验证，然后同学们充分发挥小组的力量，互相启发，互相辩说。等老师布置好小组合作的任务和注意事项后，每个小组在队长的带领下，投入了合作探究过程中，下面是通过摄像机聚焦合作学习过程的实录情景一:验证猜想1的小组（要使商不变，被除数和除数可能是增加一个数）在每个学生举例验证后，队长组织同伴交流自己的发现，并互相辩说：生1：我认为有可能，你看，36÷12=3，而（36+0）÷（12+0）=3生2：（大家哈哈笑）这不是等于没有增加吗，竹篮子打水一场空。生3：可以的，你看，21÷21=1，而（21+4）÷（21+4）=1生4：这只是一个特殊的例子，从我举得一些例子来看，好像不行，你看，640÷8=5，而（40+2）÷（8+2）=4……2生5：你们增加的都是一个相同的数，我这个例子不一样，24÷6=4，而（24+4）÷（6+1）=4，生1：哎，怎么这么怪，我认为这个猜想对一半，我们不是加了“可能”吗？生2：队长，今天你怎么一句话也不说呀。生6：不是，我在想，老师以前说过，如果用举例来验证数学问题，我们只要举出一个反例就可以证明这句话是不对的。生2：所以我认为，这个猜想只要这样改就对了，相同的被除数和除数增加相同的数，商是不变的，而且永远是1。生4：如果被除数和除数不同，增加一个相同的数，零除外，商肯定会变。生5：根据我的举例，我发现，被除数和除数如果增加的不是一个相同的数，商会有两种情况，可能会变，也可能不会变。生6：你们的发现我都赞成，等一会汇报的时候，让生2、生5一起汇报，我们补充,怎么样?情景二:验证猜想3的小组（要使商不变,被除数和除数要扩大几倍。）生1：(这位学生很兴奋,可能是对自己的发现很有把握)我先说吧,我认为这个猜想是对的，从分本子的算式可以得到验证，12÷4=3，而（12×3）÷（4×3）=3生2：我不赞同，你扩大的都是3倍，如果不是一样的话，就不一定了生3：是这样的，你们看，18÷2=9，而（18×4）÷（2×2）=18，结果变了。生3：我认为也是不全对，如果不是扩大一个相同的数，就不能保证商不变。生4：我赞同你的看法，只要是扩大一个相同的数，商才不会变。生5：那也不一定……生2：那你举出一个反例看。生5：我只是凭感觉。生1：证明对错不能“跟着感觉走”生6：（很激动）我想到了，如果同时乘一个0，任何数乘0结果都为0，难道还能说商不变吗（大家对生6的发现投去了佩服的眼光，片刻后，又分成了两派）生4：这里又不是乘，而是扩大，扩大0倍，不算的。生5：老师说过的，扩大就是乘的意思，可以的。（生5拉出老师的话给自己撑腰，7其他反对的同学也一下子找不出理由了，可是过了一会儿……）生3：我认为还有问题，你看，20÷2=10，而（18×2）÷（2÷2）=20生6：你这里是除了，一个扩大，一个缩小，不行。生3：所以像刚才那样说还是不对的，我