追及与相遇问题知识详解及典型例题

1追及与相遇问题知识详解及典型例题（精品）知识要点追及和相遇问题主要涉及在同一直线上运动的两个物体的运动关系，所应用的规律是匀变速直线运动的相关规律。追及、相遇问题常常涉及到临界问题，分析临界状态，找出临界条件是解决这类问题的关键。速度相等是物体恰能追上或恰不相碰、或间距最大或最小的临界条件。在两物体沿同一直线上的追及、相遇或避免碰撞问题中关键的条件是：两物体能否同时到达空间某位置。因此应分别对两物体研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系解出。解答追及、相遇问题时要特别注意明确两物体的位移关系、时间关系、速度关系，这些关系是我们根据相关运动学公式列方程的依据。1.追及追和被追的两者的速度相等常是能追上、追不上、二者距离有极值的临界条件。如匀减速运动的物体追从不同地点出发同向的匀速运动的物体时，若二者速度相等了，还没有追上，则永远追不上，此时二者间有最小距离。若二者相遇时（追上了），追者速度等于被追者的速度，则恰能追上，也是二者避免碰撞的临界条件；若二者相遇时追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时二者的距离有一个较大值。再如初速度为零的匀加速运动的物体追从同一地点出发同向匀速运动的物体时，当二者速度相等时二者有最大距离，位移相等即追上。“追上”的主要条件是两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：一是初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙时，一定能追上，在追上之前两者有最大距离的条件是两物体速度相等，即v甲=v乙；二是匀速运动的物体甲追赶同方向做匀加速运动的物体乙时，存在一个恰好追上或恰好追不上的临界条件：两物体速度相等，即v甲＞v乙，此临界条件给出了一个判断此种追赶情形能否追上的方法，即可通过比较两物体处在同一位置时的速度大小来分析，具体方法是：假定在追赶过程中两者能处在同一位置，比较此时的速度大小，若v甲＞v乙，则能追上去，若v甲＜v乙，则追不上，如果始终追不上，当两物体速度相等时，两物体的间距最小；三是匀减速运动的物体追赶同方向的匀速运动的物体时，情形跟第二种相类似。两物体恰能“相遇”的临界条件：两物体处在同一位置时，两物体的速度恰好相同。22.相遇同向运动的两物体追及即相遇，分析同1。相向运动的物体，当各自发生的位移的绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。三.解题方法指导：1.解“追及”“相遇”问题的思路：解决“追及”和“相遇”问题大致分为两种方法，即数学方法和物理方法求解过程中可以有不同的思路，例如考虑图象法等等。解题的基本思路是：①根据对两物体运动过程的分析，画出物体的运动示意图；②根据两物体的运动性质，分别列出两个物体的位移方程。注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中。③由运动示意图找出两物体位移间关联方程。④联立方程求解。运动物体的追赶、相遇问题，一般解法较多：解析法、图象法、极值法等。应适当地做些一题多解的练习，以开启思路，培养发散思维的能力。但平时训练仍应以物理意义突出的解析法为主。通过适当的练习后，总结一下追赶、相遇、避碰问题的特点、分析方法，特别是对其中所涉及的“相距最远”、“相距最近”、“恰好不相碰”等临界问题，应在思考的基础上总结出临界状态的特点，找出临界条件。2.分析“追及”“相遇”问题应注意：①分析“追及”“相遇”问题时，一定要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如“两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等”。两个关系是时间关系和位移关系。其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口，也是解题常用方法。因此，在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，对帮助我们理解题意，启迪思维大有裨益。养成根据题意画出物体运动示意图的习惯。特别对较复杂的运动，画出草图可使运动过程直观，物理图景清晰，便于分析研究。②分析研究对象的运动过程，搞清整个运动过程按运动性质的转换可分为哪几个运动阶段，各个阶段遵循什么规律，各个阶段间存在什么联系。特别是，若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否停止运动。③仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐合条件，如“刚好”、“恰巧”、“最多”、“至少”等。往往对应一个临界状态，由此找出满足相应的临界条件。3还要注意：由于公式较多，且公式间有相互联系，因此，题目常可一题多解。解题时要思路开阔，联想比较，筛选最简捷的解题方案。解题时除采用常规的公式解析法外，图象法、比例法、极值法、逆向转换法（如将一匀减速直线运动视为反向的匀加速直线运动）等也是解题中常用的方法。【典型例题】[例1]火车以速度v1向前行驶。司机忽然发现，在前方同一轨道上距车为s处有另一辆火车，它沿相同的方向以较小的速度v2作匀速运动，于是他立即使车作匀减速运动，加速度大小为a，要使两车不致相撞，则a应满足的关系式为_____________________。分析：司机使火车作匀减速运动，当后面的火车与前方火车时的速度相等时，两车再也不能接近了，也就是后面的火车与前面火车的速度相等时，后面火车的位移与前面火车的位移之差要小于s时，两车才不致相撞，本题解法中有四种。解法一：当两车速度相等时，两车没有相撞，以后再也不会相撞，前车减速的时间为t，则解法二：以前车为参照系，后车的速度为，当后车的速度减为零时，其位移小于s，两车不会相撞，即解法三：作出两车运动的速度—时间图像如图所示，由图像可知：在两图像相交前与时间轴所围面积之差（即图中阴影部分）小于s时，两车不会相撞。即4解法四：后车的位移为，前车的位移为，要使两车不相撞，即说明此二次函数无解，即以上四种解法中，以第二种解法最简捷。[例2]甲、乙两车相距s，同时同向运动，乙在前面做加速度为a1、初速度为零的匀加速运动，甲在后面做加速度为a2、初速度为v0的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系。解析：由于两车同时同向运动，故有v甲=v0+a2t，v乙=a1t①当a1a2时，a1ta2t，可得两车在运动过程中始终有v甲v乙，由于原来甲在后，乙在前，所以甲、乙两车的距离在不断缩短，经过一段时间后甲车必然超过乙车，且甲超过乙后相距越来越大，因此甲、乙两车只能相遇一次；②当a1=a2时，alt=a2t，可得v甲v乙，因此甲、乙两车也只能相遇一次：③当a1a2时，a1ta2t，v甲和v乙的大小关系会随着运动时间的增加而发生变化，刚开始，a1t和a2t相差不大且甲有初速v0，所以，v甲v乙，随着时间的推移，a1t和a2t相差越来越大；当alt—a2t=v0时，v甲=v乙，接下来a1t—a2tv0，则有v甲v乙，若在v甲=v乙之前，甲车还没有超过乙车，随后由于v甲v乙，甲车就没有机会超过乙车，即两车不相遇；若在v甲=v乙时，两车刚好相遇，随后v甲=v乙，甲车又要落后乙车，这样两车只能相遇一次；若在v甲=v乙前甲车己超过乙车，即已相遇过一次，随后由于v甲v乙，甲、乙距离又缩短，直到乙车反超甲车时，再相遇一次，别两车能相遇两次。5解法一：由于x甲=v0t+a2t2，x乙=a1t2，相遇时有x甲—x乙=x，则：v0t+a2t2－a1t2=x，（a1—a2）t2—v0t+x=0所以t=①①当a1a2时，①式t只有一个正解，别相遇一次。②当a1=a2时，x甲—x乙=v0t十a2t2—a1t2=v0t=x，所以t=，t只有一个解，则相遇一次。③当a1＞a2时，若2（a1—a2）x，①式无解，即不相遇，若=2（a1—a2）x，①式t只有一个解，即相遇一次。若＞2（a1—a2）x，①式t有两个正解，即相遇两次。解法二：利用v—t图象求解，6①当a1a2时，甲、乙两车的运动图线分别为如右上图中：的I和Ⅱ，其中划斜线部分的面积表示t时间内甲车比乙车多发生的位移，若此面积为S，则t时刻甲车追上乙车而相遇，以后在相等时间内甲车发生的位移都比乙车多，所以只能相遇一次。②当a1a2时，甲、乙两车的运动图线分别为如上左图中的I和Ⅱ，讨论方法同①，所以两车也只能相遇一次。③当a1=a2时，甲、乙两车的运动图线分别为如上右图中的I和Ⅱ，其中划实斜线部分的面积表示甲车比乙车多发生的位移。若划实斜线部分面积小于S，则不能相遇；若划实斜线部分面积等于S，说明甲车刚追上乙车又被反超，则相遇一次；若划实斜线部分的面积大于s，如图中0─t1内划实斜线部分的面积为S，说明t1时刻甲车追上乙车，以后在t1—t时间内，甲车超前乙车的位移为t1─t时间内划实斜线部分的面积，随后在t─t2时间内，乙车比甲车多发生划虚线部分的面积，如果两者相等，则t2时刻乙车反超甲车，故两车先后相遇两次。【模拟试题】1.甲、乙两物体由同一位置出发沿同一直线运动，其速度图象由图所示，下列说法正确的是（）A.甲做匀速直线运动，乙做匀变速直线运动B.两物体两次相遇的时刻分别为2s末和6s末C.乙在前4s内的平均速度等于甲的速度D.2s后甲、乙两物体的速度方向相反2.在足够长的平直公路上，一辆汽车以加速度a启动时，有一辆匀速前进的自行车以速度v0从旁边经过，则以下说法正确的是（）7A.汽车追不上自行车，因为汽车启动时速度小B.以汽车为参考系，自行车时向前匀速运动的C.汽车与自行车之间的距离开始是不断增加的，直到两车速度相等，然后距离减小，直到两车相遇D.汽车追上自行车的时间是3.甲乙丙三辆汽车以相同的速度同时经过某一个路标，从此开始甲车一直匀速运动，乙车先加速后减速，丙车先减速后加速，它们经过下一个路标时速度又相等，则（）A.甲车先通过下一个路标B.乙车先通过下一个路标C.丙车先通过下一个路标D.条件不足，无法判断4.两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为v0，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车的加速度开始刹车。已知前车在刹车过程中所行驶的距离为s，若要保证两辆车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为（）A.1sB.2sC.3sD.4s5.汽车A在红绿灯前停住，绿灯亮起时起动，以0.4m/s2的加速度做匀加速运动，经过30s后以该时刻的速度做匀速直线运动.设在绿灯亮的同时，汽车B以8m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以相同的速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始（）A.A车在加速过程中与B车相遇B.A、B相遇时速度相同C.相遇时A车做匀速运动D.两车不可能再次相遇6.同一直线上的A、B两质点，相距s，它们向同一方向沿直线运动（相遇时互不影响各自的运动），A做速度为v的匀速直线运动，B从此时刻起做加速度为a、初速度为零的匀加速直线运动。若A在B前，两者可相遇______次，若B在A前，两者最多可相遇______次。87.从相距30km的甲、乙两站每隔15min同时以30km/h的速率向对方开出一辆汽车。若首班车为早晨5时发车，则6时从甲站开出的汽车在途中会遇到辆从乙站开出的汽车。8.一矿井深125m，在井口每隔一段时间落下一个小球，当第11个小球刚从井口开始下落时，第1个小球恰好到达井底，则：（1）相邻两个小球下落的时间间隔是s；（2）这时第3个小球与第5个小球相距（g取10m／s2）9.如图，某时刻A、B两物体相距7m，A以4m／s的速度向右做匀速直线运动，此时B的速度为10m／s，方向向右，在摩擦力作用下以2m/s2的加速度做匀减速运动。从该时刻经多长时间A追上B？10.一辆巡逻车最快能在10s内由静止加速到最大速度50m／s，并能保持这个速度匀速行驶，问该巡逻车在平直的高速公路上由静止追上前方2000m处正以35m／s的速度匀速行驶的汽车，至少需要多长时间？11.A球自距地面高h处开始自由下落，同时B球以初速度v0正对A球竖直上抛，空气阻力不计。问：（1）要使两球在B球上升过程中相遇，则v0应满足什么条件？（2）要使两球在B球下降过程中相遇，则v0应满足什么条件？12.已知自行车速度为6m/s作直线运动，汽车从同时同地以初速10m/s，加速度a=－0.5m/s2直线运