逆矩阵的计算初等变换法

逆矩阵的计算——初等变换法1．用初等变换法求逆矩阵如果A1234，那么A的逆矩阵A1应当使A112341001．用一系列的矩阵逐渐把矩阵A变成单位矩阵，就可以求A1．取E11031，那么E1A103112341202，所得矩阵的左下角元素为0．取E21101，那么E2(E1A)110112021002，所得矩阵的右上角元素为0．取E310012，那么E3(E2E1A)1001210021001．因此，E3E2E1AE，而A1AE，所以A1E3E2E11001211011031110121031213212．2．解释矩阵A1234将单位正方形OABC变为四边形OA'B'C'（图1），则A1应该把OA'B'C'变回到OABC．图1下面我们将看到，用初等变换（反射、伸压、切变）怎样将OA'B'C'逐步变回到OABC．01234567801234OABC123401100011OA'B'C'→01320374．OABCC'B'A'E11031，它把OA'B'C'变为OXYZ（图2）．图2E1是切变矩阵，它把OA'B'C'往Ox轴上作切变，使OX与OA重合．OA'B'C'103101320374OXYZ→01320022．OZYXC'B'A'-3-2-101234567801234E21101，它把OXYZ变为OAPQ（图3）．图3E2是切变矩阵，它把OXYZ往Oy轴上作切变．E310012，它把OAPQ变为OABC，重新得到正方形（图4）．-3-2-1001234OZYA(X)PQOXYZ110101320022OAPQ→01100022．图4E3是伸压变换，沿y轴方向，把OAPQ往x轴上压缩12，得到正方形OABC．-3-2-1012012OAPQOAPQ1001201100022OABC→01100011．BC