选修2-21.1变化率与导数(第1-3课时)

第1-3课时（周二——周四3月2日-4日）课题：选修（2-2）1.1变化率与导数三维目标：1、知识与技能（1）理解平均变化率的概念；（2）了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；（3）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率；（5）理解导数的几何意义。2、过程与方法（1）通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；（2）通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；（3）通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。3、情态与价值观（1）通过学生的积极参与、学习变化率与导数的知识，培养学生思维的科学性、严密性，不断认识数形结合和等价转化的数学思想；(2)通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.（3）通过对变化率与导数的学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成，导数及几何意义的理解。教学难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，导数及几何意义的理解。教具：多媒体教学方法：合作探究、分层推进教学法教学过程：一、双基回眸科学导入：★前面我们学习了函数及几种重要的函数，而且我们学习的很多公式所展示的两个量之间的关系也是函数关系：下面找两个学生写出著名的函数——二次函数的表达式和球的体积公式：二次函数气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是334)(rrV函数很明确地描述了两个变量之间的因果关系。自变量的变化引起因变量的变化。下面我们来看这种变化的各种特点：同学们，相信大家都玩过气球吧,我们回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内气体的容量的增加,气球的半径增加的越来越慢,从数学角度,如何描述这种现象呢?容量的增加与气球的半径增加这两者的变化的关系和本质是怎样呢？今天，我们就来通过此问题来研究这种变化的特点和规律。二、创设情境合作探究：【首先来探究上面所提出的问题】我们已经提问过了气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是334)(rrV现将半径r表示为体积V的函数,那么343)(VVr【分析】343)(VVr，⑴当V从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dmrr气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(Ldmrr⑵当V从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dmrr气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(Ldmrr可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?【再来探究一个问题——高台跳水】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00t和21t的平均速度v在5.00t这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(smhhv；在21t这段时间里，)/(2.812)1()2(smhhv【探究】计算运动员在49650t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？【探究过程】如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，)0()4965(hh，所以)/(004965)0()4965(mshhv，虽然运动员在49650t这段时间里的平均速度为)/(0ms，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．【引出平均变化率的概念】一般地，函数f(x)在区间21,xx上的平均变化率为2121()()fxfxxx①本质：如果函数的自变量的“增量”为x,且21xxx,相应的函数值的“增量”为y,21()()yfxfx,则函数()fx从1x到2x的平均变化率为1212()()fxfxyxxx②几何意义：两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率（割线的斜率）；③平均变化率反映了在函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或说在某个区间上曲线陡峭的程度；【但我们想要知道的是在某处的瞬时速度】下面继续探索：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在关系105.69.42ttth，那么我们就会计算任意一段的平均速度v，通过平均速度v来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。0t时，在2,2t这段时间内0t时，在t2,2这段时间内1.139.41.139.422222tttttthhv1.139.41.139.422222ttttththv当t0.01时，v13.051；当t0.01时，v13.149；当t0.001时，v13.0951；当t0.001时，v13.1049；当t0.0001时，v13.09951；当t0.0001时，v13.10049；当t0.00001时，v13.099951；当t0.00001时，v13.100049；当t0.000001时，v13.0999951；当t0.000001时，v13.1000049；。。。。。。。。。。。。问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？关于这些数据，下面的判断对吗？2．当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是t从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1sm/。3．靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段2,2t上的平均速度；4．靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段t2,2上的平均速度；5．-13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是-13.1sm/。分析:2t秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度，所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合理，因此，运动员在2秒时的瞬时速度是-13.1sm/。小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。【导数的概念】定义：函数()fx在0xx处瞬时变化率是xxfxxfxyxx0000limlim，我们称它为函数xfy在0xx处的导数,记作　或0xf即　0xxyxxfxxfxyxfxx00000limlim＝。求导数的步骤：①求函数的增量：y②求平均变化率：xy③取极限，得导数：)(0'xf上述求导方法可简记为：一差、二化、三极限。定义：当0xx时，0xf是一个确定的数，当x变化时，xf是x的函数，我们称它为xf的导函数（简称导数）即xxfxxfyxfx0lim＝【小试牛刀】1等于，则若hxfhxfxfh2lim200002点处的导数是在函数3422xxxxf3设4)(axxf，若2)1('f，则a的值（）A2B－2C3D－34①已知S=πr2，求rS②已知V=34π3R，求RV③已知y=x2+3x求（1）y；(2)求y︱x=25在曲线12xy的图像上取一点（1，2），及附近一点为则xyyx,2,12x1xD2xC2x1xB2x1xA【导数的几何意义】函数()yfx在点0x的导数的几何意义就是曲线()yfx在点00(,)pxy处的切线的斜率，也就是说，曲线()yfx在点00(,)pxy处的切线斜率是0()fx，切线的方程为000()()yyfxxx。三、互动达标巩固所学：问题.1在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=-4.9t2＋6.5t＋10，求运动员在t=2时的瞬时速度？【分析】我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。如何求运动员的瞬时速度？在t=2之前或之后，任意取一个时刻2+Δt，Δt可以是正值，可以是负值，当Δt趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？【解析】（见学案）【点评】学生可以分组讨论，上台板演，展示计算结果，同时口答：在t=2时刻,Δt趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1，即瞬时速度，第一次体会逼近思想；另一方面借助动画多渠道地引导学生观察、分析、比较、归纳，第二次体会逼近思想，为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即0(2)(2)lim13.1ththt问题.2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第xh时，原油温度（单位：C）为801572xxxxf．计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。【分析】瞬时变化率与问题.1瞬时速度本质一样，所以做法一样。【解析】在第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是'(2)f和'(6)f根据导数定义0(2)()fxfxfxx22(2)7(2)15(27215)3xxxx所以00(2)limlim(3)3xxffxx同理可得:(6)5f在第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为3和5,说明在第2h附近,原油温度大约以3/Ch的速率下降在第6h附近,原油温度大约以5/Ch的速率上升.【点评】一般地,'0()fx反映了原油温度在时刻0x附近的变化情况.问题.3(1)求函数23xy在1x处的导数.(2)求函数xxxf2)(在1x附近的平均变化率,并求出该点处的导数.【分析】先求)()(00xfxxfyf,再求xy,最后求xyx0lim.【解析】(1)法一定义法(略)法二222211113313(1)|limlimlim3(1)611xxxxxxyxxx(2)xxxxxy32)1()1(2200(1)(1)2(1)limlim(3)3xxyxxfxxx【点评】由此题可体现求导数的步骤及进一步认识xy与xyx0lim的关系和区别，通过这种近似与精确深刻理解导数的本质……为了进一步体现其抽象性及几何意义，同学们完成下列两题：的几何意义？和说明的值？时，求当和时，求且当。的位移函数为开始运动，在时间从定点巩固一：如果一个质点tytytyttyyttttfyttt00113lim3lim42?01.0413A处的切线方程。点处的切线的斜率。点，求上的一点巩固二：已知曲线PPPxy2138,2313四