选修2-2第1章导数复习课

1/6第一章导数复习课一、函数的平均变化率为xyxxfxxfxxxfxf)()()()(111212注1：其中x是自变量的改变量，可正，可负。注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。例1、物体做直线运动所经过的路程s可表示为时间t的函数s＝s(t)＝2t2＋2，则在一小段时间[2,2＋Δt]上的平均速度为()A．8＋2ΔtB．4＋2ΔtC．7＋2ΔtD．－8＋2Δt二、导函数的概念:函数)(xfy在0xx处的瞬时变化率是xxfxxfxyxx)()(limlim0000，则称函数)(xfy在点0x处可导，并把这个极限叫做)(xfy在0x处的导数，记作)(0'xf或0|'xxy，即)(0'xf=xxfxxfxyxx)()(limlim0000.例1.如果一个函数的瞬时变化率处处为0，那么这个函数的图像是()A．圆B．抛物线C．椭圆D．直线三、函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点nP趋近于P时，直线PT与曲线相切。容易知道，割线nPP的斜率是00()()nnnfxfxkxx，当点nP趋近于P时，函数()yfx在0xx处的导数就是切线PT的斜率k，即0000()()lim()nxnfxfxkfxxx四、导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；用导数求曲线的切线，注意两种情况：（1）曲线yfx在点00,Pxfx处切线：性质：0kfx切线。相应的切线方程是：000yyfxxx（2）曲线yfx过点00,Pxy处切线：先设切点，切点为(,)Qab,则斜率k='()fa，切点(,)Qab在曲线yfx上，切点(,)Qab在切线00yyfaxx上，切点(,)Qab坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k='()fa，确定切线方程。（3）求瞬时速度：物体在时刻0t时的瞬时速度0V就是物体运动规律Sft在0tt时的导数0ft，即有00Vft。（4）V＝s/(t)表示即时速度。a=v/(t)表示加速度。2/6例1、已知函数()yfx在区间(,)ab内可导，且0(,)xab，则000()()limhfxhfxhh的值为（）A．0()fxB．02()fxC．02()fxD．0例2、在曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；例3、已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（）例4、函数在某一点的导数是()A．在该点的函数的增量与自变量增量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率五、导函数：当x变化时，()fx便是x的一个函数，我们称它为()fx的导函数.()yfx的导函数有时也记作y,即0()()()limxfxxfxfxx六、常见的函数导数函数导函数yc'y0nyx*nN1'nynxxya0,1aa'lnxyaaxye'xyelogayx0,1,0aax1'lnyxalnyx1'yxsinyx'cosyxcosyx'sinyx复合函数(())yfgx的导数求法：①换元，令()ugx，则()yfu②分别求导再相乘'()'()'ygxfu③回代()ugx例1、f（x）=f′（0）cosx+sinx，则函数f（x）在x0=处的切线方程是______例2、求下列直线的方程：（1）曲线123xxy在P(-1,1)处的切线；（2）曲线2xy过点P(3,5)的切线；3/6例3．设f(x)为可导函数，且满足limx→0f(1)－f(1－2x)2x＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()A．2B．－1C．1D．－2例4．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为()A．3,3B．3，－1C．－1,3D．－1，－1例5．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P横坐标的取值范围为()A．[－1，－12]B．[－1,0]C．[0,1]D．[12，1]例6、若曲线2()lnfxaxx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是七、常见的导数运算公式:若fx，gx均可导，则有：和差的导数运算'''()()()()fxgxfxgx积的导数运算'''()()()()()()fxgxfxgxfxgx特别地：''CfxCfx商的导数运算'''2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx特别地：21'()'gxgxgx复合函数的导数xuxyyu八、导数的应用1、函数的单调性：设函数()yfx在某个区间内可导，（1）'()0fx()fx该区间内为增函数；（2）'()0fx()fx该区间内为减函数；注意：当'()fx在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，()fx在这个区间上仍是递增（或递减）的。（3）()fx在该区间内单调递增'()0fx在该区间内恒成立；（4）()fx在该区间内单调递减'()0fx在该区间内恒成立；题型一、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性：步骤：（1）求导数)(xfy(2)判断导函数)(xfy在区间上的符号(3)下结论①'()0fx()fx该区间内为增函数；②'()0fx()fx该区间内为减函数；4/6题型二、利用导数求单调区间求函数)(xfy单调区间的步骤为：（1）分析)(xfy的定义域；（2）求导数)(xfy（3）解不等式0)(xf，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式0)(xf，解集在定义域内的部分为减区间题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）思路一.（1）()fx在该区间内单调递增'()0fx在该区间内恒成立；（2）()fx在该区间内单调递减'()0fx在该区间内恒成立；思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。注意：若函数f（x）在（a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数，则x=c两侧使函数f（x）变号，即x=c为函数的一个极值点，所以'()0fc例1.已知f(x)=ex-ax-（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.例2、f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf/(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b,若a＜b，则必有（）（07陕西理11）A.af(b)≤bf(a)B.bf(a)≤af(b)C.af(a)≤f(b)D.bf(b)≤f(a)2、.函数的极值与其导数的关系：（1）.①极值的定义：设函数()fx在点0x附近有定义，且若对0x附近的所有的点都有0()()fxfx（或0()()fxfx，则称0()fx为函数的一个极大（或小）值，0x为极大（或极小）值点。②可导数()fx在极值点．．．0x处的导数为0（即0'()0fx），但函数()fx在某点0x处的导数为0，并不一定函数()fx在该处取得极值（如3()fxx在00x处的导数为0，但()fx没有极值）。③求极值的步骤：第一步：求导数'()fx；第二步：求方程'()0fx的所有实根；第三步：列表考察在每个根0x附近，从左到右，导数'()fx的符号如何变化，若'()fx的符号由正变负，则0()fx是极大值；若'()fx的符号由负变正，则0()fx是极小值；若'()fx的符号不变，则0()fx不是极值，0x不是极值点。例1、方程内根的个数为在)2,0(076223xx(B)A、0B、1C、2D、3例2、设函数()()yfxxR的导函数为'()fx，且()(),'()()fxfxfxfx，则下列不等式成立的是5/6A.12(0)(1)(2)fefefB.12(1)(0)(2)effefC.21(2)(1)(0)efeffD.21(2)(0)(1)effef例3、已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10.(1)求a,b的值;(2)过点(0,16)作曲线y=f(x)的切线,求切线方程.3、①最值的定义：若函数在定义域D内存0x，使得对任意的xD，都有0()()fxfx，（或0()()fxfx）则称0()fx为函数的最大（小）值，记作max0()yfx（或min0()yfx）②如果函数()yfx在闭区间[,]ab上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间[,]ab上必有最大值和最小值。③求可导函数()fx在闭区间[,]ab上的最值方法：第一步；求()fx在区间[,]ab内的极值；第二步：比较()fx的极值与()fa、()fb的大小：第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。[注]：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a)、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a)、f(b)中最小的一个。2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）3、注意：极大值不一定比极小值大。如1()fxxx的极大值为2，极小值为2。4、当x=x0时，函数有极值f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值；判断极值，还需结合函数的单调性说明。5、实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；例1、设函数2()ln(23)fxxx，求()fx在区间3144，的最大值和最小值．例2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=32时，y=f(x）有极值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.例3、当0x，证明不等式xxxx)1ln(1.例4、已知Ra，函数xaxaxxf)14(21121)(23．（Ⅰ）如果函数)()(xfxg是偶函数，求)(xf的极大值和极小值；6/6-22xyO1-1-11（Ⅱ）如果函数)(xf是),(上的单调函数，求a的取值范围．导数图象与原函数图象关系导函数原函数'()fx的符号()fx单调性'()fx与x轴的交点且交点两侧异号()fx极值'()fx的增减性()fx的每一点的切线斜率的变化趋势（()fx的图象的增减幅度）'()fx的增()fx的每一点的切线斜率增大（()fx的图象的变化幅度快）'()fx减()fx的每一点的切线斜率减小（()fx的图象的变化幅度慢）例1、设()fx是函数()fx的导函数，将()yfx和()yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）（07浙江理8）已知函数()yxfx的图象如右图所示(其中'()fx是函数()fx的导函数)，下面四个图象中()yfx的图象大致是（）yxOyxOyxOyxOA．B．C．D．O-22xy1-1-212Oxy-2-221-112O-24xy1-1-212O-22xy-124ABCD