选修4-4坐标系与参数方程第2课时不等式证明的基本方法

选修4－4坐标系与参数方程第2课时不等式证明的基本方法考情分析考点新知证明不等式的基本方法．①了解证明不等式的基本方法：比较法，综合法，分析法，反证法，换元法，数学归纳法，放缩法.②能用比较法，综合法，分析法证明简单的不等式.1.设a、b∈R＋，试比较a＋b2与a＋b的大小．解：∵(a＋b)2－a＋b22＝（a－b）22≥0，∴a＋b≥a＋b2.2.若a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最大值．解：(1·a＋1·b＋1·c)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3，即a＋b＋c的最大值为3.3.设a、b、m∈R＋，且bab＋ma＋m，求证：a＞b.证明：由bab＋ma＋m，得ba－b＋ma＋m＝（b－a）ma（a＋m）＜0.因为a、b、m∈R＋，所以b－a＜0，即b＜a.4.若a、b∈R＋，且a≠b，M＝ab＋ba，N＝a＋b，求M与N的大小关系．解：∵a≠b，∴ab＋b2a，ba＋a2b，∴ab＋b＋ba＋a2b＋2a，即ab＋bab＋a，即MN.5.用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋1n＋n12(n1，n∈N*)的过程中，用n＝k＋1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果是A，求代数式A.解：当n＝k时，左边＝1k＋1＋1k＋2＋…＋1k＋k，n＝k＋1时，左边＝1k＋2＋1k＋3＋…＋1（k＋1）＋（k＋1），故左边增加的式子是12k＋1＋12k＋2－1k＋1，即A＝1（2k＋1）（2k＋2）.1.不等式证明的常用方法(1)比较法：比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用方法，基本不等式就是用比较法证得的．比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负．比较法证明不等式的步骤：作差(商)、变形、判断符号．其中的变形主要方法是分解因式、配方，判断过程必须详细叙述．(2)综合法：综合法就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直到推出要证明的结论，即为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，常常用到基本不等式．(3)分析法：分析法就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，直至推出显然成立的不等式，即为“执果索因”．2.不等式证明的其他方法和技巧(1)反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定结论是正确的证明方法．(2)放缩法欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得A≥C1≥C2≥…≥Cn≥B，利用传递性达到证明的目的．(3)数学归纳法[备课札记]题型1用比较法证明不等式例1求证：a2＋b2≥ab＋a＋b－1.证明：∵(a2＋b2)－(ab＋a＋b－1)＝a2＋b2－ab－a－b＋1＝12(2a2＋2b2－2ab－2a－2b＋2)＝12[(a2－2ab＋b2)＋(a2－2a＋1)＋(b2－2b＋1)]＝12[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0.∴a2＋b2≥ab＋a＋b－1.备选变式（教师专享）已知a0，b0，求证：ab＋ba≥a＋b.证明：(证法1)∵ab＋ba－(a＋b)＝ab－b＋ba－a＝a－bb＋b－aa＝（a－b）（a－b）ab＝（a＋b）（a－b）2ab≥0，∴原不等式成立．(证法2)由于ab＋baa＋b＝aa＋bbab（a＋b）＝（a＋b）（a－ab＋b）ab（a＋b）＝a＋bab－1≥2abab－1＝1.又a0，b0，ab0，∴ab＋ba≥a＋b.题型2用分析法、综合法证明不等式例2已知x、y、z均为正数，求证：xyz＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.证明：(证法1：综合法)因为x、y、z都是正数，所以xyz＋yzx＝1zxy＋yx≥2z.同理可得yzx＋zxy≥2x，zxy＋xyz≥2y.将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得xyz＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.(证法2：分析法)因为x、y、z均为正数，要证xyz＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.只要证x2＋y2＋z2xyz≥yz＋zx＋xyxyz，只要证x2＋y2＋z2≥yz＋zx＋xy，只要证(x－y)2＋(y－z)2＋(z－x)2≥0，而(x－y)2＋(y－z)2＋(z－x)2≥0显然成立，所以原不等式成立．变式训练已知a0，求证：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.证明：要证a2＋1a2－2≥a＋1a－2，只需证a2＋1a2＋2≥a＋1a＋2，只需证a2＋1a2＋4＋4a2＋1a2≥a2＋1a2＋2＋22a＋1a＋2，即证2a2＋1a2≥2a＋1a，只需证4a2＋1a2≥2a2＋1a2＋2，即证a2＋1a2≥2，此式显然成立．∴原不等式成立．题型3均值不等式与柯西不等式的应用例3求证：a2＋b2＋c23≥a＋b＋c3.证明：∵(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，∴a2＋b2＋c23≥（a＋b＋c）29，即a2＋b2＋c23≥a＋b＋c3.变式训练若实数x、y、z满足x＋2y＋3z＝a(a为常数)，求x2＋y2＋z2的最小值．解：∵(12＋22＋32)(x2＋y2＋z2)≥(x＋2y＋3z)2＝a2，即14(x2＋y2＋z2)≥a2，∴x2＋y2＋z2≥a214，即x2＋y2＋z2的最小值为a214.备选变式（教师专享）用数学归纳法证明：当n是不小于5的自然数时，总有2nn2成立．证明：(1)当n＝5时，2552，结论成立．(2)假设当n＝k(k∈N，k≥5)时，结论成立，即有2kk2，那么当n＝k＋1时，左边＝2k＋1＝2·2k2·k2＝(k＋1)2＋(k2－2k－1)＝(k＋1)2＋(k－1－2)(k－1＋2)(k＋1)2＝右边.∴也就是说，当n＝k＋1时，结论成立．∴由(1)、(2)可知，不等式2nn2对n∈N，n≥5时恒成立．例4求函数y＝1－x＋4＋2x的最大值．解：∵y2＝(1－x＋2·2＋x)2≤[12＋(2)2](1－x＋2＋x)＝3×3，∴y≤3，当且仅当11－x＝22＋x时取“＝”号，即当x＝0时，ymax＝3.备选变式（教师专享）(2011·湖南改编)设x、y∈R，求x2＋1y21x2＋4y2的最小值．解：由柯西不等式，得x2＋1y21x2＋4y2≥(1＋2)2＝9.∴x2＋1y21x2＋4y2的最小值为9.1.(2013·陕西)已知a、b、m、n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，求(am＋bn)(bm＋an)的最小值．解：利用柯西不等式求解，(am＋bn)(an＋bm)≥(am·an＋bn·bm)2＝mn·(a＋b)2＝2·1＝2，且仅当aman＝bnbmm＝n时取最小值2.2.(2013·湖北)设x、y、z∈R，且满足x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝14，求x＋y＋z的值．解：由柯西不等式可知(x＋2y＋3z)2＝14≤(x2＋y2＋z2)·(12＋22＋32)，因为x2＋y2＋z2＝1，所以当且仅当x1＝y2＝z3时取等号．此时y＝2x，z＝3x代入x＋2y＋3z＝14得x＝1414，即y＝21414，z＝31414，所以x＋y＋z＝3147.3.(2013·江苏)已知a≥b0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：∵2a3－b3－2ab2＋a2b＝(2a3－2ab2)＋(a2b－b3)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a＋b)(a－b)(2a＋b)，又a≥b0，∴a＋b0，a－b≥0，2a＋b≥0，∴(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0，∴2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.4.(2013·新课标Ⅱ)设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ca≤13；(2)a2b＋b2c＋c2a≥1.证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13.(2)因为a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c，故a2b＋b2c＋c2a＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.所以a2b＋b2c＋c2a≥1.1.已知正数a、b、c满足abc＝1，求证：(a＋2)(b＋2)(c＋2)≥27.证明：(a＋2)(b＋2)(c＋2)＝(a＋1＋1)(b＋1＋1)(c＋1＋1)≥3·3a·3·3b·3·3c＝27·3abc＝27(当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立)．2.已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R，且1a＋12b＋13c＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.解：(1)∵f(x＋2)＝m－|x|≥0，∴|x|≤m，∴m≥0，－m≤x≤m，∴f(x＋2)≥0的解集是[－1，1]，故m＝1.(2)由(1)知1a＋12b＋13c＝1，a、b、c∈R，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)1a＋12b＋13c≥(a·1a＋2b·12b＋3c·13c)2＝9.3.已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1(1)若2x2＋3y2＋6z2＝1，求x，y，z的值．(2)若2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，求正数t的取值范围．解：(1)∵(2x2＋3y2＋6z2)(12＋13＋16)≥(x＋y＋z)2＝1，当且仅当2x12＝3y13＝6z16时取“＝”．∴2x＝3y＝6z，又∵x＋y＋z＝1，∴x＝12，y＝13，z＝16.(2)∵(2x2＋3y2＋tz2)12＋13＋1t≥(x＋y＋z)2＝1，∴(2x2＋3y2＋tz2)min＝156＋1t.∵2x2＋3y2＋tz2≥1恒成立，∴156＋1t≥1.∴t≥6.4.(1)求函数y＝x－1＋5－x的最大值；(2)若函数y＝ax＋1＋6－4x最大值为25，求正数a的值．解：(1)∵(x－1＋5－x)2≤(1＋1)(x－1＋5－x)＝8,∴x－1＋5－x≤22.当且仅当1·x－1＝1·5－x即x＝3时，ymax＝22.(2)(ax＋1＋6－4x)2＝ax＋1＋232－x2≤(a2＋4)(x＋1＋32－x)＝52(a2＋4)，由已知52(a2＋4)＝20得a＝±2，又∵a0，∴a＝2.1.算术—几何平均不等式若a1，a2，…，an∈R＋，n1且n∈N*，则a1＋a2＋…＋ann叫做这n个正数的算术平均数，na1a2…an叫做这n个正数的几何平均数．基本不等式：a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an(n∈N*，ai∈R＋，1≤i≤n)．2.绝对值三角形不等式若a、b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.推论1：|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|.推论2：如果a、b、c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．3.柯西不等式若a、b、c、d为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.4.三角不等式设x1、y1、x2、y2∈R，则x21＋y21＋x22＋y22≥（x1－x2）2＋（y1－y2）2.[备课札记]