选修4-4第一讲坐标系(极坐标系)

2012.05.08选修4-4第一讲坐标系第1页共3页极坐标系教学目标：理解极坐标的概念，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.掌握极坐标和直角坐标的互化关系式，会实现极坐标和直角坐标之间的互化。教学重点、难点：理解极坐标的意义；能够在极坐标系中用极坐标确定点位置；对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解及互化关系式的掌握。极坐标系在上节中，我们用“在信息中心的西偏北450方向，距离680m处”描述了目标的位置，实际上，以方向和距离来刻画位置的方法，体现了极坐标的思想。如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。(1)他向东偏600方向走120m后到达什么位置？该位置惟一确定吗？(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？为了简便地表示上述问题中点的位置，①如何创建坐标系呢？②如何刻画这些点的位置？以A为基点，射线AB为参照方向，利用与A的距离，与AB的所成角，就可以刻画平面上的点的位置。极坐标系如何建立？极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；同时确定一个单位长度、一个角度单位(通常取弧度制)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系。极坐标系内一点的极坐标的规定设M平面上任意一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴OX为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为，有序数对(，)就叫做M的极坐标，记为M(，)一般地，不作特别说明，我们认为≥0，可以取任意实数。例1写出下图中各点的极坐标，并标出(2,π/6),(4,3π/4),(3.5,5π/3)所在位置。A()B()C()D()E()F()G()约定：极点的极坐标是=0，可以取任意角。练习：在极坐标系里描出下列各点A（3,0）B（6,2π）C（3,π/2）D（5,4π/3）E（3,5π/6）F（4,π）G（6,5π/3）建立了极坐标后，给定ρ、，就可以在平面内惟一确定点M，反过来，给定平面内任意一点，也可以找到它的极坐标(，)。练习：在极坐标系中，标出下列各点(4,π/6)，(4,π/6+2π)，(4,π/6+4π)，(4,π/6-2π)；它们有什么关系？与直角坐标刻画点的位置时有什么区别？点的极坐标的不惟一性由终边相同的角的定义，上述极坐标表示同一个点，实际上(4,π/6+2kπ)(k∈Z)都表示同一个点。一般地，极坐标(，)与(，+2kπ)(k∈Z)表示同一个点，因此，与直角坐标不同，平面内点的极A教学楼60mB体育馆C图书馆D实验楼办公楼E120m60°45°50m2012.05.08选修4-4第一讲坐标系第2页共3页坐标有无数种表示。当极角的取值范围是[0,2)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标(，)建立一一对应的关系.我们约定,极点的极坐标是极径=0,极角是任意角.负极径的规定在极坐标系中，极径允许取负值，极角也可以去任意的正角或负角当＜0时，点M(，)位于极角终边的反向延长线上，且OM=||。M(，)也可以表示为(，+2kπ)或(-，+(2k+1)π)(k∈Z)例2在极坐标系中，(1)已知两点P(5，5π/4），Q(1,π/4)，求线段PQ的长度；(2)已知M的极坐标为(，)且=π/3，R，说明满足上述条件的点M的位置。(3)若ABC的的三个顶点为A(5，5π/2),B(8,5π/6),C(8,7π/6)，判定三角形形状？(4)若A、B两点的极坐标为((1，1)，(2，2)，求AB的长以及AOB的面积。（O为极点）例3已知Q(，），分别按下列条件求出点P的极坐标。(1)P是点Q关于极点O的对称点；(2)P是点Q关于直线=π/2的对称点；(3)P是点Q关于极轴的对称点。练习：1在极坐标系中,与点(-8,π/6)关于极点对称的点的一个坐标是()55.(8,).(8,).(8,).(8,)6666ABCD2在极坐标系中，如果等边ABC的两个顶点是),45,2(),4,2(BA求第三个顶点C的坐标。3设点A(2,π/3),直线l为过极点且垂直于极轴的直线,分别求点A关于极轴、直线l、极点的对称点的极坐标(限定0，).4点(，)关于极轴,直线l极点的对称点的极坐标分别是_____________.),(,),(,),(极坐标与直角坐标的互化平面内一个点可以用直角坐标和极坐标分别表示，那么这两种表示之间有什么关系？把直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x,y)和(，），则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：cos,sinxy和222,tanyxyx说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式2通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取≥0，0≤≤2。3互化公式的三个前提条件：①极点与直角坐标系的原点重合；②极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合；③两种坐标系的单位长度相同.2012.05.08选修4-4第一讲坐标系第3页共3页例1（1）把点M的极坐标)32,8(化成直角坐标（2）把点P的直角坐标)2,6(化成极坐标例2若以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立直角坐标系.(1)已知A的极坐标),35,4(求它的直角坐标,(2)已知点B和点C的直角坐标为)15,0()2,2(和求它们的极坐标.(＞0,0≤＜2)例3在极坐标系中,已知两点)32,6(),6,6(BA.求A,B中点的极坐标.例4把极坐标方程=2sin+4cos化为直角坐标方程。练习1在满足直角坐标与极坐标互化的条件下，点P的极坐标为(1,)3，化为直角坐标是2．在满足直角坐标与极坐标互化的条件下，点P(2,2)，化为极坐标是3．在满足直角坐标与极坐标互化的条件下，点P(23,2)的极坐标是4．在满足直角坐标与极坐标互化的条件下，点P的极坐标为2(2,)3，化为直角坐标是5．在极坐标系中,已知5(2,),(4,),66AB求A,B两点的距离6．在极坐标系中，ΔABC的顶点坐标分别为57(5,),(8,),(3,)266ABC，判断ΔABC的形状.