选修4-4坐标系与参数方程2016高考复习

-1-选修4-4：坐标系与参数方程1.极坐标系①极坐标是用“距离”与“角度”来刻画平面上点的位置的坐标形式。极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。规定：当点M在极点时，它的极坐标,0可以取任意值。②平面直角坐标与极坐标的区别：在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x，y）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对),(只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对对应),(，极坐标系中的点与有序实数对极坐标),(不是一一对应的。③极坐标系中，点M),(的极坐标统一表达式Zkk),2,(。④如果规定20,0，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(表示，同时，极坐标),(表示的点也是唯一确定的。【例1】在极坐标系中，描出点)3,2(M，并写出点M的统一极坐标。2.极坐标与直角坐标的互化：（1）互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与x轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。（2）互化公式sincosyx，0,tan222xxyyx注：极坐标方程化为直角坐标方程,方程两边同乘,使之出现2是常用的方法.【例2】极坐标方程cos化为直角坐标方程为()A.2211()24xyB.x2+（y+21）2=41C.x2+（y21）2=41D.（x21）2+y2=41【例3】化下列方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线.(1)cos2sin(2）2sincos23.简单曲线的极坐标方程1极坐标方程的定义：在极坐标系中，如果平面曲线C上任一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(f，并且坐标适合方程0),(f的点都在曲线C上，那么方程0),(f叫做曲线C的极坐标方程。(由于与都有明确的几何特征，有些曲线所蕴含的运动规律用极坐标方程表示更简洁)①圆心在（a，0）(0)a半径为a的圆的极坐标方程为：xθC(a,0)MxθOM②以极点为圆心半径等于r的圆的极坐标方程为:(是定值，是任意的)③（1）过极点，极角为4的射线OM的极坐标方程：（2）过极点，极角为54的射线OM的极坐标方程：lθ=π4x-2-直线l极坐标议程可以用544和表示极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为：【例4】极坐标方程)1(（）=0（0）表示的图形是（）（A）两个圆（B）两条直线（C）一个圆和一条射线（D）一条直线和一条射线【例5】①过极点且关于极轴的倾斜角是3的直线的极坐标方程是___________②过点(2,)3且与极轴垂直的直线方程为（）A.4cosB.cos10C.sin3D.3sin③过点(2,)3且与平行于极轴的直线的极坐标方程是（）A.sin1B.cos1C.sin3D.cos3④过点(2,)3且与极轴所成的角为的直线的极坐标方程是4.参数方程：参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．参数方程实际上是一个方程组，其中x，y分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。①定义：一般地，在直角坐标系中，一动点的坐标x和y同时可以独立地表示成第三个变量t的函数。即且满足(1)对于[a，b]中的任何一个t1，则①得到的(x1，y1)点都在曲线C上；(2)曲线上的任意一点P(x0，y0)的坐标x0，y0通过①在[a，b]上可求得一个t.那么上述方程叫曲线C的参数方程。相对参数方程而言，过去的方程就叫做曲线C的直角坐标方程，简称普通方程。②直线的参数方程问题：已知一条直线过点),(000yxM，倾斜角为,求这条直线的方程.解：直线的普通方程为)(tan00xxyy把它变形成)(cossin00xxyy进一步整理cossin00xxyy令该比例的比值为t，即txxyycossin00【问题】：已知一条直线过点),(000yxM，倾斜角为,求这条直线的方程.解：在直线上任取一点M(x,y),则),(),(),(00000yyxxyxyxMM设e是直线l的单位方向向量，则,0),sin,(cose因为,//0eMM所以存在实数,Rt使,//0etMM即)sin,(cos),(000tyyxxMM于是sin,cos00tyytxx即sin,cos00tyytxx过点),(000yxM，倾斜角为,的直线l的参数方程为为参数）ttyytxx(sincos000cos(sinttyyt0x=x整理，得到是参数）yxM0M(x,y)-3-③参数t的几何意义,//0etMMtMMe01所以,直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点0M的距离.④利用直线参数方程中参数t的几何意义,简化求直线上两点间的距离.MMtttbyytaxx000(为参数），只有122ba时，t才具有此几何意义。⑤【结论】【例6】在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为为参数）；ttytx(21236在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C的极坐标方程为cos10，曲线1C与2C交于BA,两点，求.AB【例7】（08新课标卷）已知曲线C1：cossinxy，（为参数），曲线C2：22222xtyt，（t为参数）．（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；（Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线12CC，．写出12CC，的参数方程．1C与2C公共点的个数和C21C与公共点的个数是否相同？说明你的理由．【例8】（09新课标卷）已知曲线C1：4cos,3sin,xtyt（t为参数），C2：8cos,3sin,xy（为参数）。（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为2t，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线332,:2xtCyt（t为参数）距离的最小值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m12121212(),,.(1)2yfxMMttMMMMMt直线与曲线交于两点，对应的参数分别为曲线的弦的长是多少？（）线段的中点对应的参数的值是多少？121212(1)(2)2MMttttt-4-【例9】（10新课标卷）已知直线C1x1tcossinyt（t为参数），C2xcossiny（为参数）（Ⅰ）当=3时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。【例10】（11新课标卷）在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为2cos22sinxy（为参数）M是C1上的动点，P点满足OMOP2,P点的轨迹为曲线C2(Ⅰ)求C2的方程(Ⅱ)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.【例11】【2012省联考题】在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为cos4，直线l的方程为为参数）；ttytx(21232直线l与曲线C的公共点为T。（1）求点T的极坐标；（2）过点T作直线l，l被曲线C截得的线段长为2，求直线l的极坐标方程。【例12】在直角坐标系O中。直线1C:=2，圆2C：22121,以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。（1）求1C，2C的极坐标方程；（2）若直线3C的极坐标方程为4R，设2C与3C的交点为M,N,求2CMN的面积